Bestimmung einer Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 So 19.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Seien V = [mm] <\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }> [/mm] und W = [mm] <\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }> [/mm] Unterräume von [mm] M_{22}(\IR).
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis von V + W und von V [mm] \cap [/mm] W. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie sieht V + W und V [mm] \cap [/mm] W aus, wie bestimme ich es? Wie gehe ich bei dieser Aufgabe am besten vor? Basis bedeutet ja zu zeigen, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem sind und linear unabhängig.
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Hallo stefan00,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien V = [mm]<\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }>[/mm]
> und W = [mm]<\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }>[/mm]
> Unterräume von [mm]M_{22}(\IR).[/mm]
> Bestimmen Sie eine Basis von V + W und von V [mm]\cap[/mm] W.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wie sieht V + W und V [mm]\cap[/mm] W aus, wie bestimme ich es? Wie
> gehe ich bei dieser Aufgabe am besten vor? Basis bedeutet
> ja zu zeigen, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem sind es
> und linear unabhängig.
Richtig.
Bei V handelt es sich um einen Unterraum der Dimension 3 und W ein Unterraum der Dimension 2 von [mm]M_{22}(\IR)[/mm].
Um zu einer Basis von V+W gelangen, bestimme diejenigen Matrizen aus W,
die sich durch eine Linearkombination darstellen lassen.
Diese Matrizen aus W gehoeren dann nicht mehr zur Basis von V+W.
Bei [mm]V \cap W[/mm] ist es ähnlich. Hier werden diejenigen Matrizen aus W bestimmt, die sich in V mittels Linearkombination darstellen lassen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 19.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo MathePower,
vielen Dank für die schnelle Antwort :)
>
danke schön :)
ich komme noch nicht ganz weiter.
> Um zu einer Basis von V+W gelangen, bestimme diejenigen
> Matrizen aus W,
> die sich durch eine Linearkombination darstellen lassen.
eine LK von was? was muss ich wie kombinieren, damit ich auf was komme? Entschuldigung, dass die Frage ein wenig schwammig ist. Muss ich Matrizen aus [mm] M_{22} [/mm] so kombinieren, dass ich zu W komme oder zu V+W? Was ist denn V+W?
Vielen Dank,
Gruß, stefan00.
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Hallo stefan00,
> Hallo MathePower,
> vielen Dank für die schnelle Antwort :)
> >
> danke schön :)
>
> ich komme noch nicht ganz weiter.
>
> > Um zu einer Basis von V+W gelangen, bestimme diejenigen
> > Matrizen aus W,
> > die sich durch eine Linearkombination darstellen
> lassen.
> eine LK von was? was muss ich wie kombinieren, damit ich
> auf was komme? Entschuldigung, dass die Frage ein wenig
> schwammig ist. Muss ich Matrizen aus [mm]M_{22}[/mm] so kombinieren,
> dass ich zu W komme oder zu V+W? Was ist denn V+W?
Versuche die Matrizen aus W als Linearkombination der Matrizen aus V darzustellen.
V+W ist die Summe von zwei Untervektorräumen.
Hier also:
[mm]V+W:=\left\{v+w \left \right| v \in V \ und \ w \in W\right\}[/mm]
>
> Vielen Dank,
> Gruß, stefan00.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Mo 20.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
> Versuche die Matrizen aus W als Linearkombination der
> Matrizen aus V darzustellen.
ok, also
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Richtig?
Aber [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] kann ich nicht aus V darstellen, oder?
> V+W ist die Summe von zwei Untervektorräumen.
>
> Hier also:
>
> [mm]V+W:=\left\{v+w \left \right| v \in V \ und \ w \in W\right\}[/mm]
ja, ok, das ist die Definition für V+W, aber heißt v+w die einzelnen Matrizen zu addieren oder so eine Art Vereinigung herzustellen?
Wie bilde ich V+W?
Danke,Gruß, stefan00
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> > Versuche die Matrizen aus W als Linearkombination der
> > Matrizen aus V darzustellen.
> ok, also
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Richtig?
Hallo,
ja, das stimmt.
> Aber [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] kann ich nicht aus V
> darstellen, oder?
Genau.
>
> > V+W ist die Summe von zwei Untervektorräumen.
> >
> > Hier also:
> >
> > [mm]V+W:=\left\{v+w \left \right| v \in V \ und \ w \in W\right\}[/mm]
>
> ja, ok, das ist die Definition für V+W, aber heißt v+w die
> einzelnen Matrizen zu addieren oder so eine Art Vereinigung
> herzustellen?
> Wie bilde ich V+W?
Das sind sämtliche matrizen drin, die Du erhältst, wenn Du jeweils eine aus W und eine aus V addierst.
Gruß v. Angela
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> Seien V = [mm]<\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }>[/mm]
> und W = [mm]<\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }>[/mm]
> Unterräume von [mm]M_{22}(\IR).[/mm]
> Bestimmen Sie eine Basis von V + W und von V [mm]\cap[/mm] W.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wie sieht V + W und V [mm]\cap[/mm] W aus, wie bestimme ich es? Wie
> gehe ich bei dieser Aufgabe am besten vor? Basis bedeutet
> ja zu zeigen, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem sind
> und linear unabhängig.
Hallo,
mal ein bichen weiter vorn angesetzt:
Welche Gestalt haben die Matrizen, die in V enthalten sind?
Und die aus W?
Welche Dimension hat eigentlcih der Vektorraum der 2x2-Matrizen über [mm] \IR? [/mm] Kannst Du eine Basis angeben?
Siehst Du, daß die erzeugenden Elemente von V und W jeweils linear unabhängig sind?
Wenn Du die Gestalt der Matrizen aus V und W verstanden hast, kannst Du auch angeben, wie die aus V+W aussehen. (summieren.)
Die Matrizen aus [mm] V\cap [/mm] W liegen in beiden Räumen. Welche sind das?
ich meine, daß das Dinge sind, über die Du vor der Bestimmung der basen nachdenken solltest.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Mo 20.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
> Hallo,
hallo...
> Welche Gestalt haben die Matrizen, die in V enthalten
> sind?
hm, was meinst du jetzt mit Gestalt? sie sind aus [mm] M_{22}\IR, [/mm] also eine 2x2-Matrix.
> Und die aus W?
die ja genauso, denn sie sind ja ein Unterraum von [mm] M_{22}\IR, [/mm] oder?
> Welche Dimension hat eigentlcih der Vektorraum der
> 2x2-Matrizen über [mm]\IR?[/mm] Kannst Du eine Basis angeben?
Dimension ist ja die Anzahl der Basen, also hier bei V 3 und bei W 2, oder? Bei einer 2x2-Matrix wären bspw. die Einheitsmatrizen, also E11,E12,E21,E22, also [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] eine Basis, oder nicht? diese sind auch linear unabhängig und ein Erzeugendensystem, meine ich.
W wäre doch z.B. auch eine Basis, oder?
> Siehst Du, daß die erzeugenden Elemente von V und W jeweils
> linear unabhängig sind?
owei, nein, das sehe ich in der Tat nicht, wie sehen die erzeugenden Elemente aus? Ich stehe schon hier auf dem Schlauch muss ich zugeben.
> Wenn Du die Gestalt der Matrizen aus V und W verstanden
> hast, kannst Du auch angeben, wie die aus V+W aussehen.
> (summieren.)
ja, da hast du recht, aber dennoch habe ich ein Problem mit dem Aussehen von V+W, wie soll ich denn V und W summieren? Jede Matrix aus V mit jeder Matrix aus W? Damit habe ich noch ein Problem.
> Die Matrizen aus [mm]V\cap[/mm] W liegen in beiden Räumen. Welche
> sind das?
hm, es ist ja eine Schnittmenge gemeint, V und W haben ja keine gemeinsamen Elemente, oder?
> ich meine, daß das Dinge sind, über die Du vor der
> Bestimmung der basen nachdenken solltest.
ja, da hast du natürlich recht, damit habe ich tatsächlich noch Schwierigkeiten. Ich habe schon ein Problem damit, zu erkennen, was die Matrizen in spitzen Klammern eigentlich sind, sind es Basen, sind es Erzeugendensysteme??? Klingt lächerlich, das zu fragen, aber da hapert es schon.
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
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> > Hallo,
> hallo...
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> > Welche Gestalt haben die Matrizen, die in V enthalten
> > sind?
> hm, was meinst du jetzt mit Gestalt? sie sind aus
> [mm]M_{22}\IR,[/mm] also eine 2x2-Matrix.
Hallo,
ja klar.
Aber in V sind ja nicht alle 2x2-Matrizen drin, die man sich vorstellen kann.
Sondern nur die, die man als Linearkombination von [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] erhält.
Wie sehen die aus?
>
> > Und die aus W?
analog.
> > Welche Dimension hat eigentlcih der Vektorraum der
> > 2x2-Matrizen über [mm]\IR?[/mm] Kannst Du eine Basis angeben?
> Dimension ist ja die Anzahl der Basen,
Nein. Es ist die Anzahl der Vektoren, die eine Basis bilden.
Basis: linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Nochmal: was ist eine Basis des Raumes der 2x2-Matrizen über [mm] \IR. [/mm] Sie besteht aus Matrizen. Wieviele mtrizen brauchst Du, um damit alle 2x2-Matrizen über [mm] \IR [/mm] darstellen zu können. (Ah! Später schreibst Du es ja...)
> also hier bei V 3
> und bei W 2, oder?
Ja. Denn V wird von 3 linear unabhängigen Matrizen erzeugt und W von 2.
> Bei einer 2x2-Matrix wären bspw. die
> Einheitsmatrizen, also E11,E12,E21,E22, also [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> eine Basis, oder nicht?
Nicht "bei einer 2x2-Matrix", sondern: für den Raum der 2x2-Matrizen.
> diese sind auch linear unabhängig
> und ein Erzeugendensystem, meine ich.
Ja.
> W wäre doch z.B. auch eine Basis, oder?
Nein. W ist der Raum, der von den beiden Matrizen in der spitzen Klammer aufgespannt wird.
Aber die beiden Matrizen da drin, die sind linear unabhängig, erzeugen Vund sind somit eine Basis.
>
> > Siehst Du, daß die erzeugenden Elemente von V und W jeweils
> > linear unabhängig sind?
> owei, nein, das sehe ich in der Tat nicht,
Das kann nicht sein: Du hast doch schon (nahezu) gesagt, daß sie eine Basis sind!
> wie sehen die
> erzeugenden Elemente aus? Ich stehe schon hier auf dem
> Schlauch muss ich zugeben.
Schau Dir V an. Da sind alle Matrizen drin, die als Linearkombination von [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] entstehen.
Wovon wird V dann erzeugt? Von den dreien!
Daß sie linear unabhängig sind, merkst Du, wenn Du [mm] a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] löst.
Es ist a=b=c=0 die einzige Lösung. Also sind die drei linear unabhängig. Da sie auch ein Erzeugendensystem sind, haben wir eine Basis von V vorliegen.
>
> > Wenn Du die Gestalt der Matrizen aus V und W verstanden
> > hast, kannst Du auch angeben, wie die aus V+W aussehen.
> > (summieren.)
> ja, da hast du recht, aber dennoch habe ich ein Problem
> mit dem Aussehen von V+W, wie soll ich denn V und W
> summieren? Jede Matrix aus V mit jeder Matrix aus W? Damit
> habe ich noch ein Problem.
Ja, genau
Wie sehen die Matrizen aus V aus? Es sind sämtlcihe Linearkombinationen der drei Erzeugenden.
Also [mm] M\in [/mm] V ==> [mm] M=a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ a & b \\ 0 & c }
[/mm]
So! Obere Dreiecksmatrizen!
>
> > Die Matrizen aus [mm]V\cap[/mm] W liegen in beiden Räumen. Welche
> > sind das?
Na???
Ich hoffe, daß hiermit einiges klarer geworden ist und Du etwas weiter kommst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mo 20.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Aber in V sind ja nicht alle 2x2-Matrizen drin, die man
> sich vorstellen kann.
>
> Sondern nur die, die man als Linearkombination von [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> erhält.
>
> Wie sehen die aus?
ok, das sind alle, die irgendwie mit einem Skalar multipliziert werden und untereinander addiert werden können, eben eine LK, also:
[mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] , wie du unten ja schreibst.
> > > Und die aus W?
>
> analog.
also: [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] , richtig?
beide sind linear unabhängig, weil sie das LGS [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] bzw. [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] lösen, richtig?
und da sie ein Erzeugendensystem von V sind, sind sie damit eine Basis.
> > Dimension ist ja die Anzahl der Basen,
>
> Nein. Es ist die Anzahl der Vektoren, die eine Basis
> bilden.
ja, ok, stimmt, das meinte ich eigentlich auch, an der Ausdrucksweise haperts noch...
> Nochmal: was ist eine Basis des Raumes der 2x2-Matrizen
> über [mm]\IR.[/mm] Sie besteht aus Matrizen. Wieviele mtrizen
> brauchst Du, um damit alle 2x2-Matrizen über [mm]\IR[/mm] darstellen
> zu können. (Ah! Später schreibst Du es ja...)
naja, z.B. eben die Stadardbasis oder kanonische Basis, also benötige ich in dem Fall hier 4 Matrizen, wenn ich die E11...E22 benutzen möchte, aber es g eht auch mit weniger Matrizen, richtig? Denn in diesem Falle hätte meine Basis ja die Dimension 4, aber es geht auch mit 2 Matrizen, z.B. W, um den gesamten Matrizen-Raum über [mm] M_{22}(\IR) [/mm] aufzuspannen.
> > Bei einer 2x2-Matrix wären bspw. die
> > Einheitsmatrizen, also E11,E12,E21,E22, also [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> > eine Basis, oder nicht?
>
> Nicht "bei einer 2x2-Matrix", sondern: für den Raum der
> 2x2-Matrizen.
ok, wieder die ungenaue Ausdrucksweise, sorry ...
> > W wäre doch z.B. auch eine Basis, oder?
>
> Nein. W ist der Raum, der von den beiden Matrizen in der
> spitzen Klammer aufgespannt wird.
Himmel, schon wieder zu ungenau.
> Aber die beiden Matrizen da drin, die sind linear
> unabhängig, erzeugen Vund sind somit eine Basis.
die erzeugen V? Ich dachte W.
> > > Siehst Du, daß die erzeugenden Elemente von V und W jeweils
> > > linear unabhängig sind?
> > owei, nein, das sehe ich in der Tat nicht,
>
> Das kann nicht sein: Du hast doch schon (nahezu) gesagt,
> daß sie eine Basis sind!
ok, jetzt sehe ich es. immerhin etwas.
> > > Wenn Du die Gestalt der Matrizen aus V und W verstanden
> > > hast, kannst Du auch angeben, wie die aus V+W aussehen.
> > > (summieren.)
> > ja, da hast du recht, aber dennoch habe ich ein Problem
> > mit dem Aussehen von V+W, wie soll ich denn V und W
> > summieren? Jede Matrix aus V mit jeder Matrix aus W? Damit
> > habe ich noch ein Problem.
>
> Ja, genau
ok, also muss ich V so setzen: [mm]\pmat{ a & b \\ 0 & c }[/mm] und W so: [mm]\pmat{ a & b \\ b & a }[/mm]? und das dann summmieren zu:
[mm]\pmat{ 2a & 2b \\ b & a+c }[/mm]?
> > > Die Matrizen aus [mm]V\cap[/mm] W liegen in beiden Räumen. Welche
> > > sind das?
>
> Na???
hm, also:
[mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm], weil ja die ersten beiden addiert die dritte ergeben und somit alle in V [mm] \cap [/mm] W liegen.
> Ich hoffe, daß hiermit einiges klarer geworden ist und Du
> etwas weiter kommst.
ja, ich bin ein schwieriger Fall, aber es wird schon klarer, vielen Dank für die Hilfe, wenn du mir noch ein bisschen hilfst, dann sehe ich schon viel klarer, denke ich.
Gruß, Stefan.
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> > Aber in V sind ja nicht alle 2x2-Matrizen drin, die man
> > sich vorstellen kann.
> >
> > Sondern nur die, die man als Linearkombination von [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> > erhält.
> >
> > Wie sehen die aus?
> ok, das sind alle, die irgendwie mit einem Skalar
> multipliziert werden und untereinander addiert werden
> können, eben eine LK, also:
> [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> , wie du unten ja schreibst.
Ja.
Und wenn man nun zu Ende rechnet, stellt man fest, daß sie diese Gestalt haben [mm] \pmat{ a& b \\ 0 & c} [/mm] mit a,b,c [mm] \in \IR.
[/mm]
>
> > > > Und die aus W?
> >
> > analog.
> also: [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] ,
[mm] =\pmat{ a & b \\ b & a } [/mm] mit a,b [mm] \in \IR.
[/mm]
Weil wir so unheimlich geschickt sind, schreiben wir mal lieber [mm] \pmat{ d & e \\ e & d } [/mm] mit d,e [mm] \in \IR, [/mm] denn es haben ja die Vorfaktoren bei den matrizen aus W nichts mit denen von V zu tun. (Man macht dann nämlich den Fehler nicht, den Du weiter unten machst.)
So, und berechnen wir V+W:
Wie gesagt ist [mm] V=\{\pmat{ a& b \\ 0 & c}|a,b,c \in \IR\}, [/mm]
[mm] W=\{\pmat{ d & e \\ e & d }|d,e \in \IR\}.
[/mm]
Wie sehen die Matrizen aus V+W aus?
So: [mm] \pmat{ a& b \\ 0 & c}+\pmat{ d & e \\ e & d }=\pmat{ a+d & b+e \\ e & c+d }
[/mm]
Du kannst Dir nun überlegen, daß das alle 2x2-Matrizen über [mm] \IR [/mm] sind.
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Diese Tun diente eher dazu, Dir zu zeigen, worum es eigentlich geht, wenn man über V+W spricht.
Es ist sicher nicht der schnellste Weg, eine Basis von V+W zu finden.
Diesen schnellen Weg hatte Dir zuvor MathePower gesagt:
Die Matrizen in V sind unabhängig, die erste aus W kann man mit denen aus V ausdrücken und die zweite nicht, also bilden die drei Erzeugenden von V mit der zweiten von W eine Basis.
Die Basis enthält 4 Elemente, woraus folgt, daß V+W gerade der komplette Raum der 2x2-Matrizen über [mm] \IR [/mm] ist.
> beide sind linear unabhängig, weil sie das LGS [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> bzw. [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> lösen, richtig?
>
> und da sie ein Erzeugendensystem von V sind, sind sie damit
> eine Basis.
>
> > > Dimension ist ja die Anzahl der Basen,
> >
> > Nein. Es ist die Anzahl der Vektoren, die eine Basis
> > bilden.
> ja, ok, stimmt, das meinte ich eigentlich auch, an der
> Ausdrucksweise haperts noch...
ich ahnte natürlich, daß Du das richtige meintest.
Es ist ganz wichtig, daß Du Dir in diesen Angelegenheiten von Anfang an eine gewisse Disziplin zulegst.
Wenn man es zu oft schlampig ausgesprochen hat, weiß man irgendwann nicht mehr, was Sache ist.
>
> > Nochmal: was ist eine Basis des Raumes der 2x2-Matrizen
> > über [mm]\IR.[/mm] Sie besteht aus Matrizen. Wieviele mtrizen
> > brauchst Du, um damit alle 2x2-Matrizen über [mm]\IR[/mm] darstellen
> > zu können. (Ah! Später schreibst Du es ja...)
> naja, z.B. eben die Stadardbasis oder kanonische Basis,
> also benötige ich in dem Fall hier 4 Matrizen, wenn ich die
> E11...E22 benutzen möchte, aber es g eht auch mit weniger
> Matrizen, richtig?
Den kompletten Raum bekommst Du nicht mit Basen mit weniger Elementen.
>Denn in diesem Falle hätte meine Basis
> ja die Dimension 4, aber es geht auch mit 2 Matrizen, z.B.
> W, um den gesamten Matrizen-Raum über [mm]M_{22}(\IR)[/mm]
> aufzuspannen.
Für W brauchst Du nur 2 matrizen, dieser Unterraum hat die Dimension 2 - aber er enthält keinesfalls alle 2x2-Matrizen!
> > > > Wenn Du die Gestalt der Matrizen aus V und W verstanden
> > > > hast, kannst Du auch angeben, wie die aus V+W aussehen.
> > > > (summieren.)
> > > ja, da hast du recht, aber dennoch habe ich ein
> Problem
> > > mit dem Aussehen von V+W, wie soll ich denn V und W
> > > summieren? Jede Matrix aus V mit jeder Matrix aus W? Damit
> > > habe ich noch ein Problem.
> >
> > Ja, genau
> ok, also muss ich V so setzen: [mm]\pmat{ a & b \\ 0 & c }[/mm] und
> W so: [mm]\pmat{ a & b \\ b & a }[/mm]? und das dann summmieren zu:
> [mm]\pmat{ 2a & 2b \\ b & a+c }[/mm]?
S.o.
Man summiert ja völlig beliebige Linearkominationen.
>
> > > > Die Matrizen aus [mm]V\cap[/mm] W liegen in beiden Räumen. Welche
> > > > sind das?
> >
> > Na???
> hm, also:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm],
> weil ja die ersten beiden addiert die dritte ergeben und
> somit alle in V [mm]\cap[/mm] W liegen.
Nein, [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] ist nicht in W, sie ist doch von der falschen Machart,
ebenso [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ist auch in V, das stimmt.
Siehst Du, daß [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] nicht in V ist?
Für die Matrizen, die in V und W sind, muß ja
[mm] \pmat{ a& b \\ 0 & c} =\pmat{ d & e \\ e & d } [/mm] gelten,
dh.
a=d
b=e
0=e
c=d,
und dami erhältst Du, daß die dieses Aussehen haben:
[mm] \pmat{ a& 0 \\ 0 & a}.
[/mm]
Also ist [mm] V\cap W=\{ \pmat{ a& 0 \\ 0 & a}| a\in A\}.
[/mm]
Fällt Dir eine Basis dieses Vektorraumes ein? Wieviele Matrizen benötigt man, um ihn zu erzeugen?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mo 20.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Weil wir so unheimlich geschickt sind, schreiben wir mal
> lieber [mm]\pmat{ d & e \\ e & d }[/mm] mit d,e [mm]\in \IR,[/mm] denn es
> haben ja die Vorfaktoren bei den matrizen aus W nichts mit
> denen von V zu tun. (Man macht dann nämlich den Fehler
> nicht, den Du weiter unten machst.)
ok, weil DU geschickt bist, würde ich formulieren, weil das authentischer ist ;) aber ok, ich habe es verstanden, es sind natürlich nicht dieselben Koeffizienten, die hier bei a und b aus den verschiedenen Unterräumen V und W eine Rolle spielen, sondern unterschiedliche.
> So: [mm]\pmat{ a& b \\ 0 & c}+\pmat{ d & e \\ e & d }=\pmat{ a+d & b+e \\ e & c+d }[/mm]
>
> Du kannst Dir nun überlegen, daß das alle 2x2-Matrizen über
> [mm]\IR[/mm] sind.
ok, ich denke mit dem Unterraumkriterium dürfte die Matrix [mm]\pmat{ a+d & b+e \\ e & c+d }[/mm] in [mm] M_{22}(\IR) [/mm] enthalten sein.
> Diese Tun diente eher dazu, Dir zu zeigen, worum es
> eigentlich geht, wenn man über V+W spricht.
ja, das ist auch eine gute Vorgehensweise, damit ich den Hintergrund verstehe, das ist schon sehr gut, danke :)
> Es ist sicher nicht der schnellste Weg, eine Basis von V+W
> zu finden.
ok, für einen Mathe-DAU aber der verständlichste.
> Die Matrizen in V sind unabhängig, die erste aus W kann man
> mit denen aus V ausdrücken und die zweite nicht, also
> bilden die drei Erzeugenden von V mit der zweiten von W
> eine Basis.
aha, ok, jetzt kommt noch ein bisschen mehr Licht ins Dunkel.
> Die Basis enthält 4 Elemente, woraus folgt, daß V+W gerade
> der komplette Raum der 2x2-Matrizen über [mm]\IR[/mm] ist.
ja, genau, W alleine ergibt nicht den kompletten Raum, denn bspw. lässt sich die Matrix [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] nicht aus W alleine bilden.
> Es ist ganz wichtig, daß Du Dir in diesen Angelegenheiten
> von Anfang an eine gewisse Disziplin zulegst.
> Wenn man es zu oft schlampig ausgesprochen hat, weiß man
> irgendwann nicht mehr, was Sache ist.
ja, das ist wichtig, das stimmt, aber manchmal ist die schlampige Ausdrucksweise nur ein Ausdruck für mein Nichtverständnis.
> Für W brauchst Du nur 2 matrizen, dieser Unterraum hat die
> Dimension 2 - aber er enthält keinesfalls alle
> 2x2-Matrizen!
ja, s.o.
> Siehst Du, daß [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] nicht in V ist?
ja, ich denke, weil sich diese Matrix nicht aus den Matrizen aus V bilden lassen.
> und dami erhältst Du, daß die dieses Aussehen haben:
> [mm]\pmat{ a& 0 \\ 0 & a}.[/mm]
>
> Also ist [mm]V\cap W=\{ \pmat{ a& 0 \\ 0 & a}| a\in A\}.[/mm]
hm, ok, das kann ich nachvollziehen, nachdem man oben die einzelnen Positionen der Matrizen gleichsetzt.
>
> Fällt Dir eine Basis dieses Vektorraumes ein? Wieviele
> Matrizen benötigt man, um ihn zu erzeugen?
[mm]V\cap W=\{ \pmat{ a& 0 \\ 0 & a}| a\in A\}[/mm] kann man ja auch so schreiben:
[mm] a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}, [/mm] also benötigt man eine Matrix, folglich hat der Raum die Dimension 1, stimmt das?
das würde ja auch aus der Dimensionsformel dim(V+W)=dim(V) + dim(W) - dim(V [mm] \cap [/mm] W) hervorgehen, denn:
dim(V+W)=4, dim(V)=3, dim(W)=2, damit dim(V+W)=4 ergibt, muss dim(V [mm] \cap [/mm] W)=1 sein, oder?
Vielen Dank für die Hilfe, das ist wirklich gut :)
Gruß, Stefan.
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> > und dami erhältst Du, daß die dieses Aussehen haben:
> > [mm]\pmat{ a& 0 \\ 0 & a}.[/mm]
> >
> > Also ist [mm]V\cap W=\{ \pmat{ a& 0 \\ 0 & a}| a\in A\}.[/mm]
> hm,
> ok, das kann ich nachvollziehen, nachdem man oben die
> einzelnen Positionen der Matrizen gleichsetzt.
Ja, genau.
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> >
> > Fällt Dir eine Basis dieses Vektorraumes ein? Wieviele
> > Matrizen benötigt man, um ihn zu erzeugen?
> [mm]V\cap W=\{ \pmat{ a& 0 \\ 0 & a}| a\in A\}[/mm] kann man ja
> auch so schreiben:
> [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1},[/mm] also benötigt man eine Matrix,
> folglich hat der Raum die Dimension 1, stimmt das?
Ja.
> das würde ja auch aus der Dimensionsformel dim(V+W)=dim(V)
> + dim(W) - dim(V [mm]\cap[/mm] W) hervorgehen, denn:
> dim(V+W)=4, dim(V)=3, dim(W)=2, damit dim(V+W)=4 ergibt,
> muss dim(V [mm]\cap[/mm] W)=1 sein, oder?
Ja.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mo 20.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Diesen schnellen Weg hatte Dir zuvor MathePower gesagt:
>
> Die Matrizen in V sind unabhängig, die erste aus W kann man
> mit denen aus V ausdrücken und die zweite nicht, also
> bilden die drei Erzeugenden von V mit der zweiten von W
> eine Basis.
> Die Basis enthält 4 Elemente, woraus folgt, daß V+W gerade
> der komplette Raum der 2x2-Matrizen über [mm]\IR[/mm] ist.
eine Frage dazu habe ich noch:
Meine Basist B ist nun: [mm] a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] + [mm] d\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
um zu zeigen, dass dies ein Erzeugendensystem von [mm] M_{22}\IR [/mm] ist, muss ich ja das LGS:
[mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } + b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } + c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } + d\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } = \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm]
lösen, oder?
also: [mm] \pmat{ a & b+d \\ d & c } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }.
[/mm]
wie kann ich diese Matrix nun mit Hilfe des Gauß-Algorithmus in Treppennormalform bringen,um zu zeigen, dass es den Rang 2 hat und damit lösbar ist?
Oder gibt es eine Argumentationsweise, wie ich das ohne formalen Notation zeigen kann?
Nochmals vielen Dank, das hat mich wirklich weiter gebracht.
Gruß, Stefan.
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> Hallo,
> > Diesen schnellen Weg hatte Dir zuvor MathePower gesagt:
> >
> > Die Matrizen in V sind unabhängig, die erste aus W kann man
> > mit denen aus V ausdrücken und die zweite nicht, also
> > bilden die drei Erzeugenden von V mit der zweiten von W
> > eine Basis.
> > Die Basis enthält 4 Elemente, woraus folgt, daß V+W
> gerade
> > der komplette Raum der 2x2-Matrizen über [mm]\IR[/mm] ist.
> eine Frage dazu habe ich noch:
> Meine Basist B ist nun: [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> + [mm]c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] + [mm]d\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
Nee, eine Basis von V+W ist [mm] B=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 })
[/mm]
> um
> zu zeigen, dass dies ein Erzeugendensystem von [mm]M_{22}\IR[/mm]
> ist, muss ich ja das LGS:
> [mm]a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } + b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } + c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } + d\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } = \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm]
>
> lösen, oder?
Irgendwie ist hier die Katze dabei, sich in den Schwanz zu beißen.
Es sind in V+W ja die Vektoren enthalten, die man als [mm] a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }+d\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+e\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] schreiben kann.
Den Vektor hinter d kannst Du ja schreiben als [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }, [/mm] also bekommt Du, daß die Vektoren aus V+W die Gestalt
[mm] a\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+c\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }+d(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 })+e\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] =(a+d)\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+(c+d)\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }+e\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] haben.
Und weil sie diese Gestalt haben, werden sie von den 4 Matrizen erzeugt. "Erzeugendensystem" steht also gar nicht in Frage!
Zusammen mit der linearen Unabhängigkeit hast Du "Basis".
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Mo 20.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Nee, eine Basis von V+W ist [mm]B=(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 })[/mm]
ja klar, das meinte ich ja, ich hab hier die Formeln immer kopiert, damit ich nicht immer die Matrizen neu schreiben muss, sorry, das war einfach ein Schreibfehler.
> Und weil sie diese Gestalt haben, werden sie von den 4
> Matrizen erzeugt. "Erzeugendensystem" steht also gar nicht
> in Frage!
ja, natürlich, das ist ja gerade die Argumentation, ich kann V+W ja durch die gefundene Basis erzeugen ...
Danke nochmals.
Gruß, Stefan.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 20.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Sei f : V [mm] \to [/mm] W definiert durch [mm] f\pmat{ x & y \\ 0 & z } [/mm] = [mm] \pmat{ x+y & z \\ z & x+y } [/mm] für alle [mm] \pmat{ x & y \\ 0 & z } \in M_{22}(\IR)
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f). |
Der Kern ist ja definiert durch: [mm] Kern(f)=\{v \in V | f(v)=0 \}
[/mm]
hier also:
[mm] \{v \in \pmat{ x & y \\ 0 & z } | f(\pmat{ x & y \\ 0 & z })=\pmat{ x+y & z \\ z & x+y }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \}?
[/mm]
Also x+y=0 und z=0, also x=-y, ist eine Basis dann [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }, [/mm] weil ja [mm] a(\pmat{1 & 0 \\ 0 & -1})? [/mm] Das LGS ist lösbar, da [mm] Rang(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 })=2, [/mm] oder? Demnach ist es linear unabhängig.
Oder wie bestimme ich eine Basis von Kern(f)?
Danke vielmals, Stefan.
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> Sei f : V [mm]\to[/mm] W definiert durch [mm]f\pmat{ x & y \\ 0 & z }[/mm] =
> [mm]\pmat{ x+y & z \\ z & x+y }[/mm] für alle [mm]\pmat{ x & y \\ 0 & z } \in M_{22}(\IR)[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f).
> Der Kern ist ja definiert durch: [mm]Kern(f)=\{v \in V | f(v)=0 \}[/mm]
Hallo,
ja.
>
> hier also:
> [mm]\{ \pmat{ x & y \\ 0 & z } | f(\pmat{ x & y \\ 0 & z })=\pmat{ x+y & z \\ z & x+y }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }, x,y,z\in \IR \}?[/mm]
Ja.
Sei [mm] \pmat{ x & y \\ 0 & z }\in [/mm] Kern f
==>
>
> Also x+y=0 und z=0, also x=-y,
Also haben alle Matrizen, die im Kern von f sind die Gestalt [mm] \pmat{ x & -x \\ 0 & 0 }=x\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0 },
[/mm]
also wird der Kern erzeugt von [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
ist eine Basis dann [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 },[/mm]
> weil ja [mm]a(\pmat{1 & 0 \\ 0 & -1})?[/mm] Das LGS ist lösbar, da
> [mm]Rang(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 })=2,[/mm] oder? Demnach ist es
> linear unabhängig.
>
> Oder wie bestimme ich eine Basis von Kern(f)?
Im Prinzip hast Du's richtig gemacht, lediglich ein Element falsch plaziert.
Die Matrix [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 0 } [/mm] erzeugt den Kern, sie ist natürlich linear unabhängig, bildet also eine Basis.
(Die Sache mit dem Rang der Matrix hat hier nichts zu suchen. Das ist, wenn Du Spalten in eine matrix stellst und wissen willst, ob die Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Unsere vektoren sind aber hier Matrizen!)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Di 21.10.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> Im Prinzip hast Du's richtig gemacht, lediglich ein Element
> falsch plaziert.
naja, ich glaube, ich habe es ein wenig falsch verstanden, jetzt denke ich aber, es ist klar:
[mm]f\pmat{x & y \\ 0 & z } = \pmat{x+y & z \\ z & x+y } = \pmat{0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
Die Gleichung ist ja dann:
x+y=0 und z=0, also y=-x oder x=-y, das müsste ja äquivalent sein. Heißt also:
[mm] \pmat{0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] kommt dann heraus, wenn: [mm] f\pmat{x & -x \\ 0 & 0 }
[/mm]
denn das ist ja eingesetzt:
[mm] \pmat{x-x & 0 \\ 0 & x-x}=\pmat{0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
also hat die Basis des Kerns von f die Gestalt:
[mm] x\pmat{1 & -1 \\ 0 & 0}.
[/mm]
> (Die Sache mit dem Rang der Matrix hat hier nichts zu
> suchen. Das ist, wenn Du Spalten in eine matrix stellst und
> wissen willst, ob die Spaltenvektoren linear unabhängig
> sind. Unsere vektoren sind aber hier Matrizen!)
ok, in unserem Kurs wird immer wieder auf den Rang verwiesen, denn wenn man in TNF auflösen kann
und der Rang ist so "groß" wie die Matrix, dann kann man das LGS lösen und somit kann man dadaurch
eben lineare Unabhängigkeit und ein Erzeugendensystem zeigen.
Vielen Dank nochmals, hab richtig viel gelernt :)
Gruß, Stefan.
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