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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Di 05.04.2005 | | Autor: | Mikey |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zunächst einmal die Aufgabe:
Eine Parabel 3.Ordnung geht durch den Ursprung und hat an den Stellen x1=0 und x2=4 zueinander parallele Tangenten. An der Stelle x3=1 besitzt sie eine waagerechte Tangente.
Die x-Achse im Bereich 0<=x<=1, die Gerade x=1 und die Parabel, welche in diesem Bereich im 1.Quadranten verläuft, schließen eine Fläche mit dem Inhalt 2,75 ein.
Bestimmen sie die Gleichung der Parabel.
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Den Abschnitt mit der Fläche habe ich zunächst einmal ignoriert, da ich vorher schon ein Problem habe...
Ich habe bisher folgenden Ansatz:
3. Ordnung => [mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
aus dem Ursprung folgt:
f(0)=0
da die Tangenten bei x1=0 und x2=4 parallel sind ergibt sich, dass f'(0)=f'(4)
Nun weiss ich aber nicht, was ich mit dem x3=1 machen soll. Kann mir jemand helfen? Danke im voraus.
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Hallo Mikey!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zunächst einmal die Aufgabe:
>
> Eine Parabel 3.Ordnung geht durch den Ursprung und hat an
> den Stellen x1=0 und x2=4 zueinander parallele Tangenten.
> An der Stelle x3=1 besitzt sie eine waagerechte Tangente.
> Die x-Achse im Bereich 0<=x<=1, die Gerade x=1 und die
> Parabel, welche in diesem Bereich im 1.Quadranten verläuft,
> schließen eine Fläche mit dem Inhalt 2,75 ein.
> Bestimmen sie die Gleichung der Parabel.
Mmh - das scheint eine recht umfangreiche Aufgabe zu sein. Aber wir schaffen das schon! 
> Den Abschnitt mit der Fläche habe ich zunächst einmal
> ignoriert, da ich vorher schon ein Problem habe...
>
> Ich habe bisher folgenden Ansatz:
>
> 3. Ordnung => [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aus dem Ursprung folgt:
>
> f(0)=0
und was folgt daraus? setze doch mal x=0 in deine obige Funktion ein. Du erhältst, dass d=0 sein muss und hast somit nur noch 3 Variablen.
> da die Tangenten bei x1=0 und x2=4 parallel sind ergibt
> sich, dass f'(0)=f'(4)
auch das kannst du schonmal ein bisschen berechnen, also f' berechnen und dann mal x=0 und x=4 einsetzen
> Nun weiss ich aber nicht, was ich mit dem x3=1 machen soll.
> Kann mir jemand helfen? Danke im voraus.
Mmh - was bedeutet denn eine waagerechte Tangente? Das bedeutet doch nichts anderes, als dass die Ableitung an der Stelle gleich 0 ist und die Funktion dort einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. Oder irre ich mich jetzt? Du kannst hier also schreiben:
f'(1)=0
auch hierfür kannst du die 1 wieder in dein f' einsetzen.
Jetzt hast du schon einige Gleichungen. Aber damit die Aufgabe auch Sinn macht, musst du jetzt wahrscheinlich doch schon die Fläche hinzu nehmen. Dafür benötigst du das Integral - schaffst du es erstmal ein bisschen alleine weiter? Schreibe doch wenigstens mal die ganzen Gleichungen auf, die du jetzt erhältst und poste sie, auch wenn du dann vielleicht immer noch nicht weiter kommst.
Aber bitte probiere es mal mit dem Formeleditor! Man kann nämlich auch [mm] x_3 [/mm] schreiben. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 05.04.2005 | | Autor: | Mikey |
Alles klar, danke, ist schon eine Weile her, dass ich das alles hatte. Das war in der 12, daher ist mein Wissen in dem Bereich sehr eingerostet ;).
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f(0)=0 eingesetzt:
d=0
f'(0):
f'(0)=c
f'(4):
f'(4)=48a+8b+c
f'(1)=0:
3a+2b+c=0
demnach nehme ich mal an, dass wenn ich das f'(0)=f'(4) setzte folgendes heraus kommt:
48a+8b+c=c [mm] \gdw [/mm] 48a+8b=0
demnach habe ich also nun:
48a+8b=0
3a+2b+c=0
d=0
Wäre das also bisher richtig?
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Hallo Mikey!
> Alles klar, danke, ist schon eine Weile her, dass ich das
> alles hatte. Das war in der 12, daher ist mein Wissen in
> dem Bereich sehr eingerostet ;).
>
> [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
> [mm]f'(x)=3ax^{2}+2bx+c[/mm]
>
> f(0)=0 eingesetzt:
> d=0
>
> f'(0):
> f'(0)=c
>
> f'(4):
> f'(4)=48a+8b+c
>
> f'(1)=0:
> 3a+2b+c=0
>
> demnach nehme ich mal an, dass wenn ich das f'(0)=f'(4)
> setzte folgendes heraus kommt:
>
> 48a+8b+c=c [mm]\gdw[/mm] 48a+8b=0
bis hierhin alles richtig! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> demnach habe ich also nun:
>
> 48a+8b=0
> 3a+2b=0
> d=0
hier hast du bei der zweiten Gleichung das c vergessen. Dass sich das beim Gleichsetzen von f'(4) und f'(1) aufhebt, heißt nicht, dass c=0 ist, du musst also immer noch schreiben:
3a+2b+c=0
Da das d nirgendwo mehr vorkommt, weil du ja dann direkt mit d=0 weitergerechnet hast, hast du jetzt zwei Gleichungen, aber drei Unbekannte. Dafür musst du nun mit der Fläche weiterrechnen. Bekommst du da einen Ansatz hin? Du benötigst das Integral über deine Funktion, wobei du deine bisherigen Gleichungen schon mal soweit ineinander einsetzen kannst, dass du nur noch eine Variable hast. Und dann musst du noch die Integrationsgrenzen berechnen.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Di 05.04.2005 | | Autor: | Mikey |
Das mit dem c habe ich eben noch gemerkt, aber wohl nicht mehr schnell genug berichtigt ^^ aber danke. Ich versuchs erstmal auf eigene Faust, wird schon schief gehen ;).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Di 05.04.2005 | | Autor: | Mikey |
*räusper* schon schief gegangen ;)
habe zuerst die Stammfunktion aufgestellt:
[mm] F(x)=\bruch{1}{4}ax^{4}+\bruch{1}{3}bx^{3}+\bruch{1}{2}cx^{2}+dx
[/mm]
habe jetzt aber ein Problem mit dem einsetzen:
aus
48a+8b=0 ergibt sich z.B. b=-6a
und aus
3a+2b+c=0 ergibt sich z.B. [mm] a=-\bruch{2}{3}b-\bruch{1}{3}c
[/mm]
Wenn ich nun das a oder b in die Stammfunktion einsetze habe ich immernoch 2 Variablen, entweder a und c oder b und c.
Ich nehme mal an, dass der Teil mit x=1 nun zum Zuge kommt, leider weiss ich nicht, was ich damit machen soll.
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Auch immer noch fleißig?
> *räusper* schon schief gegangen ;)
>
> habe zuerst die Stammfunktion aufgestellt:
>
> [mm]F(x)=\bruch{1}{4}ax^{4}+\bruch{1}{3}bx^{3}+\bruch{1}{2}cx^{2}+dx[/mm]
> habe jetzt aber ein Problem mit dem einsetzen:
>
> aus
> 48a+8b=0 ergibt sich z.B. b=-6a
> und aus
> 3a+2b+c=0 ergibt sich z.B. [mm]a=-\bruch{2}{3}b-\bruch{1}{3}c[/mm]
>
> Wenn ich nun das a oder b in die Stammfunktion einsetze
> habe ich immernoch 2 Variablen, entweder a und c oder b und
> c.
> Ich nehme mal an, dass der Teil mit x=1 nun zum Zuge
> kommt, leider weiss ich nicht, was ich damit machen soll.
Nein, ich würde zuerst mal dein b=-6a in die zweite Gleichung einsetzen, so bekommst du dann nämlich dein c auch in Abhängigkeit von a, nämlich c=9a, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Und das kannst du dann in deine Stammfunktion einsetzen, da hast du dann nur noch a als Variable. Dann musst du noch die Grenzen berechnen, setzt diese ein, setzt das Ganze gleich dem vorgegebenen Flächeninhalt und löst nach a auf.
Versuch's doch nochmal.
Viele Grüße
Bastiane
P.S.: Ich weiß nicht, ob ich heute nochmal antworte - hat das auch noch etwas länger Zeit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Di 05.04.2005 | | Autor: | Mikey |
Ja klar ;) muss die Aufgabe erst bis Freitag fertig machen, weil wir üben mündliche Vorträge fürs 4.Abiturfach, hab Mathe zwar als drittes aber dennoch muss jeder so eine Aufgabe machen.
Das dumme ist, ich hatte tatsächlich vorhin hier c=9a stehen, dachte aber, ich hätte mich irgendwie vertan ;) Gut, dass es dann doch stimmte. Vielen Dank bis hierhin. Vielleicht bekomme ich den Rest auch noch selbst hin. Das einzige, was mir noch spanisch vorkommt ist die Gerade x=1. Naja, mal gucken, schlaf gut und danke nochmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Di 05.04.2005 | | Autor: | Mikey |
So, habe es glaube ich fertig, tippen dauert jetzt wahrscheinlich länger als rechnen *hehe*
nach dem Einsetzen:
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {(a [mm] x^{^3}-6a x^{2}+9a [/mm] x)dx}
[mm] A=[\bruch{1}{4}a x^{4}-2a x^{3}+ \bruch{9}{2}a x^{2}]0-1 [/mm] (hier weiss ich nicht, wie ich die 0 tiefstellen und die 1 hochstellen kann, daher so seltsam ;) )
= [mm] \bruch{1}{4}a [/mm] -2a + [mm] \bruch{9}{2}a
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}a [/mm] - [mm] \bruch{8}{4}a [/mm] + [mm] \bruch{18}{4}a
[/mm]
= [mm] \bruch{11}{4}a
[/mm]
da A=2,75 [mm] \Rightarrow \bruch{11}{4}a [/mm] = 2,75
[mm] \gdw [/mm] a=1
jeweils eingesetzt ergibt sich:
b=-6
c=9
d=0
dann alles in die Ausgangsgleichung:
[mm] f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x
[/mm]
Hoffe mal, dass das nun alles so richtig ist. Frage mich nur, wozu diese Gerade x=1 angegeben ist. Nehme mal an, dass ich daraus nur die Grenze, also bis 1 entnehmen soll, welche ja auch schon durch 0<=x<=1 gegeben ist. Somit soll man wohl die Gerade in die Zeichnung einfügen, sodass man die Grenze deutlich sieht. Vielen Dank nochmal, hätte es alleine wohl nicht geschafft ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Di 05.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Mikey!
> So, habe es glaube ich fertig, tippen dauert jetzt
> wahrscheinlich länger als rechnen *hehe*
>
> nach dem Einsetzen:
>
>
> [mm][mm] \integral_{0}^{1}{(ax^{^3}-6a x^{2}+9a x)dx}
[/mm]
>
> [mm]A=[\bruch{1}{4}a x^{4}-2a x^{3}+ \bruch{9}{2}a x^{2}]0-1[/mm]
> (hier weiss ich nicht, wie ich die 0 tiefstellen und die 1
> hochstellen kann, daher so seltsam ;) )
>
> = [mm]\bruch{1}{4}a[/mm] -2a + [mm]\bruch{9}{2}a[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4}a[/mm] - [mm]\bruch{8}{4}a[/mm] + [mm]\bruch{18}{4}a[/mm]
> = [mm]\bruch{11}{4}a[/mm]
>
> da A=2,75 [mm]\Rightarrow \bruch{11}{4}a[/mm] = 2,75
> [mm]\gdw[/mm] a=1
>
> jeweils eingesetzt ergibt sich:
>
> b=-6
> c=9
> d=0
>
> dann alles in die Ausgangsgleichung:
>
> [mm]f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x[/mm]
>
> Hoffe mal, dass das nun alles so richtig ist. Frage mich
> nur, wozu diese Gerade x=1 angegeben ist. Nehme mal an,
> dass ich daraus nur die Grenze, also bis 1 entnehmen soll,
> welche ja auch schon durch 0<=x<=1 gegeben ist. Somit soll
> man wohl die Gerade in die Zeichnung einfügen, sodass man
> die Grenze deutlich sieht. Vielen Dank nochmal, hätte es
> alleine wohl nicht geschafft ;)
Ich habe das jetzt nicht alles nachgerechnet, aber ich habe mal deine Funktion zeichnen lassen und die Fläche berechnen lassen - das stimmt alles. Und die vorgegebenen Eigenschaften stimmen auch - demnach hast du dich wohl auch nicht verrechnet.
Die Gerade x=1 ist in der Tat nur für die Grenze gut gewesen, das ist aber nicht ungewöhnlich. Denn im Prinzip muss man die Funktion da ja irgendwie eingrenzen, und das geht ganz einfach durch solch eine Gerade.
Freut mich sehr, dass du so schön mitgearbeitet und es nun doch größtenteils alleine geschafft hast! ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Viele Grüße
und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
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