Betragsfunktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 So 13.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
| Aufgabe | |x+1| + x+1 / [mm] |x^2 [/mm] -1|
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Ich muss die Funktion auf Funktionsgrenzwerte untersuchen.
Ich habe folgende werte -1, 1, -unendlich, +unendlich
Jetzt habe ich gedacht ich vereinfache erstmal die funktion:
|x+1| + x+1 / |x-1||x+1| = x+1 / |x-1|
so dann habe ich das ganze normal gegen die einzelnen werte gehen lassen jeweils für links und rechts und habe auch immer gute ergebnisse.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dann habe ich nachgeschaut ob des so richtig ist und was sehe ich in der Lösung: Die haben jeweils die betrags teile der gleichung genommen und jeweils einen fallunterschioed gemacht also bsp: |x+1| => -x-1; x+1
muss man das so machen oder kann ich das auch mit meiner vereinfachten form machen. Bzw wie geht man bei betrag vor? genau wie bei normalen Funktionsgleichungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo zizu4u!
Auch ich empfehle eindeutig die Fallunterscheidungen für $x+1 \ > \ 0$ , $x+1 \ < \ 0$ , $x-1 \ > \ 0$ sowie $x-1 \ < \ 0$ .
Dein Weg ist daher falsch, da Du hier falsch zusammenfasst und kürzt.
Du solltest doch wissen:
Aus Differenzen und Summen kürzen nur die ... weniger Schlauen!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 So 13.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
oh gut das du das sagst ^^ ich sehe das da ja ein + steht xD
ok also fallunterscheidung
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:48 So 13.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
Ich habe die Fallunterscheidung jetzt durchgeführt jedoch bekomme ich was anderes raus :(
ich bin wie folgt vorgeganen:
also ich habe unterschieden zwischen
1. [mm] \bruch{|x+1| +x+1}{|x²-1|}
[/mm]
2. [mm] \bruch{|-x-1| +x+1}{|-x²+1|}
[/mm]
3. [mm] \bruch{|x+1| +x+1}{|-x²+1|}
[/mm]
lasse ich die drei einzelnt und immer von links und rechts jeweils gegen -1 laufen komme ich immer auf 0
laut lösung sollte ich jedoch bei der annäherung von rechts auf 1 kommen statt auf 0.
Mache ich was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo zizu4u!
Wie lautet denn der Funktionsterm $f(x)_$ für das Intervall $-1 \ < \ x \ < \ +1$ ?
Damit ergibt sich auch bei mir der Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow -1\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ ... \ = \ +1$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 13.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
keine ahnung ehrlich gesagt :(
ich habe das so gelernt das ich das so mache wie ich das gemacht habe das man unterschiedlich die vorzeigen von dem termen zumdreht wie du an den 3 unterscheidungen sehen kannst.
wie mache ich das den dann richtig?
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Hallo,
> keine ahnung ehrlich gesagt :(
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> ich habe das so gelernt das ich das so mache wie ich das
> gemacht habe das man unterschiedlich die vorzeigen von dem
> termen zumdreht wie du an den 3 unterscheidungen sehen
> kannst.
>
> wie mache ich das den dann richtig?
Eine Fallunterscheidung zu machen, ist schon genau richtig.
Wenn du - wie Loddar - schon sagte, den rechtsseitigen GW von f(x) für [mm] x\to [/mm] -1, also [mm] $\lim\limits_{x\to -1\downarrow}f(x)$ [/mm] berechnest, so ist $x>-1$ und (weil du nahe an $-1$ bist) kannst du auch annehmen, dass x<1 ist.
Also $-1<x<1$.
Gleichbedeutend $0<x+1$ und $x-1<0$
Damit $|x+1|=x+1$ und $|x-1|=1-x$
Wie sieht dann $f(x)$ aus und wie der GW für [mm] $x\to -1\downarrow$ [/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 So 13.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
-1>x>1 ?
gleichbedeutend mit x+1<0 & x-1<0
zusammengefasst heisst das ich muss für den term |x+1| prüfen ob
1. x+1 > 0, x+1 < 0
2. x-1 > 0, x-1 <0
linksseitig: x+1<0 & x-1<0
rechtsseitig: x+1 > 0 & x-1 > 0
und bei dem term |x²-1|
1. x²-1 < 0, x²-1 >0
2. x²+1 <0, x² +1 >0
linksseitig: x²-1 < 0 & x²+1 <0
rechtsseitig: x²-1 >0 & x² +1 >0
ist das so richtig?
Ach wenn ich schon bei Betrag bin: diese Funktion hier [mm] \wurzel{x² + 4x +4} [/mm] - x - 2 muss auch überprüft werden. In der Lösung wird aus der Wurzel das gemacht |x+2| . Ich verstehen zwar wie sie auf x+2 kommen, aber nicht wieso sie des zu nem betrag machen können. mein ansatz wäre der hier
[mm] \wurzel{x² + 4x +4} [/mm] - x - 2
= [mm] \wurzel{(x+2)²} [/mm] - x - 2
= x+2 - x-2
= 0
deshalb würde ich die wurzel so stehen lassen und es einfach so versuchen den links und rechtseitigen grenzwerz zu überprüfen. Aber da bekomme ich leider nicht die richtigen ergebnisse raus sondern genau falsch herum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo zizu!
> Ach wenn ich schon bei Betrag bin: diese Funktion hier
> [mm]\wurzel{x² + 4x +4}[/mm] - x - 2 muss auch überprüft werden.
Eröffne hierzu bitte einen eigenständigen Thread, damit wir hier nicht im Chaos versinken.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zizu4u!
> -1>x>1 ?
Was soll das sein? Das ist Unsinn!
> gleichbedeutend mit x+1<0 & x-1<0
>
> zusammengefasst heisst das ich muss für den term |x+1|
> prüfen ob
>
> 1. x+1 > 0, x+1 < 0
> 2. x-1 > 0, x-1 <0
>
> linksseitig: x+1<0 & x-1<0
> rechtsseitig: x+1 > 0 & x-1 > 0
>
> und bei dem term |x²-1|
>
> 1. x²-1 < 0, x²-1 >0
> 2. x²+1 <0, x² +1 >0
>
> linksseitig: x²-1 < 0 & x²+1 <0
> rechtsseitig: x²-1 >0 & x² +1 >0
>
> ist das so richtig?
Auf jeden Fall chaotisch! Warum befolgst Du nicht obigen Tipp und setzt einfach in den Funktionsterm ein?
Für $-1 \ < \ x \ < \ +1$ gilt:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{|x+1|+x+1}{\left|x^2-1\right|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{|x+1|+x+1}{|x+1|*|x-1|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x+1+x+1}{(x+1)*(1-x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*(x+1)}{(x+1)*(1-x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{1-x} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
Ich glaube ich habe das mit dem von links und rechts annähern zwar vom prinzip verstanden aber nicht genau wie sich das in der funktion auswirtk also ich rechne mal damit weiter:
[mm] \limes_{x\rightarrow-1 -} \bruch{2}{1-x}
[/mm]
x = -1 [mm] -\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =>\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{1+1+\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{2} [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow-1 +} \bruch{2}{1-x}
[/mm]
x = -1 [mm] +\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =>\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2}{1+1-\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{2} [/mm] = 1
bzw ich weiss jetzt nicht genau wo da der unterschied ist ob von links oder von rechts beim ergebnis. denn beide male wird [mm] \bruch{1}{n} [/mm] zu null und ob das + oder - ist macht ja jetzt kein unterschied weil 0 ist ja null oder????
Laut ergebnis kommt das 0 raus ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zizu4u!
Meine o.g. Umformung gilt nur für den rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ -1$ .
Für den linksseitigen Grenzwert gelten andere Wert für die Betragsterme und damit auch für den Gesamtterm!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
hmm ok geb mir bitte mal einen tipp wie ich die funktion für den linksseitigen raus bekomme?
Sry das ich so dumm frage ich komm mir richtig blöde dabei vor andauernd zu fragen...aber ich hab bei dem thema sowas von keine ahnung und ich habe schon soviele stunden damit verbracht mir in büchern das thema anzuschauen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zizu4u!
Du musst Dich zwingend mit der Betragsfunktion vertraut machen!
Für $x \ < \ -1$ (also für den rechtsseitigen Grenzwert bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ -1$ ) gilt:
$$x-1 \ < \ 0 \ \ \ \ [mm] \text{sowie} [/mm] \ \ \ \ x+1 \ < \ 0$$
Damit gilt auch automatisch:
$$|x-1| \ = \ -(x-1) \ \ \ \ [mm] \text{sowie} [/mm] \ \ \ \ |x+1| \ = \ -(x+1)$$
Setze dies nun in die Funktionsvorschrift ein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
stimmt dass dann?
linksseitig: -1 > x
x - 1 > 0 & x + 1 > 0
=> | x-1 | = (x-1)
|x+1| = (x+1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zizu4u!
Nein, das ist absolut nicht richtig. Immerhin habe ich Dir in meiner letzten Antwort genau das Gegenteil aufgeschrieben.
Es macht wenig Spaß (und damit auch wenig Sinn zum Weitermachen für mich), wenn gegebene Antworten offensichtlich gar nicht oder nur schlampig gelesen werden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
ich les es richtig aber ich verstehe es einfach nicht, schade das du aufgegeben hast, finde ich sehr enttäuschend...
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Hallo nochmal,
> ich les es richtig aber ich verstehe es einfach nicht,
> schade das du aufgegeben hast, finde ich sehr
> enttäuschend...
Frechheit!!
Enttäuschend ist es von dir.
Du hast hier zu der Aufgabe schon viel zu viel vorgekaut bekommen.
Lies dir mit Verstand mal deinen post etwas höher durch.
Der hat ja noch richtig angefangen:
Für den linksseitigen Limes [mm] $x\to -1\uparrow$ [/mm] betrachtest du $x$ mit $x<-1$
oder wie du oben geschrieben hast: $-1>x$
Daraus folgest du (u.a.) $x-1>0$
Wie das?
Wenn du hier $-1>x$ auf beiden Seiten 1 addierst, bekommst du $0>x+1$, also $x+1<0$
Du hattest einfach mal hingeklatscht $x+1>0$
Wie du auf sowas kommst, weiß kein Mensch!
Und wenn du $-1$ auf beiden Seiten addierst, bekommst du $-2>x-1$
Dh. für dich also $x-1>0$??
Und [mm] $\pm [/mm] 1$ auf beiden Seiten zu addieren, sind doch nun wirklich keine Umformungen, die einen Doktorgrad in Mathe verlangen, oder?
Überlege also noch mal mit Nachdenken, wie im Falle $x<-1$ die Beträge $|x+1|$ und $|x-1|$ aussehen und wie mithin die Funktion für $x<-1$ definiert ist.
Dann ist doch die Grenzbetrachtung [mm] $x\to -1\uparrow$ [/mm] kein Problem, das kannst du mit links.
Also nicht so anstellen - machen !!
Und v.a. ausdauernde (und kostenlose) gut gemeinte Hilfe nicht so abbügeln.
Das kommt hier gar nicht gut an und führt ur dazu, dass dir demnächst kein Mensch mehr hilft.
Also nun bist du dran, was vernünftiges zu zeigen!
Gruß und gutes Gelingen
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
So also ich entschuldige mich ma für mein etwas doofes verhalten. also schaut mal her ich glaube ich habe es soweit:
wie gesagt die funktion:
[mm] \bruch{|x+1| + x + 1}{|x^2 -1|}
[/mm]
Um eine fallunterscheidung zu machen betratet man zähler und nenner einzeln!
Daraus folg für oben |x+1|
1. x + 1 ; x > -1
2. -x-x ; x<= -1
Für unten folgt daraus: [mm] |x^2 [/mm] - 1|
1. [mm] x^2-1 [/mm] ; x>= 1
2. [mm] -x^2+1 [/mm] ; x< 1
Daraus ergeben sich folgenden drei fälle die man unterscheiden muss für
x > 1 gilt [mm] \bruch{2}{(x-1)}
[/mm]
-1 < x < 1 gilt 0
x < -1 gilt [mm] \bruch{2}{(-x+1)}
[/mm]
Stimmt das so weit?
Da fällt mir grad auf wenn ich jetzt die funktion gegen -1 oder 1 laufen lasse welche funktion gilt dann? Bin mir nicht sicher für -1 [mm] \bruch{2}{(-x+1)} [/mm] und für 1 [mm] \bruch{2}{(x-1)}? [/mm] glaube ich liege da falsch!
Soweit habe ichs verstanden bekomme auch für die unendlichkeitswerte richtige ergebnisse raus nur bei 1 und -1 häng ich noch! denke aber mit meiner vermutung liege ich falsch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Di 15.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
keiner mehr da? :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Di 15.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
ich denke ne antwort bekomme ich nicht mehr :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Di 15.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
Und für diesen Kommentar eröffnest Du eine neue Frage???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Di 15.12.2009 | | Autor: | Zizu4u |
äeh ist das nich normales antworten? sry kenne mich hier überhaupt noch nicht aus! sry wenn ich schon wieder was falsch gemacht habe. war diese mitteilung jetzt das richtige?
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Hallo,
daß Du bei dieser vergleichsweise einfachen Aufgabe so lange keine Antwort erhältst, liegt u.a. an dem etwas chaotischen Aufschrieb, welcher es schwer macht, nachzuvollziehen, was Du eigentlich tust.
> wie gesagt die funktion:
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f(x)=
> [mm]\bruch{|x+1| + x + 1}{|x^2 -1|}[/mm]
>
> Um eine fallunterscheidung zu machen betratet man zähler
> und nenner einzeln!
Man schaut sich die vorkommenden Beträge an.
>
> Daraus folg für oben |x+1|=
> 1. x + 1 ; für x > -1
> 2. -x-x ; x<= -1
Hier soll's wohl eher ...=-x-1 für [mm] x\le [/mm] -1 heißen.
>
> Für unten folgt daraus: [mm]|x^2[/mm] - 1|
Hier mußt Du gründlicher arbeiten:
Es ist [mm] |x^2-1|=x^2-1 [/mm] für [mm] x°2-1\ge [/mm] 1, also für ???
und [mm] |x^2-1|=-x^2+1 [/mm] für [mm] x^2-1<0, [/mm] also für ???
> 1. [mm]x^2-1[/mm] ; x>= 1
> 2. [mm]-x^2+1[/mm] ; x< 1
>
> Daraus ergeben sich folgenden drei fälle die man
> unterscheiden muss für
>
> x > 1 gilt [mm]\bruch{2}{(x-1)}[/mm]
Schreib's doch vernünftig auf, so, daß man einfach lesen kann und nicht hellsehen muß.
[mm] f(x)=\bruch{x+1+x+1}{x^2-1}=\bruch{2}{x-1}
[/mm]
> -1 < x < 1 gilt 0
???
f(x)= [mm] \bruch{x+1+x+1}{-x^2+1}= [/mm] ???
> x < -1 gilt [mm]\bruch{2}{(-x+1)}[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{-x-1 + ...}{...}=???
[/mm]
>
> Stimmt das so weit?
>
> Da fällt mir grad auf wenn ich jetzt die funktion gegen -1
> oder 1 laufen lasse welche funktion gilt dann?
An diesen gefährlichen Stellen mußt Du Dir jeweils den Grenzwert von links und von rechts anschauen.
Am besten schreibst Du zuvor die Funktion richtig schön übersichtlich auf:
[mm] f(x):=\begin{cases} ..., & \mbox{für } ... \\..., & \mbox{für } ... \\ ..., & \mbox{für } ...\end{cases}
[/mm]
Gruß v. Angela
Bin mir
> nicht sicher für -1 [mm]\bruch{2}{(-x+1)}[/mm] und für 1
> [mm]\bruch{2}{(x-1)}?[/mm] glaube ich liege da falsch!
>
> Soweit habe ichs verstanden bekomme auch für die
> unendlichkeitswerte richtige ergebnisse raus nur bei 1 und
> -1 häng ich noch! denke aber mit meiner vermutung liege
> ich falsch...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zizu4u!
> ich les es richtig aber ich verstehe es einfach nicht,
Das ist natürlich keine Schande. Aber die Rückfragen deuten mehr als darauf hin, dass sich mit den gegebenen Antworten gar nicht (oder nur sehr oberflächlich) beschäftigt wurde.
> schade das du aufgegeben hast, finde ich sehr enttäuschend...
Siehe dazu schachuzipus' Anmerkungen ...
Gruß
Loddar
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