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Forum "stochastische Analysis" - Bestimmung eines Erwartungswer
Bestimmung eines Erwartungswer < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bestimmung eines Erwartungswer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 Mo 20.08.2012
Autor: torstentw

Aufgabe
Ich habe folgenden stochastischen Prozess:

d $ [mm] X_t [/mm] $ = $ [mm] v_t dW_t [/mm] $

mit $ [mm] v_t= \frac{v_0}{1+v_0t} [/mm] $

und muss zeigen, dass
[mm] E[\exp (\frac{1}{2}\int_0^t X_s^2 [/mm] ds)] < [mm] \infty [/mm]

Zuerst bestimmt ich [mm] X_t^2: [/mm]

[mm] X_t^2 [/mm] = [mm] X_0^2 [/mm] +  [mm] \int_0^t v_s^2ds [/mm]

Dann setze ich ein und erhalte

[mm] E[\exp (\frac{1}{2} X_0^2t [/mm] + [mm] \int_0^t\int_0^u v_s^2dsdu)] [/mm] < [mm] \infty [/mm]

stimmt das soweit?

        
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Mo 20.08.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> d [mm]X_t[/mm] = [mm]v_t dW_t[/mm]


>  Zuerst bestimmt ich [mm]X_t^2:[/mm]
>  
> [mm]X_t^2[/mm] = [mm]X_0^2[/mm] +  [mm]\int_0^t v_s^2ds[/mm]


Wie kommst du darauf?

Ito-Formel sagt:  [mm] $X_t^2 [/mm] = [mm] X_0^2 [/mm] + [mm] \integral_0^t 2X_s dX_s [/mm] + [mm] \integral_0^t [/mm] 1 ds = [mm] X_0^2 [/mm] + [mm] 2\integral_0^t X_s v_s dW_s [/mm] + t$

Meine erste Intuition wäre: Überleg mal, was du über [mm] $X_t$ [/mm] weißt. Was weißt du dann über [mm] $X_t^4$? [/mm] Denn wende mal die Ito-Formel auf [mm] $\bruch{1}{12}X_t^4$ [/mm] an.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 Mo 20.08.2012
Autor: torstentw

blödsinn sorry.
Bezug
                
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:59 Mo 20.08.2012
Autor: torstentw

[mm] X_t [/mm] ist normalverteilt aber sehe keinen zusammenhang zu [mm] X_t^4 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Mo 20.08.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]X_t[/mm] ist normalverteilt aber sehe keinen zusammenhang zu  [mm]X_t^4[/mm]  

[mm] X_t [/mm] ist insbesondere ein lokales Martingal. Ist es auch ein echtes Martingal? Daraus folgt, dass [mm] X_t^4 [/mm] was ist?

Wende nun die Itô-Formel auf [mm] X_t^4 [/mm] an und du erhälst?

MFG,
Gono.


Bezug
                                
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 Mo 20.08.2012
Autor: torstentw


> Hiho,
>  
> > [mm]X_t[/mm] ist normalverteilt aber sehe keinen zusammenhang zu  
> [mm]X_t^4[/mm]  
>
> [mm]X_t[/mm] ist insbesondere ein lokales Martingal. Ist es auch ein
> echtes Martingal?

Ja. Aber kann mit dem [mm] X_t^4 [/mm] nichts anfangen.



Bezug
                                        
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Mo 20.08.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ja, wende doch mal die Ito-Formel an auf [mm] \bruch{1}{4}X_t^4 [/mm] !!

Dann wirst du was wiederfinden, worüber du ne Aussage treffen sollst.

MFG,
Gono.

Bezug
                                                
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:52 Mo 20.08.2012
Autor: torstentw

Ok also habe ich:

[mm] X_t^4 [/mm] = [mm] X_0^4 +4\int_0^t X_s^3 dX_s [/mm] + 6 [mm] \int_0^t X_s^2 [/mm] d<X>_s

[mm] ->\frac{1}{4} X_t^4 =\frac{1}{4} X_0^4 +\int_0^t X_s^3 v_s dW_s [/mm] + [mm] \frac{3}{2} \int_0^t X_s^2 v_s^2 [/mm] ds

Ja?

Bezug
                                                        
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:42 Di 21.08.2012
Autor: torstentw

Kann es sein dass du dich da vertan hast ich finde damit einfach keinen Ansatz :(

Bezug
                                                        
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mi 22.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 Di 21.08.2012
Autor: torstentw


> Ito-Formel sagt:  [mm]X_t^2 = X_0^2 + \integral_0^t 2X_s dX_s + \integral_0^t 1 ds = X_0^2 + 2\integral_0^t X_s v_s dW_s + t[/mm]

Das müsste doch eher Folgendes sein oder?
[mm] X_t^2 [/mm] = [mm] X_0^2 [/mm] + [mm] \integral_0^t 2X_s dX_s [/mm] + [mm] \integral_0^t v_s^2 [/mm] ds

Bezug
                        
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Di 21.08.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das müsste doch eher Folgendes sein oder?
>  [mm]X_t^2[/mm] = [mm]X_0^2[/mm] + [mm]\integral_0^t 2X_s dX_s[/mm] + [mm]\integral_0^t v_s^2[/mm]
> ds  

ja :-)
Gut aufgepasst :-P

Ich schau mir das mal heute abend oder morgen nochmal in Ruhe an.
Hab jetzt auch das entsprechende Buch da (und bin trotzdem noch nicht viel schlauer *gna*).

MFG,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Di 21.08.2012
Autor: torstentw

Super vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:39 Mi 22.08.2012
Autor: torstentw


> Das müsste doch eher Folgendes sein oder?
>  [mm]X_t^2[/mm] = [mm]X_0^2[/mm] + [mm]\integral_0^t 2X_s dX_s[/mm] + [mm][mm] \integral_0^t v_s^2 [/mm] ds =

[mm] X_0^2 [/mm] + [mm] 2\integral_0^t X_s v_s dW_s \integral_0^t v_s^2 [/mm] ds$


Wenn ich das jetzt mal einsetze und das Integral bestimme ergibt sich doch

[mm] \int_0^t X_s^2 [/mm] ds = [mm] X_0^2 [/mm] t + [mm] 2\int_0^t\integral_0^t X_s v_s [/mm] dW_sds + [mm] \integral_0^t \integral_0^t v_s^2 [/mm] dsds

oder? dW_sds=0 und ich hätte mein Ergebnis?

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:26 Do 23.08.2012
Autor: torstentw


>
> > Das müsste doch eher Folgendes sein oder?
>  >  [mm]X_t^2[/mm] = [mm]X_0^2[/mm] + [mm]\integral_0^t 2X_s dX_s[/mm] + [mm][mm]\integral_0^t v_s^2[/mm] ds =

[mm]X_0^2[/mm] + [mm]2\integral_0^t X_s v_s dW_s \integral_0^t v_s^2[/mm] ds$


Wenn ich das jetzt mal einsetze und das Integral bestimme ergibt sich doch

[mm]\int_0^t X_s^2[/mm] ds = [mm]X_0^2[/mm] t + [mm]2\int_0^t\integral_0^t X_s v_s[/mm] dW_sds + [mm]\integral_0^t \integral_0^t v_s^2[/mm] dsds

oder? dW_sds=0 und ich hätte mein Ergebnis? Bin überfragt :(


Bezug
                                        
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Mo 27.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 24.08.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Bestimmung eines Erwartungswer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Di 28.08.2012
Autor: torstentw

Bin noch immer nicht schlauer.

Hilfe :( !

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