Bestimmung einer arith. Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei einer arithmetischen Folge (an) ist die Summe der ersten drei Glieder 9. Die Summe des ersten und des vierten Glieds ergibt 8
Bestimme das Bildungsgesetz der Folge!
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Bastel grade an einer Übung zur Vorabiklausur, die Aufgabe steht ja oben...
Aus der Aufgabe lese ich:
[mm] a_{1}+a_{2}+a_{3} [/mm] = 9
[mm] a_{1}+a_{4} [/mm] = 8
Ich bin mir nicht saicher, ob es richtig ist, jedoch gehe ich mal davon aus.
Wie muss ich jetzt weiterrechnen?
Ich meine, es gibt doch mehrere Möglichkeiten...
Nehme ich an, [mm] a_{1} [/mm] sei 1, dann ergäbe sich dass [mm] a_{2}+a_{3} [/mm] = 8 sein müssten und [mm] a_{4} [/mm] = 8 sein müsste...
Nur muss es doch noch eine richtige Möglichkeit geben, an die verschiedenen Werte zu kommen, außer sich seine eigene Folge zu entwickeln oder?
Wie muss ich hier vorgehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Sa 12.12.2009 | | Autor: | dxlegends |
Nach einiger Überlegung bin ich zu folgendem Schluss gekommen:
1. Nochmal Unterschied zwischen arithm. und geom. Folge angeschaut.
--> demnach müsste hier immer diesselbe Zahl dazu addiert werden.
2. Daraus ergibt sich für mich:
[mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3} [/mm] = 9
1 + 3 + 5 = 9
und
[mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{4} [/mm] = 8
1 + 7 = 8
Ist dies soweit richtig?
Ich hoffe mal :)
Nur wie genau kann ich daraus jetzt das Bildungsgesetz formen?
Nach meinen Überlegungen müsste dies, (sofern dies möglich ist) lauten:
[mm] a_{n} [/mm] = 2*n - 1
Daraus ergäbe sich:
für n = 4 :
[mm] a_{4}= [/mm] 2*4-1= 7
für n=3:
[mm] a_{3}= [/mm] 2*3 -1= 5
Ist dies so richtig?
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> Bei einer arithmetischen Folge (an) ist die Summe der
> ersten drei Glieder 9. Die Summe des ersten und des vierten
> Glieds ergibt 8
> Bestimme das Bildungsgesetz der Folge!
>
> Bastel grade an einer Übung zur Vorabiklausur, die Aufgabe
> steht ja oben...
> Aus der Aufgabe lese ich:
> [mm]a_{1}+a_{2}+a_{3}[/mm] = 9
> [mm]a_{1}+a_{4}[/mm] = 8
>
> Ich bin mir nicht saicher, ob es richtig ist, jedoch gehe
> ich mal davon aus.
>
> Wie muss ich jetzt weiterrechnen?
> Ich meine, es gibt doch mehrere Möglichkeiten...
> Nehme ich an, [mm]a_{1}[/mm] sei 1, dann ergäbe sich dass
> [mm]a_{2}+a_{3}[/mm] = 8 sein müssten und [mm]a_{4}[/mm] = 8 sein
> müsste...
> Nur muss es doch noch eine richtige Möglichkeit geben, an
> die verschiedenen Werte zu kommen, außer sich seine eigene
> Folge zu entwickeln oder?
> Wie muss ich hier vorgehen?
Damit du nicht nur probieren musst, solltest du
zwei Unbekannte einführen:
$\ [mm] a_1=$ [/mm] erstes Glied der Folge
$\ d=$ konstante Differenz der Folge
Dann kannst du die übrigen Glieder mittels [mm] a_1 [/mm] und $d$
darstellen, z.B.
[mm] a_3=a_1+2*d
[/mm]
und kommst dann auf ein lineares Gleichungs-
system für [mm] a_1 [/mm] und $d$ .
LG Al-Chw.
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Hmm, ich habe es mal probiert, wie du es vorgeschlagen hast.
Damit käme ich auf folgende Rechnung:
[mm] a_{1}+ a_{1}+d+ a_{1}+2d [/mm] = 9
[mm] 3*a_{1} [/mm] + 3*d = 9 |:3
[mm] a_{1} [/mm] + d = 3
Somit hätte ich zwar den Wert von [mm] a_{2} [/mm] = 3 errechnet, allerdings wüßte ich noch nicht, was [mm] a_{1} [/mm] und was [mm] a_{3} [/mm] ist.
Dummerweise käme ich bei weglassen von [mm] a_{2} [/mm] auch nur wieder auf das Ergebnis von [mm] a_{2} (a_{1}+d= [/mm] 3)
Wo mache ich hier den Fehler?
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> Hmm, ich habe es mal probiert, wie du es vorgeschlagen
> hast.
> Damit käme ich auf folgende Rechnung:
> [mm]a_{1}+ a_{1}+d+ a_{1}+2d[/mm] = 9
> [mm]3*a_{1}[/mm] + 3*d = 9 |:3
> [mm]a_{1}[/mm] + d = 3
>
> Somit hätte ich zwar den Wert von [mm]a_{2}[/mm] = 3 errechnet,
> allerdings wüßte ich noch nicht, was [mm]a_{1}[/mm] und was [mm]a_{3}[/mm]
> ist.
> Dummerweise käme ich bei weglassen von [mm]a_{2}[/mm] auch nur
> wieder auf das Ergebnis von [mm]a_{2} (a_{1}+d=[/mm] 3)
>
> Wo mache ich hier den Fehler?
Du musst natürlich auch noch die zweite Angabe
(über die Summe von [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_4) [/mm] einbringen !
LG
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Hmm, das bringt mich nur bedingt weiter -.-
bzw. ich weiß nicht worauf das hinauslaufen soll...
$ [mm] a_{1}+ a_{1}+d+ a_{1}+2d [/mm] $ = 9
> $ [mm] 3\cdot{}a_{1} [/mm] $ + 3*d = 9 dies ist ja die erste gegebene Gleichung angepasst und zusammengefasst
die zweite wäre dann ja:
[mm] a_{1}+ a_{1} [/mm] + 3d =8
also :
[mm] 2*a_{1} [/mm] + 3d = 8
nur wie soll das jetzt weitergehen?
teile ich es durch 2 kriege ich 1,5d...
füge ich die beiden gleichungen zusammen bekäme ich:
[mm] 5*a_{1} [/mm] + 6d = 17
Sry, wahrscheinlich habe ich einfach grad hierbei ein Brett vorm Kopf ;)
Danke schonmal für die bisherigen Antworten und auch für die folgenden
MLG
Legends
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Du hattest vorher die Gleichung (1) [mm] a_1+d=3 [/mm] und
jetzt dazu noch (2) [mm] 2*a_1+3*d=8 [/mm] . Löse (1) nach [mm] a_1
[/mm]
oder nach d auf und setze in (2) ein !
LG Al-Chw.
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Nach deinem Vorschlag komme ich auf folgendes:
I. 3 * [mm] a_{1} [/mm] + 3 d = 9 |-3d
[mm] 3*a_{1} [/mm] = 9- 3d |:3
[mm] a_{1} [/mm] = 3-d
I in II
2* (3-d) + 3d = 8
6-2d+3d = 8 |-6
d= 2
Wäre dies richtig?
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Hallo dxlegends,
> Nach deinem Vorschlag komme ich auf folgendes:
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> I. 3 * [mm]a_{1}[/mm] + 3 d = 9 |-3d
> [mm]3*a_{1}[/mm] = 9- 3d |:3
> [mm]a_{1}[/mm] = 3-d
>
> I in II
> 2* (3-d) + 3d = 8
> 6-2d+3d = 8 |-6
> d= 2
>
> Wäre dies richtig?
Wunderbar ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ! Nun folgt noch [mm] $a_{1} [/mm] = 1$ aus der obigen Gleichung [mm] $a_{1} [/mm] = 3-d$, und dann hast du genau dasselbe Ergebnis wie oben auf rechnerischen Wege ohne Ausprobieren hergeleitet 
Grüße,
Stefan
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