Bestimmung von Singularitäten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 So 20.06.2010 | | Autor: | Camille |
Hallo zusammen!
Wir haben in Funktionentheorie gerade mit Singularitäten begonnen und mir ist alles andere als klar wie ich die Art von Singularitäten bestimmen kann. Ich habe versucht mir dies an drei Beispielen klarzumachen:
i) f(z) = [mm] \bruch{cos(z)-1}{z^4}, z_{0} [/mm] = 0
ii) f(z) = sin(z), [mm] z_{0} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
iii) f(z) = [mm] \bruch{z}{1-e^z}, z_{0} [/mm] = 0
Bei i) bin ich der Meinung, dass es sich um eine Polstelle handelt. Bei iii) sieht es für mich nach einer hebbaren Singularität aus. Nur wie zeige ich sowas? Bei ii) fehlt mir wegen [mm] z_{0} [/mm] = [mm] \infty [/mm] irgendwie der Ansatz.
Könntet ihr mir an einem der Beispiele das grundlegende Vorgehen, die grundlegende Idee dahinter erklären? Ich wäre euch sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
benutze bei iii) die Reihenentwicklung der e-Funktion, dann kannst du kürzen.
Da für mehr gerade nicht viel Zeit lass ichs mal unbeantwortet.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mo 21.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo zusammen!
> Wir haben in Funktionentheorie gerade mit Singularitäten
> begonnen und mir ist alles andere als klar wie ich die Art
> von Singularitäten bestimmen kann. Ich habe versucht mir
> dies an drei Beispielen klarzumachen:
>
> i) f(z) = [mm]\bruch{cos(z)-1}{z^4}, z_{0}[/mm] = 0
> ii) f(z) = sin(z), [mm]z_{0}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> iii) f(z) = [mm]\bruch{z}{1-e^z}, z_{0}[/mm] = 0
>
> Bei i) bin ich der Meinung, dass es sich um eine Polstelle
> handelt. Bei iii) sieht es für mich nach einer hebbaren
> Singularität aus.
Beides richtig.
> Nur wie zeige ich sowas? Bei ii) fehlt
> mir wegen [mm]z_{0}[/mm] = [mm]\infty[/mm] irgendwie der Ansatz.
>
> Könntet ihr mir an einem der Beispiele das grundlegende
> Vorgehen, die grundlegende Idee dahinter erklären? Ich
> wäre euch sehr dankbar.
Wie Gono schon schrieb, hilft dir hier eine Reihenentwicklung weiter. Setze die bekannten Potenzreihenentwicklungen von Cosinus, Sinus und der Exponentialfunktion ein.
Zum Beispiel:
[mm] \cos z = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!} = 1 + \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^nz^{2n}} {(2n)!} [/mm]
Also ist
[mm] \cos z - 1 = \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!} = z^2 \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^nz^{2n-2}}{(2n)!} [/mm],
und daher
[mm] f(z) = \bruch{\cos z - 1}{z^4} = \bruch{1}{z^2} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^nz^{2n-2}}{(2n)!} [/mm] .
An der Stelle 0 liegt ein Pol zweiter Ordnung vor, denn
[mm] z^2 f(z) = \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^nz^{2n-2}}{(2n)!} = \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}z^{2n}}{(2n+2)!}[/mm]
ist eine konvergente Potenzreihe und stellt eine holomorphe Funktion dar.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:47 Di 22.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu ii):
f hat in [mm] z_0= \infty [/mm] eine hebbare Sing. ( einen Pol, eine wesentliche Sing.) [mm] \gdw [/mm] die Funktion $z [mm] \to [/mm] f(1/z)$ hat in 0 eine hebbare Sing. ( einen Pol, eine wesentliche Sing.)
Zu iii): sei [mm] $g(z):=e^z$
[/mm]
Dann ist [mm] $\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{e^z-1}{z}= \limes_{z\rightarrow 0}\bruch{g(z)-g(0)}{z-0}= [/mm] g'(0) = 1$, somit ist
[mm] $\limes_{z\rightarrow 0}f(z)=-1$
[/mm]
f hat also in 0 was für eine Sing. ?
FRED
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