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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Fr 13.03.2015 | | Autor: | Audin |
| Aufgabe | Aufgabe 2:
Sei X = [mm] \IR^3 [/mm] und sei die affine Abbildung [mm] \Phi [/mm] : X [mm] \to [/mm] X gegeben durch
[mm] \Phi(1,0,0) [/mm] = (2,2,2), [mm] \Phi(1,1,0) [/mm] = (3,1,3), [mm] \Phi(1,1,1) [/mm] = (4,2,2) und [mm] \Phi(0,0,1) [/mm] =
(2,2,0) .
(1) Stellen Sie [mm] \Phi [/mm] wie in Aufgabe 1 dar.
(2) Bestimmen Sie die eindeutige Zerlegung [mm] \Phi [/mm] = [mm] \tau \circ \psi [/mm] aus Lemma 1.31 mit
A:= (1,−1,1) [mm] \in [/mm] X .
Zur vollständigkeit halber:
Lemma. 1.31 Für ein fest gewähltes A [mm] \in [/mm] X kann jede affine Abb. [mm] \Phi [/mm] : X [mm] \to [/mm] X in
eindtg. Weise als Komposition [mm] \tau \circ \psi [/mm] geschrieben werden, wobei [mm] \tau [/mm] eine Translation und
[mm] \psi [/mm] : X [mm] \to [/mm] X eine affine Abb. ist mit [mm] \psi(A) [/mm] = A.
Aufgabe 1:
(1) Seien K ein Körper, V , V' zwei K-Vektorräume und X = V bzw. X ' = V'
affine Räume wie in Lemma 1.2 definiert. Zeigen Sie, dass [mm] \Psi [/mm] : X [mm] \to [/mm] X' genau
dann eine affine Abbildung ist, wenn eine lineare Abbildung [mm] \psi: [/mm] V [mm] \to [/mm] V' und ein [mm] b\in [/mm] V'
existieren mit [mm] \Phi(x) [/mm] = [mm] \psi(x) [/mm] + b . Dabei ist dann [mm] \psi =\overrightarrow{\varphi}
[/mm]
Bestimmen Sie $b$ für eine gegebene affine Abbildung [mm] \Phi [/mm] .
Beachten Sie, dass hierbei die Elemente aus X bzw. X' sowohl wie Punkte als
auch wie Vektoren behandelt werden.
(2) Geben Sie für Translationen eine Darstellung an, wie sie im ersten Aufgabenteil beschrieben ist. |
Also es geht um Aufgabe 2
Bei (1) haben ich das korrekte Ergebniss von
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1} [/mm] und b= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
herausbekommen.
Bei (2) weiss ich allerdings nicht mehr weiter.
Man soll also [mm] \varphi [/mm] = [mm] \tau \circ \psi, A=(1,-1,1)\in [/mm] X, [mm] \psi(A)=A [/mm] -> Fixpunkte bestimmen.
Ich brauche also drei Abbildungen: [mm] \varphi, \tau [/mm] und [mm] \psi.
[/mm]
Das einzige was ich davon habe ist jedoch [mm] \varphi [/mm] aus Aufgabenteil 2 die (1)
[mm] \varphi (x_1,x_2,x_3) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1} \cdot \vec{x} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Also muss ich [mm] \tau [/mm] und [mm] \phi [/mm] noch irgendwie aufstellen.
Allerdings weiss ich nicht wie das gehen sollen. Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Aufgabe 2:
> Sei X = [mm]\IR^3[/mm] und sei die affine Abbildung [mm]\Phi[/mm] : X [mm]\to[/mm] X
> gegeben durch
> [mm]\Phi(1,0,0)[/mm] = (2,2,2), [mm]\Phi(1,1,0)[/mm] = (3,1,3), [mm]\Phi(1,1,1)[/mm]
> = (4,2,2) und [mm]\Phi(0,0,1)[/mm] =
> (2,2,0) .
> (1) Stellen Sie [mm]\Phi[/mm] wie in Aufgabe 1 dar.
> (2) Bestimmen Sie die eindeutige Zerlegung [mm]\Phi[/mm] = [mm]\tau \circ \psi[/mm]
> aus Lemma 1.31 mit
> A:= (1,−1,1) [mm]\in[/mm] X .
>
> Zur vollständigkeit halber:
>
> Lemma. 1.31 Für ein fest gewähltes A [mm]\in[/mm] X kann jede
> affine Abb. [mm]\Phi[/mm] : X [mm]\to[/mm] X in
> eindtg. Weise als Komposition [mm]\tau \circ \psi[/mm] geschrieben
> werden, wobei [mm]\tau[/mm] eine Translation und
> [mm]\psi[/mm] : X [mm]\to[/mm] X eine affine Abb. ist mit [mm]\psi(A)[/mm] = A.
>
> Aufgabe 1:
> (1) Seien K ein Körper, V , V' zwei K-Vektorräume und X =
> V bzw. X ' = V'
> affine Räume wie in Lemma 1.2 definiert. Zeigen Sie, dass
> [mm]\Psi[/mm] : X [mm]\to[/mm] X' genau
> dann eine affine Abbildung ist, wenn eine lineare
> Abbildung [mm]\psi:[/mm] V [mm]\to[/mm] V' und ein [mm]b\in[/mm] V'
> existieren mit [mm]\Phi(x)[/mm] = [mm]\psi(x)[/mm] + b . Dabei ist dann [mm]\psi =\overrightarrow{\varphi}[/mm]
>
> Bestimmen Sie [mm]b[/mm] für eine gegebene affine Abbildung [mm]\Phi[/mm] .
> Beachten Sie, dass hierbei die Elemente aus X bzw. X'
> sowohl wie Punkte als
> auch wie Vektoren behandelt werden.
>
> (2) Geben Sie für Translationen eine Darstellung an, wie
> sie im ersten Aufgabenteil beschrieben ist.
> Also es geht um Aufgabe 2
>
> Bei (1) haben ich das korrekte Ergebniss von
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1}[/mm] und b=
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> herausbekommen.
> Bei (2) weiss ich allerdings nicht mehr weiter.
Die Lösung ist nicht einfach. Ein allgemeiner Ratschlag: Schau dir den Beweis von Lemma 1.31. an. Dort wird man sicher eine Konstruktionsvorschrift für diese beiden gesuchten Abbildungen angegeben haben.
Mit anderen Worten: Du musst den Beweis von Lemma 1.31 mit deinem konkreten Beispiel nachvollziehen.
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Hier eine Brute-Force-Methode:
Du weißt, dass auch [mm] $\psi$ [/mm] die Gestalt [mm] $\psi(x) [/mm] = [mm] A\cdot [/mm] x + c$ haben muss mit deiner Matrix $A$ von oben und einem Vektor $c [mm] \in \IR^3$.
[/mm]
Damit $a := (1,-1,1)$ wie gewünscht Fixpunkt dieser Abbildung ist, muss gelten:
$a = [mm] \psi(a) [/mm] = A a + c$,
d.h.
$(I-A) [mm] \cdot [/mm] a = c$.
Damit kannst du $c$ bestimmen.
Die Translation sollte dann durch [mm] $\tau(x) [/mm] = x - c+b$ gegeben sein.
Viele Grüße,
Stefan
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