Bestimmung einer sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 26.10.2013 | | Autor: | NaCl |
| Aufgabe | Man bestimme die von
[mm] \mathcal{C} [/mm] := [mm] \{\{x\} | x \in \Omega \}
[/mm]
erzeugte [mm] \sigma{}-Algebra, [/mm] bezeichnet mit [mm] \mathcal{A}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich weiß leider nicht wirklich, was ich hier tun soll. Ich habe überlegt, dass es die [mm] \sigma{}-Algebra [/mm] ist, die alle Mengen von [mm] \mathcal{C} [/mm] enthält.
Also [mm] \mathcal{A} =\{\Omega \setminus \{x\} | x \in \Omega\} \cup \mathcal{P} (\mathcal{C}). [/mm] Dies scheint mir aber eine eigentlich zu kurze Antowort zu sein.
Über einen Tipp, eine Korrektur, oder was auch immer ihr meint mit mitteilen zu müssen, freue ich mich!
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 27.10.2013 | | Autor: | NaCl |
Hallo tobit09,
ersteinmal vielen Dank für die Antwort!
Du sagtest
> Die KLEINSTE [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle Mengen von
> [mm]\mathcal{C}[/mm] enthält.
heißt das für mich [mm] \mathcal{A}=\{\emptyset , \mathcal{C}\} [/mm] ? Das ist doch immer die kleinste [mm] \sigma-Algebra, [/mm] oder?
> > Also [mm]\mathcal{A} =\{\Omega \setminus \{x\} | x \in \Omega\} \cup \mathcal{P} (\mathcal{C}).[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Schade... ;)
> Du meinst wohl am Ende [mm]\mathcal{C}[/mm] statt
> [mm]\mathcal{P}(\mathcal{C})[/mm]. (Denn z.B.
> [mm]\mathcal{C}\in\mathcal{P}(\mathcal{C})[/mm], aber [mm]\mathcal{C}[/mm]
> ist im Allgemeinen gar keine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] und damit
> auch nicht Element von [mm]\mathcal{A}[/mm].)
Ok, den einwand, dass i.A. [mm] \mathcal{C} \notin \Omega [/mm] ist, habe ich verstanden, aber was hat das mit der [mm] \sigma-Algebra [/mm] zu tun?
> Aber auch [mm]\{\Omega\setminus\{x\}\;|\;x\in\Omega\}\cup\mathcal{C}[/mm] ist
> im Allgemeinen gar keine [mm]\sigma[/mm]-Algebra. Zwar ist diese
> Menge im Falle [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] nichtleer und unter
> Komplementen abgeschlossen. Aber sie ist im Allgemeinen
> nicht abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung.
Das muss ich mir nochmal genauer anschauen...
> Du musst also weitere Mengen dazunehmen, um zu einer
> Darstellung von [mm]\mathcal{A}[/mm] zu gelangen.
Jetzt bin ich völlig verwirrt ;) Also ist meine Interpretation deiner Aussage der "kleinsten [mm] \sigma-Algebra\grqq [/mm] falsch?!?
Vielen Dank und viele Grüße,
NaCl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 So 27.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo tobit09,
>
> ersteinmal vielen Dank für die Antwort!
> Du sagtest
> > Die KLEINSTE [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle Mengen von
> > [mm]\mathcal{C}[/mm] enthält.
> heißt das für mich [mm]\mathcal{A}=\{\emptyset , \mathcal{C}\}[/mm]
> ? Das ist doch immer die kleinste [mm]\sigma-Algebra,[/mm] oder?
Ja, aber gesucht ist die KLEINSTE [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle Mengen von [mm]\mathcal{C}[/mm] enthält.
Das hast Di überlesen.
>
> > > Also [mm]\mathcal{A} =\{\Omega \setminus \{x\} | x \in \Omega\} \cup \mathcal{P} (\mathcal{C}).[/mm]
>
> >
> >
> Schade... ;)
>
> > Du meinst wohl am Ende [mm]\mathcal{C}[/mm] statt
> > [mm]\mathcal{P}(\mathcal{C})[/mm]. (Denn z.B.
> > [mm]\mathcal{C}\in\mathcal{P}(\mathcal{C})[/mm], aber [mm]\mathcal{C}[/mm]
> > ist im Allgemeinen gar keine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] und damit
> > auch nicht Element von [mm]\mathcal{A}[/mm].)
> Ok, den einwand, dass i.A. [mm]\mathcal{C} \notin \Omega[/mm] ist,
> habe ich verstanden, aber was hat das mit der
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] zu tun?
>
>
> > Aber
> auch [mm]\{\Omega\setminus\{x\}\;|\;x\in\Omega\}\cup\mathcal{C}[/mm] ist
> > im Allgemeinen gar keine [mm]\sigma[/mm]-Algebra. Zwar ist diese
> > Menge im Falle [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] nichtleer und unter
> > Komplementen abgeschlossen. Aber sie ist im Allgemeinen
> > nicht abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung.
> Das muss ich mir nochmal genauer anschauen...
> > Du musst also weitere Mengen dazunehmen, um zu einer
> > Darstellung von [mm]\mathcal{A}[/mm] zu gelangen.
> Jetzt bin ich völlig verwirrt ;) Also ist meine
> Interpretation deiner Aussage der "kleinsten
> [mm]\sigma-Algebra\grqq[/mm] falsch?!?
Siehe oben .
FRED
>
> Vielen Dank und viele Grüße,
>
> NaCl
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 27.10.2013 | | Autor: | NaCl |
Hallo Fred,
> Ja, aber gesucht ist die KLEINSTE [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle
> Mengen von [mm]\mathcal{C}[/mm] enthält.
>
> Das hast Di überlesen.
Da du das nochmal so herausstellst, gehe ich davon aus, dass [mm] \mathcal{A}=\{\emptyset,\mathcal{C}\} [/mm] nicht die gesuchte (kleinste) [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist. Wieso aber, finde ich z.B. in meinen Vorlesungsnotizen das Beispiel [mm] \mathcal{B}=\{\emptyset,\Omega\} [/mm] als kleinste [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega? [/mm]
Oder ist genau das mein Denkfehler, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] die kleinste [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \mathcal{C} [/mm] ist, nicht aber eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Ja, aber gesucht ist die KLEINSTE [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle
> > Mengen von [mm]\mathcal{C}[/mm] enthält.
> >
> > Das hast Di überlesen.
> Da du das nochmal so herausstellst, gehe ich davon aus,
> dass [mm]\mathcal{A}=\{\emptyset,\mathcal{C}\}[/mm] nicht die
> gesuchte (kleinste) [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
Wir suchen nicht die kleinste Sigma-Algebra [mm]\mathcal{F}[/mm] über [mm]\Omega[/mm], sondern die kleinste Sigma-Algebra [mm]\mathcal{F}[/mm] über [mm]\Omega[/mm] mit [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}[/mm].
[mm]\{\emptyset,\mathcal{C}\}[/mm] ist gar keine Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm].
> Wieso aber, finde
> ich z.B. in meinen Vorlesungsnotizen das Beispiel
> [mm]\mathcal{B}=\{\emptyset,\Omega\}[/mm] als kleinste
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] auf [mm]\Omega?[/mm]
Das stimmt ja auch.
> Oder ist genau das mein Denkfehler, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] die
> kleinste [mm]\sigma-Algebra[/mm] auf [mm]\mathcal{C}[/mm] ist, nicht aber
> eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] auf [mm]\Omega[/mm] ?
So ist es.
Dies ist einer deiner beiden Denkfehler in dieser Frage.
Der andere ist, dass du die kleinste Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm] mit der kleinsten Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm], die [mm]\mathcal{C}[/mm] umfasst, durcheinander schmeißt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 So 27.10.2013 | | Autor: | NaCl |
> > > Ja, aber gesucht ist die KLEINSTE [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle
> > > Mengen von [mm]\mathcal{C}[/mm] enthält.
> > >
> > > Das hast Di überlesen.
> > Da du das nochmal so herausstellst, gehe ich davon aus,
> > dass [mm]\mathcal{A}=\{\emptyset,\mathcal{C}\}[/mm] nicht die
> > gesuchte (kleinste) [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
> Wir suchen nicht die kleinste Sigma-Algebra [mm]\mathcal{F}[/mm]
> über [mm]\Omega[/mm], sondern die kleinste Sigma-Algebra
> [mm]\mathcal{F}[/mm] über [mm]\Omega[/mm] mit
> [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}[/mm].
>
> [mm]\{\emptyset,\mathcal{C}\}[/mm] ist gar keine Sigma-Algebra über
> [mm]\Omega[/mm].
>
> > Wieso aber, finde
> > ich z.B. in meinen Vorlesungsnotizen das Beispiel
> > [mm]\mathcal{B}=\{\emptyset,\Omega\}[/mm] als kleinste
> > [mm]\sigma-Algebra[/mm] auf [mm]\Omega?[/mm]
> Das stimmt ja auch.
>
> > Oder ist genau das mein Denkfehler, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] die
> > kleinste [mm]\sigma-Algebra[/mm] auf [mm]\mathcal{C}[/mm] ist, nicht aber
> > eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] auf [mm]\Omega[/mm] ?
> So ist es.
> Dies ist einer deiner beiden Denkfehler in dieser Frage.
> Der andere ist, dass du die kleinste Sigma-Algebra über
> [mm]\Omega[/mm] mit der kleinsten Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm], die
> [mm]\mathcal{C}[/mm] umfasst, durcheinander schmeißt.
Hmm. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, denke ich, dass ich zumindest mal die Aufgabe verstanden habe (Juhu, ein erster Schritt!)
Also muss ich eine [mm] $\sigma$ [/mm] -Algebra [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] auf [mm] $\Omega$ [/mm] finden, mit [mm] $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{A}$. [/mm] Diese nennt man dann die von [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] erzeugte [mm] $\sigma$ [/mm] -Algebra [mm] §\mathcal{A}$.
[/mm]
Aber wie mache ich das? :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Hmm. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, denke ich,
> dass ich zumindest mal die Aufgabe verstanden habe (Juhu,
> ein erster Schritt!)
> Also muss ich eine [mm]\sigma[/mm] -Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] auf
> [mm]\Omega[/mm] finden, mit [mm][mm] \mathcal{C} \subseteq \mathcal{A}[/mm] [mm].[/mm]
Ja, und zwar nicht irgendeine Sigma-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] auf [mm]\Omega[/mm] mit [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}[/mm], sondern die kleinste solche Sigma-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm].
> Aber wie mache ich das? :/
Lass uns zunächst noch ein wenig beim Beispiel [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm] bleiben.
Siehe dazu meine Fragen aus der anderen Antwort. Wenn die geklärt sind, können wir mal für [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm] und eine gewisse Menge [mm]\mathcal{G}[/mm] von Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] die von [mm]\mathcal{G}[/mm] erzeugte Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 27.10.2013 | | Autor: | NaCl |
> > Hmm. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, denke
> ich,
> > dass ich zumindest mal die Aufgabe verstanden habe
> (Juhu,
> > ein erster Schritt!)
> > Also muss ich eine [mm]\sigma[/mm] -Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] auf
> > [mm]\Omega[/mm] finden, mit [mm][mm]\mathcal{C} \subseteq \mathcal{A}[/mm] [mm].[/mm]
> Ja, und zwar nicht irgendeine Sigma-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] auf [mm]\Omega[/mm] mit [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}[/mm], sondern die kleinste solche Sigma-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm].
> > Aber wie mache ich das? :/
> Lass uns zunächst noch ein wenig beim Beispiel [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm] bleiben.
> Siehe dazu meine Fragen aus der anderen Antwort. Wenn die geklärt sind, können wir mal für [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm] und eine gewisse Menge [mm]\mathcal{G}[/mm] von Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] die von [mm]\mathcal{G}[/mm] erzeugte Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] bestimmen.
Dann werde ich mal hier auf beide deiner Antworten reagieren.
Zu den Kommata: Oh, die sind im LaTeX-Wust untergegangen...
Zu den Bezeichnungen: Ok.
Jetzt verstehe ich auch, warum du von [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] (im Plural) gesprochen hast...
[mm] $\mathcal{C}_1=\{\{1\},\{2\}\}$ [/mm] ist keine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega, [/mm] denn [mm] $\{1\}^C [/mm] = [mm] \{2,3\} \not\in \mathcal{C}_1$ [/mm] (Hier muss [mm] $\not\in$ [/mm] stehen, da ich die Elemente von [mm] $\mathcal{C}_1$ [/mm] betrachte.) (Deinen Kommentar, dass die Komplementbildung von [mm] $\mathcal{C}_1$ [/mm] keinen Sinn macht, verstehe ich nun auch). Analog gilt dies für [mm] $\mathcal{C}_2$ [/mm] und [mm] $\mathcal{C}_3$.
[/mm]
Weitere [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] über [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3\}$ [/mm] sind:
[mm] $\mathcal{D}_0 [/mm] = [mm] \{\emptyset,\Omega\}$
[/mm]
[mm] $\mathcal{D}_1 [/mm] = [mm] \{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\Omega\}$
[/mm]
[mm] $\mathcal{D}_2 [/mm] = [mm] \{\emptyset,\{2\},\{1,3\},\Omega\}$
[/mm]
[mm] $\mathcal{D}_3 [/mm] = [mm] \{\emptyset,\{3\},\{1,2\},\Omega\}$
[/mm]
und dann eben noch [mm] $\mathcal{D}$ [/mm] aus dem anderen Post.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Jetzt verstehe ich auch, warum du von [mm]\sigma[/mm]-Algebren (im Plural) gesprochen hast...
> [mm]\mathcal{C}_1=\{\{1\},\{2\}\}[/mm] ist keine [mm]\sigma[/mm]-Algebra auf [mm]\Omega,[/mm] denn [mm]\{1\}^C = \{2,3\} \not\in \mathcal{C}_1[/mm] (Hier muss [mm]\not\in[/mm] stehen, da ich die Elemente von [mm]\mathcal{C}_1[/mm] betrachte.) (Deinen Kommentar, dass die Komplementbildung von [mm]\mathcal{C}_1[/mm] keinen Sinn macht, verstehe ich nun auch). Analog gilt dies für [mm]\mathcal{C}_2[/mm] und [mm]\mathcal{C}_3[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Perfekt!
> Weitere [mm]\sigma[/mm]-Algebren über [mm]\Omega = \{1,2,3\}[/mm] sind:
> [mm]\mathcal{D}_0 = \{\emptyset,\Omega\}[/mm]
> [mm]\mathcal{D}_1 = \{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\Omega\}[/mm]
> [mm]\mathcal{D}_2 = \{\emptyset,\{2\},\{1,3\},\Omega\}[/mm]
> [mm]\mathcal{D}_3 = \{\emptyset,\{3\},\{1,2\},\Omega\}[/mm]
> und dann eben noch [mm]\mathcal{D}[/mm] aus dem anderen Post.
Sehr schön! Damit hast du sogar ALLE Sigma-Algebren über [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm] aufgezählt!
Nächster Schritt:
Wie lautet die von [mm]\mathcal{C}_1=\{\{1\},\{2\}\}[/mm] erzeugte Sigma-Algebra auf [mm] $\Omega$?
[/mm]
Wie lautet die von [mm]\mathcal{G}:=\{\{1,2\}\}[/mm] erzeugte Sigma-Algebra auf [mm] $\Omega$?
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 27.10.2013 | | Autor: | NaCl |
> Nächster Schritt:
> Wie lautet die von [mm]\mathcal{C}_1=\{\{1\},\{2\}\}[/mm] erzeugte
> Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm]?
Das ist die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}_1$ [/mm] auf [mm] $\Omega$, [/mm] für die gilt, dass [mm] $\mathcal{C}_1 \subseteq \mathcal{A}_1$. [/mm]
Also [mm] $\mathcal{A}_1=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\Omega\}=\mathcal{D}$.
[/mm]
(Das ist zwar die "größte", aber die einzige die [mm] $\mathcal{C}_1$ [/mm] enthält)
> Wie lautet die von [mm]\mathcal{G}:=\{\{1,2\}\}[/mm] erzeugte
> Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm]?
Wieder: Das ist die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}_\mathcal{G}$ [/mm] auf [mm] $\Omega$, [/mm] für die gilt, dass [mm] $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{A}_\mathcal{G}$.
[/mm]
Also [mm] $\mathcal{A}_\mathcal{G}=\{\emptyset,\{1,2\},\{3\},\Omega\}=\mathcal{D}_3$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Nächster Schritt:
> > Wie lautet die von [mm]\mathcal{C}_1=\{\{1\},\{2\}\}[/mm]
> erzeugte
> > Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm]?
> Das ist die kleinste [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\mathcal{A}_1[/mm] auf
> [mm]\Omega[/mm], für die gilt, dass [mm]\mathcal{C}_1 \subseteq \mathcal{A}_1[/mm].
> Also
> [mm]\mathcal{A}_1=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\Omega\}=\mathcal{D}[/mm].
> (Das ist zwar die "größte", aber die einzige die
> [mm]\mathcal{C}_1[/mm] enthält)
Super!
> > Wie lautet die von [mm]\mathcal{G}:=\{\{1,2\}\}[/mm] erzeugte
> > Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm]?
> Wieder: Das ist die kleinste [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> [mm]\mathcal{A}_\mathcal{G}[/mm] auf [mm]\Omega[/mm], für die gilt, dass
> [mm]\mathcal{G} \subseteq \mathcal{A}_\mathcal{G}[/mm].
> Also
> [mm]\mathcal{A}_\mathcal{G}=\{\emptyset,\{1,2\},\{3\},\Omega\}=\mathcal{D}_3[/mm]
Wieder Perfekt!
Ich denke, nun können wir zur eigentlichen Aufgabe zurückkehren.
Der Einfachheit halber betrachten wir dabei zunächst den Spezialfall [mm]\Omega=\IR[/mm].
Wenn du die Aufgabe in diesem Spezialfall gelöst hast, wird dir die Übertragung auf den allgemeinen Fall nicht mehr schwer fallen.
Es gilt also nun [mm]\mathcal{C}=\{\{x\}\;|\;x\in\IR\}[/mm] und gesucht ist die kleinste Sigma-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] auf [mm]\Omega=\IR[/mm] mit [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}[/mm].
Um ein Gefühl für [mm]\mathcal{A}[/mm] zu bekommen, überlege zunächst:
Gilt [mm]\{1\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\IN\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\{-5*\pi\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\emptyset\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\IR\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\IR\setminus\{1\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\IR\setminus\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\IR\setminus\IN\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\IR\setminus\{-5*\pi\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Gilt [mm]\IR\setminus\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Kannst du auch ohne Weiteres entscheiden, ob [mm][0,1]\in\mathcal{A}[/mm] gilt?
Dabei meine ich mit [mm][0,1][/mm] die Menge aller reellen Zahlen, die [mm]\ge0[/mm] und gleichzeitig [mm]\le1[/mm] sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 27.10.2013 | | Autor: | NaCl |
> Ich denke, nun können wir zur eigentlichen Aufgabe
> zurückkehren.
> Der Einfachheit halber betrachten wir dabei zunächst den
> Spezialfall [mm]\Omega=\IR[/mm].
> Wenn du die Aufgabe in diesem Spezialfall gelöst hast,
> wird dir die Übertragung auf den allgemeinen Fall nicht
> mehr schwer fallen.
>
> Es gilt also nun [mm]\mathcal{C}=\{\{x\}\;|\;x\in\IR\}[/mm] und
> gesucht ist die kleinste Sigma-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] auf
> [mm]\Omega=\IR[/mm] mit [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}[/mm].
>
> Um ein Gefühl für [mm]\mathcal{A}[/mm] zu bekommen, überlege
> zunächst:
>
> Gilt [mm]\{1\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Ja, denn $1 [mm] \in \IR$ [/mm] und somit [mm] $\{1\}\in\mathcal{C}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{A}$
[/mm]
> Gilt [mm]\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Nein, denn wenn [mm] $\{1,2\} \in \mathcal{A}$, [/mm] dann ist [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] nicht die kleinstmögliche [mm] $\sigma$-Algebra. [/mm] (*)
> Gilt [mm]\IN\in\mathcal{A}[/mm]?
Nein. Siehe (*).
> Gilt [mm]\{-5*\pi\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Ja, denn [mm] $\{-5*\pi\} \in \IR$ [/mm] und somit [mm] $\{-5*\pi\}\in\mathcal{C}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{A}$
[/mm]
> Gilt [mm]\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Nein. Siehe (*).
> Gilt [mm]\emptyset\in\mathcal{A}[/mm]?
Ja, [mm] $\emptyset$ [/mm] muss nach Def. der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] zu [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] gehören.
> Gilt [mm]\IR\in\mathcal{A}[/mm]?
Ja, auch [mm] $\IR$ [/mm] muss zur [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] gehören (Die Menge auf der die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, muss immer zu ihr gehören, da sie das Komplement zu [mm] §\emptyset$ [/mm] darstellt, welches auch immer in [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] enthalten sein muss.)
> Gilt [mm]\IR\setminus\{1\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Ja, denn [mm] $(\IR\setminus\{1\})^C=\{1\}\in\mathcal{C}$
[/mm]
> Gilt [mm]\IR\setminus\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Nein, da auch [mm] $\{1,2\} \not\in \mathcal{A}$
[/mm]
> Gilt [mm]\IR\setminus\IN\in\mathcal{A}[/mm]?
Nein, da auch [mm] $\IN \not\in \mathcal{A}$
[/mm]
> Gilt [mm]\IR\setminus\{-5*\pi\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Ja, denn [mm] $\{-5*\pi\}\in\mathcal{C}$
[/mm]
> Gilt [mm]\IR\setminus\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm]?
Nein, da auch [mm] $\{k*\pi\;|;k \in \IN\}\not\in\mathcal{A}$
[/mm]
Allgemein gilt für jede nichteinelementige Menge, deren Komplement auch nichteinelementig ist, dass sie nicht zu [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] gehört.
> Kannst du auch ohne Weiteres entscheiden, ob
> [mm][0,1]\in\mathcal{A}[/mm] gilt?
[mm] $[0,1]\not\in\mathcal{A}$, [/mm] aber warum weiß ich nicht.
> Dabei meine ich mit [mm][0,1][/mm] die Menge aller reellen Zahlen,
> die [mm]\ge0[/mm] und gleichzeitig [mm]\le1[/mm] sind.
Also das abgeschlossene Intervall.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Ich denke, nun können wir zur eigentlichen Aufgabe
> > zurückkehren.
> > Der Einfachheit halber betrachten wir dabei zunächst
> den
> > Spezialfall [mm]\Omega=\IR[/mm].
> > Wenn du die Aufgabe in diesem Spezialfall gelöst hast,
> > wird dir die Übertragung auf den allgemeinen Fall nicht
> > mehr schwer fallen.
> >
> > Es gilt also nun [mm]\mathcal{C}=\{\{x\}\;|\;x\in\IR\}[/mm] und
> > gesucht ist die kleinste Sigma-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] auf
> > [mm]\Omega=\IR[/mm] mit [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}[/mm].
> >
> > Um ein Gefühl für [mm]\mathcal{A}[/mm] zu bekommen, überlege
> > zunächst:
> >
> > Gilt [mm]\{1\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> Ja, denn [mm]1 \in \IR[/mm] und somit [mm]\{1\}\in\mathcal{C}[/mm] und
> [mm]\mathcal{C} \subseteq \mathcal{A}[/mm]
Schön!
> > Gilt
> [mm]\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> Nein, denn wenn [mm]\{1,2\} \in \mathcal{A}[/mm], dann ist
> [mm]\mathcal{A}[/mm] nicht die kleinstmögliche [mm]\sigma[/mm]-Algebra. (*)
Bedenke, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] abgeschlossen unter abzählbarer und insbesondere endlicher Vereinigung ist.
> > Gilt [mm]\IN\in\mathcal{A}[/mm]?
> Nein. Siehe (*).
> > Gilt [mm]\{-5*\pi\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> Ja, denn [mm]\{-5*\pi\} \in \IR[/mm]
[mm] $-5*\pi\in\IR$ [/mm] meinst du.
> und somit
> [mm]\{-5*\pi\}\in\mathcal{C}[/mm] und [mm]\mathcal{C} \subseteq \mathcal{A}[/mm]
> > Gilt [mm]\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> Nein. Siehe (*).
> > Gilt [mm]\emptyset\in\mathcal{A}[/mm]?
> Ja, [mm]\emptyset[/mm] muss nach Def. der [mm]\sigma[/mm]-Algebra zu
> [mm]\mathcal{A}[/mm] gehören
> > Gilt [mm]\IR\in\mathcal{A}[/mm]?
> Ja, auch [mm]\IR[/mm] muss zur [mm]\sigma[mm]-Algebra[/mm] gehören (Die
> Menge auf der die [mm]\sigma[/mm]-Algebra[/mm] ist, muss immer zu ihr
> gehören, da sie das Komplement zu [mm]§\emptyset[/mm] darstellt,
> welches auch immer in [mm]\mathcal{A}[/mm] enthalten sein muss.)
> > Gilt [mm]\IR\setminus\{1\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> Ja, denn [mm](\IR\setminus\{1\})^C=\{1\}\in\mathcal{C}[/mm]
Genauer: Wegen [mm] $\{1\}\in \mathcal{A}$ [/mm] gilt auch [mm] $\IR\setminus\{1\}=\{1\}^c\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> > Gilt [mm]\IR\setminus\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> Nein, da auch [mm]\{1,2\} \not\in \mathcal{A}[/mm]
> > Gilt
> [mm]\IR\setminus\IN\in\mathcal{A}[/mm]?
> Nein, da auch [mm]\IN \not\in \mathcal{A}[/mm]
> > Gilt
> [mm]\IR\setminus\{-5*\pi\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> Ja, denn [mm]\{-5*\pi\}\in\mathcal{C}[/mm]
> > Gilt [mm]\IR\setminus\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> Nein, da auch [mm]\{k*\pi\;|;k \in \IN\}\not\in\mathcal{A}[/mm]
> Allgemein gilt für jede nichteinelementige Menge, deren
> Komplement auch nichteinelementig ist, dass sie nicht zu
> [mm]\mathcal{A}[/mm] gehört.
Z.B. [mm] $\emptyset$ [/mm] gehört aber zu [mm] $\mathcal{A}$, [/mm] obwohl weder sie noch ihr Komplement einelementig ist...
Du hast die kleinste Menge [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] von Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] angegeben, die [mm] $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}$ [/mm] erfüllt und abgeschlossen unter Komplementen ist.
Nun gilt es auch noch, den Abschluss unter abzählbarer Vereinigung und [mm] $\emptyset\in\mathcal{A}$ [/mm] sicherzustellen.
> > Kannst du auch ohne Weiteres entscheiden, ob
> > [mm][0,1]\in\mathcal{A}[/mm] gilt?
> [mm][0,1]\not\in\mathcal{A}[/mm], aber warum weiß ich nicht.
Das war die beste Antwort, die du auf meine Frage geben konntest!
Wir werden noch sehen, dass tatsächlich [mm] $[0,1]\notin\mathcal{A}$ [/mm] gilt, aber das ist nicht offensichtlich.
> > Dabei meine ich mit [mm][0,1][/mm] die Menge aller reellen Zahlen,
> > die [mm]\ge0[/mm] und gleichzeitig [mm]\le1[/mm] sind.
> Also das abgeschlossene Intervall.
Genau.
Gehe zunächst nochmal obige Beispiel durch, in denen du falsch lagst und versuche die richtige Antwort zu begründen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 27.10.2013 | | Autor: | NaCl |
> > > Gilt
> > [mm]\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Nein, denn wenn [mm]\{1,2\} \in \mathcal{A}[/mm], dann ist
> > [mm]\mathcal{A}[/mm] nicht die kleinstmögliche [mm]\sigma[/mm]-Algebra.
> (*)
> Bedenke, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] abgeschlossen unter
> abzählbarer und insbesondere endlicher Vereinigung ist.
Achso. Ja, [mm] $\{1,2\}\in\mathcal{A}$, [/mm] denn [mm] $\{1\}\in\mathcal{A}$ [/mm] und [mm] $\{2\}\in\mathcal{A}$. [/mm] Also muss per Definition auch [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{C}_n [/mm] = [mm] \{1\} \cup \{2\} \cup \emptyset \cup \cdots \cup \emptyset=\{1,2\} \in \mathcal{A}$
[/mm]
> > > Gilt [mm]\IN\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Nein. Siehe (*).
>
Auch hier muss ich meine Aussage korrigieren: Aus dem gleichen Grund wie im vorigen Fall, gilt natürlich auch [mm] $\IN\in\mathcal{A}$. [/mm] Denn [mm] $\IN=\{1,2,3,...\}$(abzählbar).
[/mm]
>
> > > Gilt [mm]\{-5*\pi\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Ja, denn [mm]\{-5*\pi\} \in \IR[/mm]
> [mm]-5*\pi\in\IR[/mm] meinst du.
Oh, ja. Das habe ich gemeint.
> > und somit
> > [mm]\{-5*\pi\}\in\mathcal{C}[/mm] und [mm]\mathcal{C} \subseteq \mathcal{A}[/mm]
>
>
>
>
> > > Gilt [mm]\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Nein. Siehe (*).
>
Ja, [mm] $\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}$, [/mm] denn [mm] $k*\pi\in\IR \forall k\in\IN$ [/mm] und [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{C}_n [/mm] = [mm] \{\pi\} \cup \{2\pi\} \cup \cdots =\{\pi,2\pi,...\} \in \mathcal{A}$
[/mm]
>
> > > Gilt [mm]\emptyset\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Ja, [mm]\emptyset[/mm] muss nach Def. der [mm]\sigma[/mm]-Algebra zu
> > [mm]\mathcal{A}[/mm] gehören
>
>
> > > Gilt [mm]\IR\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Ja, auch [mm]\IR[/mm] muss zur [mm]\sigma[mm]-Algebra[/mm] gehören (Die
> Menge auf der die [mm]\sigma[/mm]-Algebra[/mm]
> ist, muss immer zu ihr
> > gehören, da sie das Komplement zu [mm]§\emptyset[/mm]
> darstellt,
> > welches auch immer in [mm]\mathcal{A}[/mm] enthalten sein muss.)
>
>
>
> > > Gilt [mm]\IR\setminus\{1\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Ja, denn [mm](\IR\setminus\{1\})^C=\{1\}\in\mathcal{C}[/mm]
> Genauer: Wegen [mm]\{1\}\in \mathcal{A}[/mm] gilt auch
> [mm]\IR\setminus\{1\}=\{1\}^c\in\mathcal{A}[/mm].
>
> > > Gilt [mm]\IR\setminus\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Nein, da auch [mm]\{1,2\} \not\in \mathcal{A}[/mm]
>
Wieder muss ich mich korrigieren: Wie oben schon gesagt, gilt [mm] $\{1,2\}\in\mathcal{A}$ [/mm] also muss auch [mm] $\IR\setminus\{1,2\}=\{1,2\}^C\in\mathcal{A}$
[/mm]
> > > Gilt
> > [mm]\IR\setminus\IN\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Nein, da auch [mm]\IN \not\in \mathcal{A}[/mm]
>
Gleiches Argument, wie vorheriges.
> > > Gilt
> > [mm]\IR\setminus\{-5*\pi\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Ja, denn [mm]\{-5*\pi\}\in\mathcal{C}[/mm]
>
>
> > > Gilt [mm]\IR\setminus\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > Nein, da auch [mm]\{k*\pi\;|;k \in \IN\}\not\in\mathcal{A}[/mm]
>
>
Wieder das gleiche Argument, dass [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{C}_n [/mm] = [mm] \{\pi\} \cup \{2\pi\} \cup \cdots =\{\pi,2\pi,...\} \in \mathcal{A}$ [/mm] und somit auch [mm] $\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{C}_n\right)^C [/mm] = [mm] \left(\{\pi\} \cup \{2\pi\} \cup \cdots\right)^C =(\{\pi,2\pi,...\})^C \in \mathcal{A}$
[/mm]
>
> > Allgemein gilt für jede nichteinelementige Menge, deren
> > Komplement auch nichteinelementig ist, dass sie nicht
> zu
> > [mm]\mathcal{A}[/mm] gehört.
> Z.B. [mm]\emptyset[/mm] gehört aber zu [mm]\mathcal{A}[/mm], obwohl weder
> sie noch ihr Komplement einelementig ist...
>
> Du hast die kleinste Menge [mm]\mathcal{A}[/mm] von Teilmengen von
> [mm]\Omega[/mm] angegeben, die [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}[/mm]
> erfüllt und abgeschlossen unter Komplementen ist.
>
> Nun gilt es auch noch, den Abschluss unter abzählbarer
> Vereinigung und [mm]\emptyset\in\mathcal{A}[/mm] sicherzustellen.
Hmm... Ok.
>
> > > Kannst du auch ohne Weiteres entscheiden, ob
> > > [mm][0,1]\in\mathcal{A}[/mm] gilt?
> > [mm][0,1]\not\in\mathcal{A}[/mm], aber warum weiß ich nicht.
> Das war die beste Antwort, die du auf meine Frage geben
> konntest!
> Wir werden noch sehen, dass tatsächlich
> [mm][0,1]\notin\mathcal{A}[/mm] gilt, aber das ist nicht
> offensichtlich.
>
> > > Dabei meine ich mit [mm][0,1][/mm] die Menge aller reellen Zahlen,
> > > die [mm]\ge0[/mm] und gleichzeitig [mm]\le1[/mm] sind.
> > Also das abgeschlossene Intervall.
> Genau.
>
>
> Gehe zunächst nochmal obige Beispiel durch, in denen du
> falsch lagst und versuche die richtige Antwort zu
> begründen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > > Gilt
> > > [mm]\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > > Nein, denn wenn [mm]\{1,2\} \in \mathcal{A}[/mm], dann ist
> > > [mm]\mathcal{A}[/mm] nicht die kleinstmögliche
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra.
> > (*)
> > Bedenke, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] abgeschlossen unter
> > abzählbarer und insbesondere endlicher Vereinigung ist.
>
> Achso. Ja, [mm]\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm], denn [mm]\{1\}\in\mathcal{A}[/mm]
> und [mm]\{2\}\in\mathcal{A}[/mm]. Also muss per Definition auch
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{C}_n = \{1\} \cup \{2\} \cup \emptyset \cup \cdots \cup \emptyset=\{1,2\} \in \mathcal{A}[/mm]
Ich würde [mm]A_n[/mm] statt [mm]\mathcal{C}_n[/mm] schreiben, denn dabei handelt es sich ja um eine Teilmenge von [mm]\Omega=\IR[/mm] und nicht um eine Menge von Teilmengen von [mm]\Omega=\IR[/mm].
> > > > Gilt [mm]\IN\in\mathcal{A}[/mm]?
> > > Nein. Siehe (*).
> >
> Auch hier muss ich meine Aussage korrigieren: Aus dem
> gleichen Grund wie im vorigen Fall, gilt natürlich auch
> [mm]\IN\in\mathcal{A}[/mm]. Denn [mm]\IN=\{1,2,3,...\}[/mm](abzählbar).
Du hast richtig erkannt: So kann man für jede abzählbare Teilmenge von [mm]\Omega=\IR[/mm] argumentieren.
Also gilt für jede abzählbare Teilmenge [mm]A[/mm] von [mm]\Omega=\IR[/mm] die Aussage [mm]A\in\mathcal{A}[/mm].
> > > > Gilt [mm]\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > > Nein. Siehe (*).
> >
> Ja, [mm]\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm], denn [mm]k*\pi\in\IR \forall k\in\IN[/mm]
> und [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{C}_n = \{\pi\} \cup \{2\pi\} \cup \cdots =\{\pi,2\pi,...\} \in \mathcal{A}[/mm]
> > > > Gilt [mm]\IR\setminus\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > > Nein, da auch [mm]\{1,2\} \not\in \mathcal{A}[/mm]
> >
>
> Wieder muss ich mich korrigieren: Wie oben schon gesagt,
> gilt [mm]\{1,2\}\in\mathcal{A}[/mm] also muss auch
> [mm]\IR\setminus\{1,2\}=\{1,2\}^C\in\mathcal{A}[/mm]
> > > > Gilt
> > > [mm]\IR\setminus\IN\in\mathcal{A}[/mm]?
> > > Nein, da auch [mm]\IN \not\in \mathcal{A}[/mm]
> >
> Gleiches Argument, wie vorheriges.
> > > > Gilt [mm]\IR\setminus\{k*\pi\;|\;k\in\IN\}\in\mathcal{A}[/mm]?
> > > Nein, da auch [mm]\{k*\pi\;|;k \in \IN\}\not\in\mathcal{A}[/mm]
>
> >
> >
> Wieder das gleiche Argument, dass [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{C}_n = \{\pi\} \cup \{2\pi\} \cup \cdots =\{\pi,2\pi,...\} \in \mathcal{A}[/mm]
> und somit auch [mm]\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{C}_n\right)^C = \left(\{\pi\} \cup \{2\pi\} \cup \cdots\right)^C =(\{\pi,2\pi,...\})^C \in \mathcal{A}[/mm]
Schön! Du hast dich heute im Laufe des Tages fundamental gesteigert!
Verallgemeinern wir nun obige Überlegungen:
Sei
[mm]\mathcal{F}_1:=\{A\subseteq\IR\;|\;A \text{ abzählbar}\}[/mm],
[mm]\mathcal{F}_2:=\{A\subseteq\IR\;|\;A^c\text{ abzählbar}\}[/mm]
und [mm]\mathcal{F}:=\mathcal{F}_1\cup\mathcal{F}_2[/mm].
Es handelt sich also bei [mm]\mathcal{F}_1[/mm], [mm]\mathcal{F}_2[/mm] und [mm]\mathcal{F}[/mm] jeweils um eine Menge von Teilmengen von [mm]\Omega=\IR[/mm].
Für alle Mengen [mm]A\in\mathcal{F}_1[/mm] gilt
[mm]A=\bigcup_{x\in A}\{x\}\in\mathcal{A}[/mm],
da [mm]\{x\}\in\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}[/mm] für alle [mm]x\in A[/mm] gilt und [mm]\mathcal{A}[/mm] abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung ist.
Also [mm]\mathcal{F}_1\subseteq\mathcal{A}[/mm].
Zeige du nun, dass auch [mm]\mathcal{F}_2\subseteq\mathcal{A}[/mm] gilt (und somit [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{A}[/mm] gilt).
Jetzt kommt der Clou:
Es gilt auch [mm]\mathcal{F}\supseteq\mathcal{A}[/mm] und somit [mm]\mathcal{F}=\mathcal{A}[/mm].
Ein direkter Beweis von [mm]\mathcal{F}\supseteq\mathcal{A}[/mm] ist schwierig, aber es gibt einen Trick:
Zeige, dass [mm]\mathcal{F}[/mm] schon eine Sigma-Algebra ist, die darüber hinaus [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}[/mm] erfüllt.
Da [mm]\mathcal{A}[/mm] die kleinste solche Sigma-Algebra ist, folgt dann tatsächlich [mm]\mathcal{F}\supseteq \mathcal{A}[/mm].
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 So 27.10.2013 | | Autor: | NaCl |
> Schön! Du hast dich heute im Laufe des Tages fundamental
> gesteigert!
Durch Deine Hilfe! Vielen herzlichen Dank! :)
> Verallgemeinern wir nun obige Überlegungen:
>
> Sei
>
> [mm]\mathcal{F}_1:=\{A\subseteq\IR\;|\;A \text{ abzählbar}\}[/mm],
>
> [mm]\mathcal{F}_2:=\{A\subseteq\IR\;|\;A^c\text{ abzählbar}\}[/mm]
>
> und [mm]\mathcal{F}:=\mathcal{F}_1\cup\mathcal{F}_2[/mm].
>
> Es handelt sich also bei [mm]\mathcal{F}_1[/mm], [mm]\mathcal{F}_2[/mm] und
> [mm]\mathcal{F}[/mm] jeweils um eine Menge von Teilmengen von
> [mm]\Omega=\IR[/mm].
>
> Für alle Mengen [mm]A\in\mathcal{F}_1[/mm] gilt
>
> [mm]A=\bigcup_{x\in A}\{x\}\in\mathcal{A}[/mm],
>
> da [mm]\{x\}\in\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}[/mm] für alle [mm]x\in A[/mm]
> gilt und [mm]\mathcal{A}[/mm] abgeschlossen unter abzählbarer
> Vereinigung ist.
>
> Also [mm]\mathcal{F}_1\subseteq\mathcal{A}[/mm].
>
> Zeige du nun, dass auch [mm]\mathcal{F}_2\subseteq\mathcal{A}[/mm]
> gilt (und somit [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{A}[/mm] gilt).
Wie du nun schon gezeigt hast, gilt für alle $A$ abzählbar, dass [mm] $A\in\mathcal{A}$, [/mm] also [mm] $\mathcal{F}_1\subseteq\mathcal{A}$.
[/mm]
Aber außerdem gilt für alle [mm] $A\in\mathcal{A}$, [/mm] dass [mm] $A^c\in\mathcal{A}$. [/mm] Alle diese [mm] $A^c$ [/mm] ergeben aber [mm] $\mathcal{F}_2$, [/mm] denn [mm] $\left(A^c\right)^c=A$ [/mm] (abzählbar)
Dann ist [mm] $\mathcal{F}_2=\{A\subseteq\IR | A^C \text{abzählbar}\}\subseteq\mathcal{A}$ [/mm] und somit [mm] $\mathcal{F}=\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2\subseteq\mathcal{A}$
[/mm]
> Jetzt kommt der Clou:
> Es gilt auch [mm]\mathcal{F}\supseteq\mathcal{A}[/mm] und somit
> [mm]\mathcal{F}=\mathcal{A}[/mm].
>
> Ein direkter Beweis von [mm]\mathcal{F}\supseteq\mathcal{A}[/mm] ist
> schwierig, aber es gibt einen Trick:
>
> Zeige, dass [mm]\mathcal{F}[/mm] schon eine Sigma-Algebra ist, die
> darüber hinaus [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}[/mm] erfüllt.
Um zu zeigen, dass [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, müssen drei Dinge gezeigt werden:
i) [mm] $\emptyset\in\mathcal{F}$
[/mm]
ii) [mm] $\forall A\in\mathcal{F}$ [/mm] ist auch das Komplement [mm] $A^c:=\IR\setminus A\in\mathcal{F}$
[/mm]
iii) [mm] $\forall A_1, A_2,...\in\mathcal{F}$ [/mm] (abzählbar viele) ist [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}$
[/mm]
zu i)
[mm] $\emptyset$ [/mm] ist abzählbar [mm] $\Rightarrow \emptyset\in\mathcal{F}$
[/mm]
zu ii)
Fall 1: $A$ abzählbar
Dann folgt direkt aus der Definition von [mm] $\mathcal{F}$, [/mm] dass [mm] $A^c\in\mathcal{F}$, [/mm] denn [mm] $A^c\in\mathcal{F}_2$
[/mm]
Fall 2: $A$ nicht abzählbar
Dann folgt aber, dass [mm] $A^c$ [/mm] abzählbar (sonst [mm] §A\not\in\mathcal{F}§) [/mm] und somit [mm] $A^c\in\mathcal{F}_1$ [/mm] und somit [mm] $A^c\in\mathcal{F}$
[/mm]
zu iii)
Fall 1: [mm] $A_n$ [/mm] abzählbar [mm] $\forall n\in\IN$
[/mm]
Nun sind abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen abzählbar. Also [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}_1\subseteq\mathcal{F}$
[/mm]
Fall 2: [mm] $\exists m\in\IN [/mm] : [mm] A_m$ [/mm] ist nicht abzählbar
[mm] $\Rightarrow A_m^c$ [/mm] ist abzählbar.
[mm] $\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c{\overset{de Morgan}{=}}\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n^c=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n^c\cap A_m^c$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c\subseteq A_m^c$. [/mm] Nun ist [mm] A_m^c [/mm] abzählbar.
Also ist auch [mm] $\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c$ [/mm] abzählbar und [mm] $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}$
[/mm]
> Da [mm]\mathcal{A}[/mm] die kleinste solche Sigma-Algebra ist, folgt
> dann tatsächlich [mm]\mathcal{F}\supseteq \mathcal{A}[/mm].
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Sei
> >
> > [mm]\mathcal{F}_1:=\{A\subseteq\IR\;|\;A \text{ abzählbar}\}[/mm],
>
> >
> > [mm]\mathcal{F}_2:=\{A\subseteq\IR\;|\;A^c\text{ abzählbar}\}[/mm]
>
> >
> > und [mm]\mathcal{F}:=\mathcal{F}_1\cup\mathcal{F}_2[/mm].
> > Zeige du nun, dass auch [mm]\mathcal{F}_2\subseteq\mathcal{A}[/mm]
> > gilt (und somit [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{A}[/mm] gilt).
>
> Wie du nun schon gezeigt hast, gilt für alle [mm]A[/mm] abzählbar,
> dass [mm]A\in\mathcal{A}[/mm], also
> [mm]\mathcal{F}_1\subseteq\mathcal{A}[/mm].
>
> Aber außerdem gilt für alle [mm]A\in\mathcal{A}[/mm], dass
> [mm]A^c\in\mathcal{A}[/mm]. Alle diese [mm]A^c[/mm] ergeben aber
> [mm]\mathcal{F}_2[/mm], denn [mm]\left(A^c\right)^c=A[/mm] (abzählbar)
>
> Dann ist [mm]\mathcal{F}_2=\{A\subseteq\IR | A^C \text{abzählbar}\}\subseteq\mathcal{A}[/mm]
> und somit [mm]\mathcal{F}=\mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2\subseteq\mathcal{A}[/mm]
> > Jetzt kommt der Clou:
> > Es gilt auch [mm]\mathcal{F}\supseteq\mathcal{A}[/mm] und somit
> > [mm]\mathcal{F}=\mathcal{A}[/mm].
> >
> > Ein direkter Beweis von [mm]\mathcal{F}\supseteq\mathcal{A}[/mm] ist
> > schwierig, aber es gibt einen Trick:
> >
> > Zeige, dass [mm]\mathcal{F}[/mm] schon eine Sigma-Algebra ist, die
> > darüber hinaus [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}[/mm] erfüllt.
>
> Um zu zeigen, dass [mm]\mathcal{F}[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist,
> müssen drei Dinge gezeigt werden:
>
> i) [mm]\emptyset\in\mathcal{F}[/mm]
> ii) [mm]\forall A\in\mathcal{F}[/mm] ist auch das Komplement
> [mm]A^c:=\IR\setminus A\in\mathcal{F}[/mm]
> iii) [mm]\forall A_1, A_2,...\in\mathcal{F}[/mm]
> (abzählbar viele) ist
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}[/mm]
>
> zu i)
> [mm]\emptyset[/mm] ist abzählbar [mm]\Rightarrow \emptyset\in\mathcal{F}[/mm]
> zu ii)
> Fall 1: [mm]A[/mm] abzählbar
> Dann folgt direkt aus der Definition von [mm]\mathcal{F}[/mm], dass
> [mm]A^c\in\mathcal{F}[/mm], denn [mm]A^c\in\mathcal{F}_2[/mm]
> Fall 2: [mm]A[/mm] nicht abzählbar
> Dann folgt aber, dass [mm]A^c[/mm] abzählbar (sonst
> [mm]§A\not\in\mathcal{F}§)[/mm] und somit [mm]A^c\in\mathcal{F}_1[/mm] und
> somit [mm]A^c\in\mathcal{F}[/mm]
> zu iii)
> Fall 1: [mm]A_n[/mm] abzählbar [mm]\forall n\in\IN[/mm]
> Nun sind
> abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen abzählbar.
> Also
> [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}_1\subseteq\mathcal{F}[/mm]
> Fall 2: [mm]\exists m\in\IN : A_m[/mm] ist nicht abzählbar
> [mm]\Rightarrow A_m^c[/mm] ist abzählbar.
> [mm]\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c{\overset{de Morgan}{=}}\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n^c=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n^c\cap A_m^c[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c\subseteq A_m^c[/mm].
> Nun ist [mm]A_m^c[/mm] abzählbar.
> Also ist auch [mm]\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c[/mm]
> abzählbar und [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}[/mm]
Sehr schön!
> > Da [mm]\mathcal{A}[/mm] die kleinste solche Sigma-Algebra ist, folgt
> > dann tatsächlich [mm]\mathcal{F}\supseteq \mathcal{A}[/mm].
Was soll ich noch sagen? Super!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 27.10.2013 | | Autor: | NaCl |
> Was soll ich noch sagen? Super!
Hmm... Also ich denke, ich habe das vorhergehende jetzt alles verstanden, aber entweder ist der jetzt noch folgende Schritt für mich zu groß, oder aber ich stehe einfach auf dem Schlauch, das ganze jetzt noch auf meine Aufgabe zu übertragen. Was hat die [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}$ [/mm] damit nun zu tun? Ist das der Hinweis darauf gewesen, alle abzählbaren Vereinigungen von [mm] $\mathcal{C}$, [/mm] als auch alle Komplemente zu inkludieren?
Was ich weiß ist, dass [mm] $\emptyset$ [/mm] auf jeden Fall enthalten sein muss. Außerdem - wie gesagt - alle Elemente, Vereinigungen und deren jeweiligen Komplemente von [mm] \mathcal{C}. [/mm] Jetzt muss ich nur noch eins und eins zusammen zählen. Aber wie mache ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:27 Mo 28.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Eine Kleinigkeit habe ich noch übersehen:
Du hast noch nicht [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}[/mm] gezeigt.
Das fällt dir aber wahrscheinlich nicht mehr schwer.
> > Was soll ich noch sagen? Super!
> Hmm... Also ich denke, ich habe das vorhergehende jetzt
> alles verstanden, aber entweder ist der jetzt noch folgende
> Schritt für mich zu groß, oder aber ich stehe einfach auf
> dem Schlauch, das ganze jetzt noch auf meine Aufgabe zu
> übertragen. Was hat die [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\mathcal{F}[/mm] damit
> nun zu tun? Ist das der Hinweis darauf gewesen, alle
> abzählbaren Vereinigungen von [mm]\mathcal{C}[/mm], als auch alle
> Komplemente zu inkludieren?
> Was ich weiß ist, dass [mm]\emptyset[/mm] auf jeden Fall enthalten
> sein muss. Außerdem - wie gesagt - alle Elemente,
> Vereinigungen und deren jeweiligen Komplemente von
> [mm]\mathcal{C}.[/mm] Jetzt muss ich nur noch eins und eins zusammen
> zählen. Aber wie mache ich das?
Wir haben (abgesehen von der obigen Kleinigkeit) gezeigt:
1. [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{A}[/mm].
Dann haben wir gezeigt, dass [mm]\mathcal{F}[/mm] eine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] mit [mm]\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}[/mm] ist.
Da [mm]\mathcal{A}[/mm] die kleinste solche Sigma-Algebra ist, folgt somit
2. [mm]\mathcal{A}\subseteq\mathcal{F}[/mm].
Also gilt gemäß wegen 1. und 2.: [mm]\mathcal{A}=\mathcal{F}[/mm].
Wir haben also [mm]\mathcal{A}[/mm] bestimmt:
(*) [mm]\mathcal{A}=\{A\subseteq\Omega\;|\;A\text{ abzählbar}\}\cup\{A\subseteq\Omega\;|\;A^c\text{ abzählbar}\}[/mm].
Gut, wir haben bisher nur [mm]\Omega=\IR[/mm] betrachtet. Aber (*) gilt auch für beliebiges [mm]\Omega[/mm]. Ersetze dazu im Beweis einfach jedes Vorkommen von [mm]\IR[/mm] durch [mm]\Omega[/mm].
Wie sind wir also im Grunde vorgegangen, um die von [mm]\mathcal{C}[/mm] erzeugte Sigma-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] zu finden?
Wir haben geguckt, was notwendig in [mm]\mathcal{A}[/mm] liegen muss (nämlich alle Elemente von [mm]\mathcal{F}[/mm]). Somit [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{A}[/mm].
Als wir nichts Neues mehr gefunden haben, was in [mm]\mathcal{A}[/mm] liegen muss, haben wir gezeigt, dass schon [mm]\mathcal{F}\supseteq\mathcal{A}[/mm] gilt, indem wir gezeigt haben, dass es sich bei [mm]\mathcal{F}[/mm] schon um eine Sigma-Algebra handelt, die [mm]\mathcal{C}[/mm] umfasst.
Falls du eine weitere Übungsaufgabe zum Bestimmen einer erzeugten Sigma-Algebra suchst, schlage ich folgende Aufgabe vor:
Sei [mm]\Omega[/mm] eine beliebige Menge und [mm]A\subseteq\Omega[/mm]. Bestimme die von [mm]\mathcal{C}=\{A\}[/mm] erzeugte Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Was ist eine Sigma-Algebra [mm]\mathcal{F}[/mm] über [mm]\Omega[/mm]?
Es ist eine spezielle Menge von Teilmengen von [mm]\Omega[/mm].
D.h. wenn [mm]\mathcal{F}[/mm] eine Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm] ist, gilt für alle [mm]A\in\mathcal{F}[/mm] die Aussage [mm]A\subseteq\Omega[/mm].
Nenne zur Übung mal drei Mengen von Teilmengen von [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm].
Dann kannst du untersuchen, ob es sich dabei um Sigma-Algebren über [mm]\Omega[/mm] handelt oder nicht.
> Du sagtest
> > Die KLEINSTE [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle Mengen von
> > [mm]\mathcal{C}[/mm] enthält.
> heißt das für mich [mm]\mathcal{A}=\{\emptyset , \mathcal{C}\}[/mm]
> ? Das ist doch immer die kleinste [mm]\sigma-Algebra,[/mm] oder?
[mm]\{\emptyset,\mathcal{C}\}[/mm] ist im Allgemeinen überhaupt keine Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm], da [mm]\mathcal{C}[/mm] überhaupt keine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist.
> > > Also [mm]\mathcal{A} =\{\Omega \setminus \{x\} | x \in \Omega\} \cup \mathcal{P} (\mathcal{C}).[/mm]
>
> >
> >
> Schade... ;)
>
> > Du meinst wohl am Ende [mm]\mathcal{C}[/mm] statt
> > [mm]\mathcal{P}(\mathcal{C})[/mm]. (Denn z.B.
> > [mm]\mathcal{C}\in\mathcal{P}(\mathcal{C})[/mm], aber [mm]\mathcal{C}[/mm]
> > ist im Allgemeinen gar keine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] und damit
> > auch nicht Element von [mm]\mathcal{A}[/mm].)
> Ok, den einwand, dass i.A. [mm]\mathcal{C} \notin \Omega[/mm] ist,
> habe ich verstanden,
Nein, mein Einwand war nicht i.A. [mm]\mathcal{C}\notin\Omega[/mm], sondern i.A. [mm]\mathcal{C}\not\subseteq\Omega[/mm]. Damit kann [mm]\mathcal{C}[/mm] im Allgemeinen nicht Element irgendeiner Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm] sein.
> aber was hat das mit der
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] zu tun?
Es gilt [mm]\mathcal{C}\in\mathcal{P}(\mathcal{C})[/mm], aber im Allgemeinen [mm]\mathcal{C}\notin\mathcal{A}[/mm].
Also konnte [mm]\mathcal{A} =\{\Omega \setminus \{x\} | x \in \Omega\} \cup \mathcal{P} (\mathcal{C})[/mm] schon deshalb nicht stimmen.
> > Aber
> auch [mm]\{\Omega\setminus\{x\}\;|\;x\in\Omega\}\cup\mathcal{C}[/mm] ist
> > im Allgemeinen gar keine [mm]\sigma[/mm]-Algebra. Zwar ist diese
> > Menge im Falle [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] nichtleer und unter
> > Komplementen abgeschlossen. Aber sie ist im Allgemeinen
> > nicht abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung.
> Das muss ich mir nochmal genauer anschauen...
> > Du musst also weitere Mengen dazunehmen, um zu einer
> > Darstellung von [mm]\mathcal{A}[/mm] zu gelangen.
> Jetzt bin ich völlig verwirrt ;) Also ist meine
> Interpretation deiner Aussage der "kleinsten
> [mm]\sigma-Algebra\grqq[/mm] falsch?!?
Deine Interpretation von Sigma-Algebra ist schon falsch.
Versuch dich erst einmal an der von mir vorgeschlagenen Übung mit [mm] $\Omega=\{1,2,3\}$.
[/mm]
Sie dient der Einübung der Begriffe einer Menge von Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] und einer Sigma-Algebra über [mm] $\Omega$.
[/mm]
Im nächsten Schritt können wir uns dann an den Begriff der von einer Menge von Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] erzeugten Sigma-Algebra herantasten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 27.10.2013 | | Autor: | NaCl |
> Was ist eine Sigma-Algebra [mm]\mathcal{F}[/mm] über [mm]\Omega[/mm]?
> Es ist eine spezielle Menge von Teilmengen von [mm]\Omega[/mm].
> D.h. wenn [mm]\mathcal{F}[/mm] eine Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm] ist,
> gilt für alle [mm]A\in\mathcal{F}[/mm] die Aussage
> [mm]A\subseteq\Omega[/mm].
>
> Nenne zur Übung mal drei Mengen von Teilmengen von
> [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm].
[mm] A_1=\{\{1\}\{2\}\}, A_2=\{\{1\}\{3\}\}, A_3=\{\{2\}\{3\}\}
[/mm]
> Dann kannst du untersuchen, ob es sich dabei um
> Sigma-Algebren über [mm]\Omega[/mm] handelt oder nicht.
Die von mir genannten Teilmengen sind keine [mm] \sigma-Algebra, [/mm] denn [mm] $\Omega \setminus A_1 =\Omega \setminus \{\{1\}\{2\}\} [/mm] = [mm] \{\{1\}\{2\}\}^C [/mm] = [mm] \{1,2,3\}$* [/mm] müsste auch Teil der [mm] \sigma-Algebra [/mm] sein. (*Stimmt das? Meine Menge von Teilmengen [mm] A_1 [/mm] enthält ja einelementige Teilmengen von [mm] \Omega. [/mm] Bilde ich also das Komplement, kann ich ja nicht Elemente mit Mengen "verrechnen")
Betrachte ich aber [mm] \mathcal{D}=\{\emptyset,\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \Omega \}, [/mm] so ist [mm] \mathcal{D} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] über [mm] \Omega, [/mm] da es die Definition erfüllt.
>
>
> > Du sagtest
> > > Die KLEINSTE [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle Mengen von
> > > [mm]\mathcal{C}[/mm] enthält.
> > heißt das für mich [mm]\mathcal{A}=\{\emptyset , \mathcal{C}\}[/mm]
>
> > ? Das ist doch immer die kleinste [mm]\sigma-Algebra,[/mm] oder?
> [mm]\{\emptyset,\mathcal{C}\}[/mm] ist im Allgemeinen überhaupt
> keine Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm], da [mm]\mathcal{C}[/mm] überhaupt
> keine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist.
OK...
> > > > Also [mm]\mathcal{A} =\{\Omega \setminus \{x\} | x \in \Omega\} \cup \mathcal{P} (\mathcal{C}).[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > Schade... ;)
> >
> > > Du meinst wohl am Ende [mm]\mathcal{C}[/mm] statt
> > > [mm]\mathcal{P}(\mathcal{C})[/mm]. (Denn z.B.
> > > [mm]\mathcal{C}\in\mathcal{P}(\mathcal{C})[/mm], aber
> [mm]\mathcal{C}[/mm]
> > > ist im Allgemeinen gar keine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] und
> damit
> > > auch nicht Element von [mm]\mathcal{A}[/mm].)
> > Ok, den einwand, dass i.A. [mm]\mathcal{C} \notin \Omega[/mm]
> ist,
> > habe ich verstanden,
> Nein, mein Einwand war nicht
> i.A. [mm]\mathcal{C}\notin\Omega[/mm], sondern
> i.A. [mm]\mathcal{C}\not\subseteq\Omega[/mm]. Damit kann
> [mm]\mathcal{C}[/mm] im Allgemeinen nicht Element irgendeiner
> Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm] sein.
Achso, weil [mm] \mathcal{C} [/mm] ja eine Menge einelementiger Mengen ist.
> > aber was hat das mit der
> > [mm]\sigma-Algebra[/mm] zu tun?
> Es gilt [mm]\mathcal{C}\in\mathcal{P}(\mathcal{C})[/mm], aber im
> Allgemeinen [mm]\mathcal{C}\notin\mathcal{A}[/mm].
> Also konnte [mm]\mathcal{A} =\{\Omega \setminus \{x\} | x \in \Omega\} \cup \mathcal{P} (\mathcal{C})[/mm]
> schon deshalb nicht stimmen.
Hmm...
> > > Aber
> >
> auch [mm]\{\Omega\setminus\{x\}\;|\;x\in\Omega\}\cup\mathcal{C}[/mm] ist
> > > im Allgemeinen gar keine [mm]\sigma[/mm]-Algebra. Zwar ist
> diese
> > > Menge im Falle [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] nichtleer und
> unter
> > > Komplementen abgeschlossen. Aber sie ist im
> Allgemeinen
> > > nicht abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung.
> > Das muss ich mir nochmal genauer anschauen...
> > > Du musst also weitere Mengen dazunehmen, um zu einer
> > > Darstellung von [mm]\mathcal{A}[/mm] zu gelangen.
> > Jetzt bin ich völlig verwirrt ;) Also ist meine
> > Interpretation deiner Aussage der "kleinsten
> > [mm]\sigma-Algebra\grqq[/mm] falsch?!?
> Deine Interpretation von Sigma-Algebra ist schon falsch.
>
>
> Versuch dich erst einmal an der von mir vorgeschlagenen
> Übung mit [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm].
> Sie dient der Einübung der Begriffe einer Menge von
> Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] und einer Sigma-Algebra über
> [mm]\Omega[/mm].
Das habe ich oben versucht...
> Im nächsten Schritt können wir uns dann an den Begriff
> der von einer Menge von Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] erzeugten
> Sigma-Algebra herantasten.
Vielen vielen Dank für die Hilfe bei der Verständnisbildung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Nenne zur Übung mal drei Mengen von Teilmengen von
> > [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm].
> [mm]A_1=\{\{1\}\{2\}\}, A_2=\{\{1\}\{3\}\}, A_3=\{\{2\}\{3\}\}[/mm]
Wenn du noch Kommata setzt, z.B. [mm]A_1=\{\{1\},\{2\}\}[/mm], ist [mm]A_1[/mm] tatsächlich eine Menge von Teilmengen von [mm]\Omega[/mm]. Selbiges gilt für [mm]A_2[/mm] und [mm]A_3[/mm].
Die Bezeichnungen [mm]A_1,A_2,A_3[/mm] sind unglücklich gewählt: Üblicherweise verwendet man solche Bezeichnungen für Teilmengen von [mm]\Omega[/mm], nicht für Mengen von Teilmengen von [mm]\Omega[/mm].
Schreibe also lieber [mm]\mathcal{C}_1[/mm], [mm]\mathcal{C}_2[/mm] und [mm]\mathcal{C}_3[/mm] statt [mm]A_1[/mm], [mm]A_2[/mm] und [mm]A_3[/mm].
> > Dann kannst du untersuchen, ob es sich dabei um
> > Sigma-Algebren über [mm]\Omega[/mm] handelt oder nicht.
> Die von mir genannten Teilmengen sind keine
> [mm]\sigma-Algebra,[/mm]
Die Frage war nicht, ob [mm]\mathcal{E}=\{\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2,\mathcal{C}_3\}[/mm] eine Sigma-Algebra über [mm]\Omega[/mm] ist; das ist sicherlich nicht der Fall, da z.B. [mm]\mathcal{C}_1[/mm] gar keine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm] ist und somit [mm]\mathcal{E}[/mm] gar keine Mengen von Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] ist.
Die Frage war, ob [mm]\mathcal{C}_1=\{\{1\},\{2\}\}[/mm] eine Sigma-Algebra über [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm] ist (und selbige Frage für [mm]\mathcal{C}_2[/mm] und [mm]\mathcal{C}_3[/mm]).
Versuche noch einmal diese Frage begründet zu beantworten.
> denn [mm]\Omega \setminus A_1 =\Omega \setminus \{\{1\}\{2\}\} = \{\{1\}\{2\}\}^C = \{1,2,3\}[/mm]*.
Die Bildung von [mm]\{\{1\},\{2\}\}^c[/mm] macht überhaupt keinen Sinn, denn [mm]\{\{1\},\{2\}\}[/mm] ist gar keine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm].
> Betrachte ich aber [mm]\mathcal{D}=\{\emptyset,\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \Omega \},[/mm]
> so ist [mm]\mathcal{D}[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] über [mm]\Omega,[/mm] da es
> die Definition erfüllt.
Schön!
Weißt du noch ein oder besser noch zwei weitere Beispiele für Sigma-Algebren über [mm]\Omega=\{1,2,3\}[/mm]?
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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