Betragsfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Mi 17.08.2011 | | Autor: | hula |
Moinmoin
Wir sollen folgende Funktion untersuchen und eine Aussage über die Differenzierbarkeit in 0 finden:
[mm] f(x) = |x|^t,\forall t>1 \in \IR [/mm]
Wie oben bereits erwähnt ist ja die einzige kritische Stelle 0. Wenn ich diesen Grenzwert einmal hinschreibe:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t - 0^t}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t}{x} [/mm]
Dann würde ich de L'Hôpital verwenden:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} t |x|^{t-1}\bruch{x}{|x|} [/mm]
Naja....jetzt würde ich wie folgt argumentieren: Der Bruch ist ja beschränkt, je nachdem ob ich von links oder rechts komme ist er -1 oder +1. Da $\ t > 1 $ strebt der vordere Teil gegen 0. Also ist die Funktion in 0 differenzierbar mit Ableitung 0. Stimmen mein Beweis, meine Argumentation?
greetz
hula
|
|
| |
|
Moin Hula,
> Wir sollen folgende Funktion untersuchen und eine Aussage
> über die Differenzierbarkeit in 0 finden:
>
> [mm]f(x) = |x|^t,\forall t>1 \in \IR[/mm]
>
> Wie oben bereits erwähnt ist ja die einzige kritische
> Stelle 0. Wenn ich diesen Grenzwert einmal hinschreibe:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t - 0^t}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t}{x}[/mm]
>
> Dann würde ich de L'Hôpital verwenden:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} t |x|^{t-1}\bruch{x}{|x|}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Naja....jetzt würde ich wie folgt argumentieren: Der Bruch
> ist ja beschränkt, je nachdem ob ich von links oder rechts
> komme ist er -1 oder +1. Da [mm]\ t > 1[/mm] strebt der vordere Teil
> gegen 0. Also ist die Funktion in 0 differenzierbar mit
> Ableitung 0. Stimmen mein Beweis, meine Argumentation?
Ja, sieht gut aus. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Mi 17.08.2011 | | Autor: | chrisno |
Ich frage, warum Du den Umweg über L' Hospital gehen musst. Kannst Du nicht direkt den Limes mit Fallunterscheidung für den Betrag betrachten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mi 17.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moinmoin
>
> Wir sollen folgende Funktion untersuchen und eine Aussage
> über die Differenzierbarkeit in 0 finden:
>
> [mm]f(x) = |x|^t,\forall t>1 \in \IR[/mm]
>
> Wie oben bereits erwähnt ist ja die einzige kritische
> Stelle 0. Wenn ich diesen Grenzwert einmal hinschreibe:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t - 0^t}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t}{x}[/mm]
>
> Dann würde ich de L'Hôpital verwenden:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} t |x|^{t-1}\bruch{x}{|x|}[/mm]
Wie kommst Du dadrauf ??
Mach es so: da t>1, ist t=s+1 mit s>0. Dann:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t}{x}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^s*|x|}{x}= \bruch{|x|}{x}\limes_{x\rightarrow 0}|x|^s=0,
[/mm]
denn [mm] \bruch{|x|}{x} [/mm] ist beschränkt.
FRED
>
> Naja....jetzt würde ich wie folgt argumentieren: Der Bruch
> ist ja beschränkt, je nachdem ob ich von links oder rechts
> komme ist er -1 oder +1. Da [mm]\ t > 1[/mm] strebt der vordere Teil
> gegen 0. Also ist die Funktion in 0 differenzierbar mit
> Ableitung 0. Stimmen mein Beweis, meine Argumentation?
>
> greetz
>
>
> hula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Mi 17.08.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t - 0^t}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|^t}{x}[/mm]
>
> >
> > Dann würde ich de L'Hôpital verwenden:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} t |x|^{t-1}\bruch{x}{|x|}[/mm]
>
> Wie kommst Du dadrauf ??
Alles Ableitung des Zählers mit Kettenregel. [mm] \bruch{x}{|x|} [/mm] ist die Ableitung von |x|. Ist doch keine schlechte Idee, oder?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Fr 19.08.2011 | | Autor: | hula |
Würde mich auch interessieren. Sind meine Überlegungen falsch? Die Ableitung der Betragsfunktion existiert ja ausser in 0. Aber den Fall will ich ja gerade behandeln.
greetz
hula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Sa 20.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Würde mich auch interessieren. Sind meine Überlegungen
> falsch?
Nein
FRED
> Die Ableitung der Betragsfunktion existiert ja
> ausser in 0. Aber den Fall will ich ja gerade behandeln.
>
> greetz
>
> hula
|
|
|
|
