Bestimmung von Stammfunktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Do 05.01.2006 | | Autor: | Commotus |
| Aufgabe | a) f(x)=1/sin(x)
b) f(x)= [mm] \bruch{e^(3x)}{1+e^x} [/mm] |
Guten Morgen,
habe leider keinen konkreten Ansatz, wie ich die Stammfunktionen bestimmen soll.
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Hallo,
> a) f(x)=1/sin(x)
Dieses Integral löst man durch Substitution. Formen wir zunächst ein bisschen um:
sin(x)
[mm] =2*sin(\bruch{x}{2})cos(\bruch{x}{2})
[/mm]
[mm] =\bruch{2*sin(\bruch{x}{2})cos(\bruch{x}{2})}{sin^{2}(\bruch{x}{2})+cos^{2}(\bruch{x}{2})}
[/mm]
[mm] =\bruch{2tan(\bruch{x}{2})}{1+tan^{2}(\bruch{x}{2})}
[/mm]
Jetzt integrieren wir durch Substitution und wählen [mm] u:=tan(\bruch{x}{2})
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{sin(x)} dx}=2*\integral_{}^{} {\bruch{1+u^{2}}{2u(1+u^{2})} du}=\integral_{}^{} {\bruch{1}{u} du}=ln(|u|)+C=ln|tan(\bruch{x}{2})|+C
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Do 05.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Wie kommst du bei der Umformung von 1/sin(x) zur letzten Gleichung mit tan?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Wie kommst du bei der Umformung von 1/sin(x) zur letzten
> Gleichung mit tan?
Er hat Zaehler und Nenner durch [mm] $\cos(x/2)^2$ [/mm] geteilt und dann [mm] $\tan [/mm] t = [mm] \frac{\sin t}{\cos t}$ [/mm] benutzt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Do 05.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Welche Zwischenschritte wurden bei der Bestimmung des Integrals gemacht? (ab der Substitution)
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Hallo Commotus!
[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{1}{\sin(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+\blue{\tan^2\left(\bruch{x}{2}\right)}}{2*\blue{\tan\left(\bruch{x}{2}\right)}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+\blue{u}^2}{2*\blue{u}} \ d\red{x}}$
[/mm]
mit $u \ := \ [mm] \tan\left(\bruch{x}{2}\right)$
[/mm]
Nun haben wir ein Integral mit der Variable [mm] $\blue{u} [/mm] \ = \ u(x)$ , das nach [mm] $\red{x}$ [/mm] integriert werden soll. Daher müssen wir das [mm] $d\red{x}$ [/mm] auch durch ein [mm] $d\blue{u}$ [/mm] ersetzen:
$u' \ = \ [mm] \bruch{d\blue{u}}{d\red{x}} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \tan\left(\bruch{x}{2}\right) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \left[1+\blue{\tan^2\left(\bruch{x}{2}\right)}\right]*\bruch{1}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(1+\blue{u}^2\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $d\red{x} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{d\blue{u}}{\left(1+\blue{u}^2\right)}$
[/mm]
Dies eingesetzt in unsere Integral ergibt:
$... \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+\blue{u}^2}{2*\blue{u}}*2*\bruch{d\blue{u}}{\left(1+\blue{u}^2\right)}} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1+\blue{u}^2}{\blue{u}*\left(1+\blue{u}^2\right)} \ d\blue{u}} [/mm] \ = \ ...$
Nun kürzen, integrieren und re-substituieren ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Do 05.01.2006 | | Autor: | Commotus |
Vielen Dank für deine Mühe. Ich wollte erst beim Ableiten des Tangens ungünstig kürzen, sodass ich zu keiner vernünftigen Lösung gekommen wäre!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> b) f(x)= [mm]\bruch{e^(3x)}{1+e^x}[/mm]
Substituiere $y = [mm] e^x$ [/mm] und vereinfache den Bruch im Integranden, in dem du Polynomdivision (Zaehler durch Nenner) durchfuehrst.
LG Felix
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