Betrag und Argument von z < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}. [/mm] Bestimmen Sie Betrag und Argument von z.
Tipp: Bestimmen Sie zunächst das Argument von [mm] z^2. [/mm] |
Hallo zusammen!
Bei dieser Aufgabe habe ich Probleme, den Tipp zu verstehen. Für |z| brauch ich den ja wohl nicht:
[mm] |z|=\sqrt{(\sqrt{2+\sqrt{2}})^2+(\sqrt{2-\sqrt{2}})^2}=\sqrt{2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2
[/mm]
arg [mm] z^2 [/mm] ist an sich auch noch gut zu bestimmen:
arg [mm] z^2=arg(2+\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+i2(\sqrt{2+\sqrt{2}}*\sqrt{2-\sqrt{2}}
[/mm]
[mm] =arg(i2\sqrt{2})=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Aber wie hilft mir das bei der bestimmung von arg z weiter?
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Hallo Christoph,
> Sei [mm]z=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}.[/mm] Bestimmen Sie
> Betrag und Argument von z.
> Tipp: Bestimmen Sie zunächst das Argument von [mm]z^2.[/mm]
> Hallo zusammen!
> Bei dieser Aufgabe habe ich Probleme, den Tipp zu
> verstehen. Für |z| brauch ich den ja wohl nicht:
>
> [mm]|z|=\sqrt{(\sqrt{2+\sqrt{2}})^2+(\sqrt{2-\sqrt{2}})^2}=\sqrt{2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Damit [mm] $|z^2|=|z|^2=4$
[/mm]
>
> arg [mm]z^2[/mm] ist an sich auch noch gut zu bestimmen:
>
> arg
> [mm]z^2=arg(2+\sqrt{2}-2-\sqrt{2}+i2(\sqrt{2+\sqrt{2}}*\sqrt{2-\sqrt{2}}[/mm]
> [mm]=arg(i2\sqrt{2})=\bruch{\pi}{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $z^2$ [/mm] solltest du nochmal berechnen ...
>
> Aber wie hilft mir das bei der bestimmung von arg z weiter?
Nun, es ist [mm] $\operatorname{arg}(z^2)$ [/mm] leichter zu bestimmen als [mm] $\operatorname{arg}(z)$
[/mm]
Mit [mm] $w=r\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i}$ [/mm] ist [mm] $\sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{r}\cdot{}e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}\cdot{}i}$, [/mm] $k=0,1,...,n-1$
Auf diese Weise kommst du leichter an [mm] $\operatorname{arg}(z)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Oh, dankeschön!
[mm] z^2=2\sqrt{2}+i2\sqrt{2}
[/mm]
damit ist arctan [mm] \bruch{y}{x}= [/mm] arctan [mm] 1=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
> Nun, es ist $ [mm] \operatorname{arg}(z^2) [/mm] $ leichter zu bestimmen als $ [mm] \operatorname{arg}(z) [/mm] $
Okay, sehe ich ein. Aber wie arg z und arg [mm] z^2 [/mm] zusammenhängen, versteh ich trotzdem nicht. Was hat die n-te komplexe Wurzel damit zu tun?
Gruß, Christoph
edit: ist arg [mm] z^2 [/mm] =2 arg z?
wenn ich die Formel für [mm] z^n [/mm] in Polarkoordinaten ansehe, wird nämlich [mm] \varphi [/mm] jeweils durch [mm] n*\varphi [/mm] ersetzt...
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Hallo Palisaden-Honko,
> Oh, dankeschön!
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> [mm]z^2=2\sqrt{2}+i2\sqrt{2}[/mm]
> damit ist arctan [mm]\bruch{y}{x}=[/mm] arctan [mm]1=\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> > Nun, es ist [mm]\operatorname{arg}(z^2)[/mm] leichter zu bestimmen
> als [mm]\operatorname{arg}(z)[/mm]
>
> Okay, sehe ich ein. Aber wie arg z und arg [mm]z^2[/mm]
> zusammenhängen, versteh ich trotzdem nicht. Was hat die
> n-te komplexe Wurzel damit zu tun?
>
> Gruß, Christoph
>
> edit: ist arg [mm]z^2[/mm] =2 arg z?
Genauso ist es.
> wenn ich die Formel für [mm]z^n[/mm] in Polarkoordinaten ansehe,
> wird nämlich [mm]\varphi[/mm] jeweils durch [mm]n*\varphi[/mm] ersetzt...
Gruss
MathePower
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Jippieh! Ich kann Mathe ;)
Danke für die Hilfe!
Gruß,
Christoph
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