Bestimmung von Häufungspunkten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:50 Di 08.02.2005 | | Autor: | don82 |
Hallo,
ich habe folgendes Problem.
Also wir haben gelernt : Sei M [mm] \subset \IR, [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] . a heißt Häufungspunkt vom M [mm] \gdw \forall [/mm] r [mm] \in \IR+ \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M : m [mm] \in [/mm] punktierter r-Umgebung von (a).
Ich kann mir daraus allerdings nicht herleiten wie ich nun die Häufungspunkte berechnen kann, z.B. von folgender Folge :
2 * [mm] (-1)^{n} [/mm] - [mm] (-1/4)^n
[/mm]
Vielen Dank, ich bin echt verzweifelt, weil unserer Professor keine Sprechstunden mehr gibt vor der Klausur.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo.
Aus dieser Definition ist es auch äußerst schwer, zu sehen, wie man nun einen Häufungspunkt bestimmt. Eine allgemeine Methode dafür gibt es auch nicht.
Aber man kommt vielleicht weiter, wenn man folgende Definition im Auge behält:
Ein Häufungspunkt ist der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge.
Damit sieht man auch hier recht schnell, welche Häufungspunkte es gibt, denn der erste Teil unserer Folge, die wir hier haben alterniert ja einfach nur, während der 2. Teil fröhlich, aber mit wechselndem Vorzeichen gegen 0 geht.
Für gerade Indizes erhalten wir dann:
[mm]a_{2n}=2*(-1)^{2n}-(-\bruch{1}{4})^{2n}=2-(\bruch{1}{16})^{n}[/mm], und für ungerade dementsprechend:
[mm]a_{2n+1}=2*(-1)^{2n+1}-(-\bruch{1}{4})^{2n+1}=-2+\bruch{1}{4}(\bruch{1}{16})^{n}[/mm].
Nun sieht man leicht ein, daß beide Teilfolgen konvergieren, und zwar die eine gegen 2, die andere gegen -2.
Damit haben wir gleichzeitig aber auch schon alle Häufungspunkte gefunden, denn eine natürliche Zahl ist ja entweder gerade oder ungerade.
Ich hoffe, daß ich einigermaßen weiterhelfen konnte, wenn nicht, einfach nochmal nachfragen!
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Di 08.02.2005 | | Autor: | don82 |
Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen :)
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