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Forum "stochastische Analysis" - Bestimmung der Varianz
Bestimmung der Varianz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bestimmung der Varianz: ZV mit Brownscher Bewegung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Mi 15.08.2012
Autor: torstentw

Aufgabe
Hallo ich habe folgende normalverteilte Zufallsvariable $L=a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s [/mm] + (1-a) [mm] \epsilon$ [/mm] mit [mm] \varphi \in L^2(\mathbb{R}_+,ds) [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] ist standard normalverteilt.

Unter der Filtration [mm] \mathcal{F}_t, [/mm] die durch B generiert wird, muss ich [mm] Law(L|\mathcal{F}_t) [/mm] finden.

Also habe ich mit der Martingaleigenschaft der Brownschen Bewegung folgenden Erwartungswert bestimmt:

[mm] E[L|\mathcal{F}_t]=E[a \int_0^T \varphi(s) dB_s|\mathcal{F}_t]+ E[(1-a)\epsilon|\mathcal{F}_t]=E[a \int_0^T \varphi(s) dB_s|\mathcal{F}_t]=a \int_0^t \varphi(s) dB_s [/mm]

Nun zur Varianz:

$Var L = Var (a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s)+ [/mm] Var((1-a) [mm] \epsilon)+2 [/mm] Cov(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon) [/mm] = [mm] a^2\int_t^T \varphi(s)^2 [/mm] ds [mm] +(1-a)^2 [/mm] + 2 Cov(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon)$ [/mm]

Und zur Kovarianz:

$Cov(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon) [/mm] = E[(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s [/mm] - E[a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s])(((1-a)\epsilon)-E[(1-a)\epsilon])] [/mm] = E[(a [mm] \int_t^T \varphi(s) dB_s)(((1-a)\epsilon)] [/mm] = 0$

wegen der Unabhängigkeit am Ende.



Stimmt das soweit?

        
Bezug
Bestimmung der Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Mi 15.08.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm][mm] E[L|\mathcal{F}_t]=E[a \int_0^T \varphi(s) dB_s|\mathcal{F}_t]+ E[(1-a)\epsilon|\mathcal{F}_t] [/mm]

[ok]

> E[a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s|\mathcal{F}_t] [/mm]

Wo ist dein [mm] $E[\epsilon [/mm] | [mm] \mathcal{F}_t]$ [/mm] hin? Ohne weitere Informationen an [mm] \epsilon [/mm] (z.B. unabhängig von B) kannst du darüber keine Aussage treffen.

> Nun zur Varianz:
>  
> [mm]Var L = Var (a \int_0^T \varphi(s) dB_s)+ Var((1-a) \epsilon)+2 Cov(a \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon) = a^2\int_t^T \varphi(s)^2 ds +(1-a)^2 + 2 Cov(a \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon)[/mm]

Dein erstes Integral sollte wohl von 0 starten anstatt von t.
Ansonsten passts. Bei der Kovarianz könntest du noch Konstanten ausklammern (aber offensichtlich liegt keine Unabhängigkeit vor).

> Und zur Kovarianz:
>  
> [mm]Cov(a \int_0^T \varphi(s) dB_s, (1-a)\epsilon) = E[(a \int_0^T \varphi(s) dB_s - E[a \int_0^T \varphi(s) dB_s])(((1-a)\epsilon)-E[(1-a)\epsilon])] = E[(a \int_t^T \varphi(s) dB_s)(((1-a)\epsilon)] = 0[/mm]
>  
> wegen der Unabhängigkeit am Ende.


Wo steht, dass die Unabhängig sein sollen?
Wenn sie das sind, hättest du den Kovarianz-Term beim Auseinanderziehen der Varianz auch weglassen können.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Bestimmung der Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Mi 15.08.2012
Autor: torstentw


>Wo ist dein [mm]E[\epsilon | \mathcal{F}_t][/mm] hin? Ohne >weitere Informationen an [mm]\epsilon[/mm] (z.B. unabhängig >von B) kannst du darüber keine Aussage treffen.

Sorry. [mm] \epsilon [/mm] ist unabhänging von B. Wenn man zu lange in der Aufgabe ist verliert man das wohl aus den Augen.

> Wenn sie das sind, hättest du den Kovarianz-Term beim >Auseinanderziehen der Varianz auch weglassen können.

Stimmt. Dann fällt der Term weg. Jetzt schäm ich mich :)

>Dein erstes Integral sollte wohl von 0 starten anstatt von t.
Hm ok. Ich dachte :

$ Var (a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s)= [/mm] E[(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s)^2|\mathcal{F}_t] [/mm] - E[(a [mm] \int_0^T \varphi(s) dB_s)|\mathcal{F}_t]^2 [/mm]
= [mm] E[a^2\int_0^T \varphi(s)^2 ds|\mathcal{F}_t] [/mm] - [a [mm] \int_0^t \varphi(s) dB_s]^2 [/mm]
= [mm] a^2\int_0^T \varphi(s)^2 [/mm] ds - [mm] a^2\int_0^t \varphi(s)^2 [/mm] ds = [mm] a^2\int_t^T \varphi(s)^2 [/mm] ds

Wo ist mein Fehler?


Bezug
                        
Bezug
Bestimmung der Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Mi 15.08.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> $ Var (a [mm]\int_0^T \varphi(s) dB_s)=[/mm] E[(a [mm]\int_0^T \varphi(s) dB_s)^2|\mathcal{F}_t][/mm]
> - E[(a [mm]\int_0^T \varphi(s) dB_s)|\mathcal{F}_t]^2[/mm]

Das macht doch so keinen Sinn. Links steht eine relle Zahl, rechts eine Zufallsvariable.
Wo kommt denn deine Bedingung plötzlich her?

Es gilt stink normal:

[mm] $Var\left(a \int_0^T \varphi(s) dB_s\right) [/mm] = [mm] E\left[\left(a \int_0^T \varphi(s) dB_s\right)^2\right] [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm]

MFG,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung der Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Mi 15.08.2012
Autor: torstentw

Aber die Verteilung wird bedingt unter [mm] \mathcal{F}_t [/mm] bestimmt? D.h. ich benötige die bedingte Varianz nicht wahr?

Also ich habe das in vereinfacht in einem englischen Buch gefunden mit

[mm] L=\int_0^T \varphi(s)dB_s [/mm]

Dann heißt es:

Conditionally on [mm] \mathcal{F}_t, [/mm] L is gaussian with variance [mm] \sigma^2_t= \int_t^T \varphi^2(s)ds.[/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Bestimmung der Varianz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:08 Do 16.08.2012
Autor: torstentw


Bezug
                                                
Bezug
Bestimmung der Varianz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Sa 18.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
Bestimmung der Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Sa 18.08.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

verzeih die späte Antwort, hatte aber selbst Prüfungsstreß in dem Bereich ;-)

> Aber die Verteilung wird bedingt unter [mm]\mathcal{F}_t[/mm] bestimmt? D.h. ich benötige die bedingte Varianz nicht wahr?

Was soll denn die bedingte Varianz sein? So eine Bezeichnung gibt's nicht.
Was du meinst, ist die Varianz der bedingten Erwartung.

> Also ich habe das in vereinfacht in einem englischen Buch gefunden mit
> [mm]L=\int_0^T \varphi(s)dB_s[/mm]
> Dann heißt es:
>  
> Conditionally on [mm]\mathcal{F}_t,[/mm] L is gaussian

Ja.

> with variance [mm]\sigma^2_t= \int_t^T \varphi^2(s)ds.[/mm]  

Nein. Mit Varianz [mm] $\int_0^t \varphi^2(s)ds$ [/mm]
Welches Buch ist das denn?

MFG,
Gono.



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