Bestimmung des Flächeninhaltes < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Tilo42 |
| Aufgabe | 1. Berechnen Sie den Flächeninhalt der von f(x) =1/3 [mm] x^3 [/mm] - 4/3x und g(x) = 1/3 [mm] x^2 [/mm] + 2/3x eingeschlossenen Fläche.
2. Das gleiche für f(x) = 0,5 [mm] x^2 [/mm] -2 und g(x) = -0,5 x + 1
3. Ebenso für 1- [mm] x^3 [/mm] und [mm] x^2 [/mm] -1
4. Für f(x) = 2x g(x) = x und h(x) = [mm] 2/x^2 [/mm] |
1. Habe die Nullstellen berechnet die bei x = -2; x= 0 ; x=3 liegen. Ich habe nun [mm] \integral_{-2}^{0}{(1/3 x^3 - 1/3 x^2 - 2x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{3}{(1/3 x^3 - 1/3 x^2 - 2x) dx} [/mm] gebildet.
Das Problem dabei ist, der Flächeninhalt bei der Funktion liegt sowohl im positiven wie auch im negativen Bereich. Also habe ich mir gedacht, verschiebe ich die Funktion einfach mal nach oben, aber das hilft mir nicht wirklich weiter, da ich ja das Integral von der Differenz von f(x) und g(x) bilde (Das was unter dem Integralzeichen steht^^) und somit die Verschiebung wegfällt oder mache ich gerade einen Denkfehler?
2 und 3: gilt das gleiche
4. Schnittpunkte berechnet, weiß aber nicht wie ich weiterrechnen soll, da ich ja 3 Funktionen habe und somit nicht vorgehen kann, wie wenn ich 2 habe.
Wäre sehr dankbar für Hilfe, habe mir das auch wirklich schon länger überlegt :D
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Hallo!
Es ist normal, daß ein Integral negative Werte liefern kann, das liegt einfach daran, daß die "untere Kurve" in Wahrheit grade über der anderen liegt. Aber das weißt du ja schon.
Bilde stets den Betrag der einzelnen Integrale, wenn es um solche Flächeberechnungen geht!
Zur letzten Aufgabe:
Hast du eine Vorstellung, wie die Fläche aussieht? Mach dir eine möglichst gute Skizze! Daran erkennst du eigentlich auch, wie du mit (zwei) Integralen das Problem lösen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Tilo42 |
zu 1: Nein, dass das Integral im positiven oder im negativen Bereich liegen kann, das kenne ich schon, dann nimmt man einfach den Betrag. Das Problem die Fläche liegt in beiden Bereichen, also sowohl im positiven als auch im negativen.
zu 4: Habe eine Skizze dazu im Buch, aber sehe da irgendwie keine Beziehungen. Kann man vielleicht aus 2x und x eine Funktion machen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Tilo42 |
Habe jetzt einen Lösungsansatz und würde gerne wissen ob die Ergebnisse stimmen, um zu sehen, ob mein Ansatz stimmt oder nicht:
1. 7,03
2. 10,42
3. 10/3
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Hallo Tilo42,
> Habe jetzt einen Lösungsansatz und würde gerne wissen ob
> die Ergebnisse stimmen, um zu sehen, ob mein Ansatz stimmt
> oder nicht:
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> 1. 7,03
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. 10,42
>
> 3. 10/3
Hier gibt es doch nur einen Schnittpunkt von [mm]1-x^{3}[/mm] und [mm]x^{2}-1[/mm].
Was wurde hier berechnet?
Gruss
MathePower
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Hallo!
> zu 1: Nein, dass das Integral im positiven oder im
> negativen Bereich liegen kann, das kenne ich schon, dann
> nimmt man einfach den Betrag. Das Problem die Fläche liegt
> in beiden Bereichen, also sowohl im positiven als auch im
> negativen.
hmh, ich glaube, wir reden da aneinander vorbei. Du berechnest jedes Teilstück zwischen den Nullstellen getrennt. Manche davon sind positiv, manche negativ. Du nimmst - da nur nach der Fläche gefragt ist - von allen den Betrag, und addierst diesen auf. Das ist alles.
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> zu 4: Habe eine Skizze dazu im Buch, aber sehe da irgendwie
> keine Beziehungen. Kann man vielleicht aus 2x und x eine
> Funktion machen ?
Zunächst mal sieht die Fläche fast wie ein Dreieck aus, eine Seite ist etwas krumm. Dann hast du von den anderen Aufgaben gelernt, die Flächen zu berechnen, indem du die Flächen in einzelne Integrale aufspaltest. Kannst du das auch hier machen? (Zeichne mal die senkrechte Grade x=1 ein!)
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