Bestimmung komplexer Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Do 03.11.2005 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Ich soll folgende Aufgabe lösen:
Schreiben sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a+bi mit a,b aus [mm] \IR
[/mm]
a) [mm] \bruch{17}{2+8i}
[/mm]
b) [mm] \alpha^2, \alpha^3, \alpha^5, \alpha^6 [/mm] für [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1+ \wurzel{3}i}{2}
[/mm]
c) [mm] \beta^2, \beta^4 [/mm] für [mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{1+i}{ \wurzel{2}}
[/mm]
Meine Lösungen:
a) [mm] \bruch{17}{2+8i} \* \bruch{2-8i}{2-8i} [/mm] = [mm] \bruch{34-136i}{4-16i^2}= \bruch{34-136i}{20} [/mm] = [mm] \bruch{34}{20}- \bruch{136i}{20}= \bruch{17}{10}- \bruch{34}{5}i
[/mm]
b) Hab' ich noch nicht gemacht.
c) ( [mm] \bruch{1+i}{ \wurzel{2}})^2 [/mm] = [mm] \bruch{1+i}{ \wurzel{2}} \* \bruch{1+i}{ \wurzel{2}} [/mm] = [mm] \bruch{(1*1-1*1)+(1*1+1*1)i}{(\wurzel{2})^2} [/mm] = [mm] \bruch{2i}{2} [/mm] = 0+i = i
( [mm] \bruch{1+i}{ \wurzel{2}})^4= \bruch{0+2i}{2}\* \bruch{1+i}{ \wurzel{2}} \* \bruch{1+i}{ \wurzel{2}}= \bruch{(0*1-2*1)+(0*1+2*1)i}{( \wurzel{2})\*2}\* \bruch{1+i}{ \wurzel{2}}= \bruch{-2+2i}{2\* \wurzel{2}}\* \bruch{1+i}{ \wurzel{2}}= \bruch{-4+0i}{4}= [/mm] -1+0i=-1
Wäre schön, wenn jemand mal über die Lösungen drüber gucken könnte.
Ich weiß, dass man sich viel Arbeit ersparen kann, wenn man das Potenzieren nicht kartesisch macht. Ich weiß nur leider nicht, wie ich meine gegebenen Zahlen umforme.
Ich weiß, dass gilt: "Die komplexe Zahl z= r(cos a+isin a)=re^(ia) wird in die n-te Potenz erhoben, indem man ihren Betrag r in die n-te Potenz erhebt und ihr Argument (Winkel) a mit dem Exponenten n multipliziert."
Woher weiß ich denn beispielsweise, was hier der Winkel ist?
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke schon mal.
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Da hören wir wohl die gleiche Vorlesung...!
Zur a: 8 * 8 sind doch 64 und nicht 16, oder?!
Hast du schon mehr von dem Zettel gelöst?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Do 03.11.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Didi,
Hallo Stiffmaster,
> Hallo,
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> Ich soll folgende Aufgabe lösen:
>
> Schreiben sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form
> a+bi mit a,b aus [mm]\IR[/mm]
> a) [mm]\bruch{17}{2+8i}[/mm]
> b) [mm]\alpha^2, \alpha^3, \alpha^5, \alpha^6[/mm] für [mm]\alpha[/mm]
> = [mm]\bruch{1+ \wurzel{3}i}{2}[/mm]
> c) [mm]\beta^2, \beta^4[/mm] für
> [mm]\beta[/mm] = [mm]\bruch{1+i}{ \wurzel{2}}[/mm]
>
>
> Meine Lösungen:
>
> a) [mm]\bruch{17}{2+8i} \* \bruch{2-8i}{2-8i}[/mm] =
> [mm]\bruch{34-136i}{4-16i^2}= \bruch{34-136i}{20}[/mm] =
> [mm]\bruch{34}{20}- \bruch{136i}{20}= \bruch{17}{10}- \bruch{34}{5}i[/mm]
Hier hat Stiffmaster gut aufgepasst, es sind 64 --> 0,5-2i als Ergebnis
> b) Hab' ich noch nicht gemacht.
siehe unten!
> c) ( [mm]\bruch{1+i}{ \wurzel{2}})^2[/mm] = [mm]\bruch{1+i}{ \wurzel{2}} \* \bruch{1+i}{ \wurzel{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{(1*1-1*1)+(1*1+1*1)i}{(\wurzel{2})^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{2i}{2}[/mm] = 0+i = i
>
> ( [mm]\bruch{1+i}{ \wurzel{2}})^4= \bruch{0+2i}{2}\* \bruch{1+i}{ \wurzel{2}} \* \bruch{1+i}{ \wurzel{2}}= \bruch{(0*1-2*1)+(0*1+2*1)i}{( \wurzel{2})\*2}\* \bruch{1+i}{ \wurzel{2}}= \bruch{-2+2i}{2\* \wurzel{2}}\* \bruch{1+i}{ \wurzel{2}}= \bruch{-4+0i}{4}=[/mm]
> -1+0i=-1
Warum nicht so: [mm] (\bruch{1+i}{ \wurzel{2}})^4=(\bruch{1+i}{ \wurzel{2}})^{2})^{2}=(i)^{2}=-1
[/mm]
Du hattest doch schon [mm] (\bruch{1+i}{ \wurzel{2}})^2=i [/mm] ermittelt
> Wäre schön, wenn jemand mal über die Lösungen drüber gucken
> könnte.
> Ich weiß, dass man sich viel Arbeit ersparen kann, wenn man
> das Potenzieren nicht kartesisch macht. Ich weiß nur leider
> nicht, wie ich meine gegebenen Zahlen umforme.
> Ich weiß, dass gilt: "Die komplexe Zahl z= r(cos a+isin
> a)=re^(ia) wird in die n-te Potenz erhoben, indem man ihren
> Betrag r in die n-te Potenz erhebt und ihr Argument
> (Winkel) a mit dem Exponenten n multipliziert."
> Woher weiß ich denn beispielsweise, was hier der Winkel
> ist?
Der Winkel wird doch zwischen der x-Achse und dem Zeiger abgenommen und du hast zwei Komponenten bei der komplexen Zahl (Re und Im)
Der Tangens ist das Verhältnis von Im zu Re und schon hast du deinen Winkel. Du musst nur beachten in welchem Quadranten du dich befindest und dementsprechend [mm] \pi [/mm] addieren bzw den Wert von [mm] 2\pi [/mm] subtrahieren.
Dann klappt auch Teil b
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 03.11.2005 | | Autor: | Didi |
Danke, stimmt. 8*8 ist nicht 16 
Und danke für die schnelle Antwort. Werd mich damit jetzt nochmal dran setzen.
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