Betrachtung von Vektorräumen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Gruntdog |
Hallo Leute,
Jetzt habt ihr es mit einem zu tun der mathematisch gesehn net wirklich der hellste Stern am Himmel ist ^^.. Genug zur Vorgeschichte .. Ich habe hier ein Problem. Wir haben folgende Aufgabe bekommen. "Betrachte den Vektorraum der Funktionen, die auf IR differenzierbar sind". Und dann dazu: "Belegen Sie, dass die Abbildung D, die jeder diefferenzierbaren Funktion f ihre 1. Ableitung f' zuordnet, linear ist." Also ich kann damit überhaupt nix anfangen. Ich weiß zwar jetzt nach langer Recherche zwar was ungefähr ein Vektorraum ist, aber ansonsten steh ich ganz schön auf den Schlauch. Mir würde es wirklich sehr helfen, wenn ihr mir helfen könnten!
Schon mal 1000 mal DANKE im voraus
Gruntdog
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Hallo!
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> Hallo Leute,
> Jetzt habt ihr es mit einem zu tun der mathematisch gesehn
> net wirklich der hellste Stern am Himmel ist ^^.. Genug zur
> Vorgeschichte .. Ich habe hier ein Problem. Wir haben
> folgende Aufgabe bekommen. "Betrachte den Vektorraum der
> Funktionen, die auf IR differenzierbar sind". Und dann
> dazu: "Belegen Sie, dass die Abbildung D, die jeder
> diefferenzierbaren Funktion f ihre 1. Ableitung f'
> zuordnet, linear ist." Also ich kann damit überhaupt nix
> anfangen. Ich weiß zwar jetzt nach langer Recherche zwar
> was ungefähr ein Vektorraum ist, aber ansonsten steh ich
> ganz schön auf den Schlauch. Mir würde es wirklich sehr
> helfen, wenn ihr mir helfen könnten!
Also, auf der Schule hätte ich da damals auch nichts mit anfangen können. Da hatte ich schon Probleme damit, mir vorzustellen, was überhaupt ein Vektorraum ist. Wo kommst du denn her, dass ihr so etwas schon in der Schule macht?
Also erstmal zum Vektorraum:
Ein Vektorraum ist eigentlich nur eine Menge, für deren Elemente bestimmte Gesetze gelten. Welche das sind, müsstest du überall unter Vektorraum nachlesen können, wahrscheinlich sogar in deinem Schulbuch, ansonsten gib doch unter google einfach mal Vektorraum ein.
Nun hast du nicht so einen "normalen" Vektorraum wie einfach nur den [mm] \IR^2 [/mm] oder [mm] \IR^3 [/mm] (allgemein auch der [mm] \IR^n), [/mm] sondern du hast den Raum der differenzierbaren Funktionen. Also die Elemente deines Vektorraums sind nicht so Vektoren, wie du sie kennst, sondern es sind Funktionen.
Soweit klar? Ist vielleicht etwas schwierig vorzustellen - hat bei mir auch gedauert...
Und nun hast du noch eine Abbildung, und zwar die Abbildung A mit
A(f(x))=f'(x)
Wenn dein Element des Vektorraums also z. B. die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist, dann wäre A(f(x))=2x, also einfach die Ableitung. Okay?
Es wird also jeder Funktion ihre eigenen Ableitung zugeordnet.
Und nun sollst du zeigen, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist. Linear bedeutet folgendes:
[mm] A(f_1+f_2)=A(f_1)+A(f_2)
[/mm]
und
[mm] A(\lambda f)=\lambda [/mm] A(f)
in Worten:
Das Bild der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Bilder, und das Bild von einem Skalar mal der Funktion ist gleich dem Produk aus dem Skalar und dem Bild der Funktion. (vielleicht hilft dir das in Worten ja etwas zum Verstehen oder zum Merken  )
Wie musst du nun also vorgehen?
Wir nehmen mal die linke Seite:
[mm] A(f_1+f_2)
[/mm]
was ist das? Wenn ich z. B. [mm] f_1=x^2 [/mm] und [mm] f_2=x^3 [/mm] habe, was ist dann die Ableitung von [mm] x^2+x^3? [/mm] Naja, einfach [mm] 2x+3x^2, [/mm] nicht wahr?
Also:
[mm] A(f_1+f_2)=A(f_1)+A(f_2)
[/mm]
wobei wir das jetzt eigentlich gar nicht wirklich bewiesen haben, aber ich glaube, das ist trivial (also nicht zu beweisen)...
Und zum zweiten Teil:
[mm] A(\lambda [/mm] f)
was ist das? Nun ja, nehmen wir mal [mm] f(x)=x^2, [/mm] wenn wir jetzt berechnen wollen [mm] A(5*x^2), [/mm] dann rechnen wir ja quasi [mm] 5*A(x^2), [/mm] also gilt:
[mm] A(\lambda f)=\lambda [/mm] A(f)
Ich weiß im Moment wirklich nicht, ob man das noch irgendwie anders beweisen kann, aber ich würde sagen, das folgt einfach aus den Ableitungsregeln. Vielleicht wollte euer Lehrer auch nur, dass ihr euch mit den Begriffen beschäftigt und das dann so erklären könnt. 
Viele Grüße
Bastiane
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