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| Aufgabe | Bestimmen sie die Menge aller x [mm] \in \IR, [/mm] für die folgende Ungleichung gilt:
| |x+1| - 2 | [mm] \le [/mm] x |
Hallo!
Mein Lösungsvorschlag wäre folgender:
|x+1| = [mm] \begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \ge -1 \\ -x-1, & \mbox{für } x<-1 \end{cases}
[/mm]
|x+1| - 2 = [mm] \begin{cases} x-1, & \mbox{für } x \ge -1 \\ -x-3, & \mbox{für } x<-1 \end{cases}
[/mm]
=> | x-1 | = [mm] \begin{cases} x-1, & \mbox{für } x \ge 1 \\ 1-x, & \mbox{für } x<1 \end{cases}
[/mm]
(für die Ungleichung)
"x-1": x-1 [mm] \le [/mm] x <=> -1 [mm] \le [/mm] 0
"1-x": 1-x [mm] \le [/mm] x <=> 1 [mm] \le [/mm] 2x <=> [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] x
=> | -x - 3 | = [mm] \begin{cases} -x-3, & \mbox{für } x \le -3 \\ x+3, & \mbox{für } x>-3 \end{cases}
[/mm]
(für die Ungleichung)
"-x-3": -x-3 [mm] \le [/mm] x <=> -3 [mm] \le [/mm] 2x <=> - [mm] \bruch{3}{2} \le [/mm] x
"x+3": x+3 [mm] \le [/mm] x <=> 3 [mm] \le [/mm] 0
Nun ja, "x+3": x+3 [mm] \le [/mm] x <=> 3 [mm] \le [/mm] 0 ist ein Widerspruch und wenn dem selbst nicht so wäre, ließe sich nichts vernünftiges für die Lösungsmenge von x formen. D.h. wohl, ich habe irgendwo einen Denkfehler drin. Nur wo?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Do 15.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zuallererst siehst du x>0, denn die linke Seite ist sicher immer [mm] \ge [/mm] 0
also musst du Fälle mit neg x gar nicht ansehen. deshalb ist auch immer x+1>0
und du kannst diesen Betrag gleich weglassen. Damit wird das Problem einfacher
und du hast nur noch
[mm] |x+1-2|\le [/mm] x
und [mm] x\ge0 [/mm] zu betrachten.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Do 15.11.2007 | | Autor: | DieMuhKuh |
Hallo!
Ah, danke!
: Alles weitere hat sich auch erledigt.
Danke nochmal.
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