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| Aufgabe | Lösen Sie numerisch und graphisch:
y=|x-1|+|x+1| |
Guten Morgen zusammen!
Habe hier diese Aufgabe und weiß allgemien nicht wie ich denn Betragsgleichungen angehen soll.
Womit fang ich hier an?
Ich weiß das das was im Betrag steht, immer positiv ist. Also kommen ja immer +Zahlen raus oder?
Dann weiß ich, dass ich hier 3 Lösungen rausbekomm, aber warum?
Vielen Dank schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Do 28.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bundesstrasse!
Grundsätzlich geht man bei derartigen Betragsaufgaben mit Fallunterscheidungen vor, um die Beträge zu eliminieren.
Damit wird nämlich gemäß der Definition der Betragsfunktion:
Fall 1.1: $x+1<0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x<-1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|x+1|=-(x+1)=-x-1$
Fall 1.2: [mm] $x+1\ge0$ $\gdw$ $x\ge-1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|x+1|=+(x+1)=x+1$
Fall 2.1: $x-1<0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x<+1$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|x-1|=-(x-1)=-x+1$
Fall 2.2: [mm] $x-1\ge0$ $\gdw$ $x\ge+1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|x-1|=+(x-1)=x-1$
Dies kann man nun zusammenfassen zu insgesamt 3 Fälle:
$(i)_$ $x \ < \ -1$
$(ii)_$ $-1 \ [mm] \le [/mm] x \ < \ +1$
$(iii)_$ $+1 \ [mm] \le [/mm] x$
Damit ergibt sich für die gegebene Funktion also:
[mm] y=|x-1|+|x+1|=\begin{cases} (-x+1)+(-x-1) \ = \ -2x, & \mbox{für } x \ < \ -1 \mbox{ } \\ (+x-1)+(-x-1) \ = \ 2, & \mbox{für } -1 \ \le \ x \ < \ +1 \mbox{ } \\ (+x-1)+(+x+1) \ = \ +2x, & \mbox{für } +1 \ \le \ x \end{cases}
[/mm]
Graphisch sieht das dann wie folgt aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Allerdings ist mir hier Deine Aufgabenstellung unklar. Was genau sollst Du denn mit dieser Funktion machen?
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Supergeil!
Danke, auch für die Zeichnung. Hab das jetzt glaub verstanden. Das ist dann genauso wie ne Gleichung auflösen, nur das es eigentlich ne Ungleichung ist oder? Hier hab ich halt kien = sondern ein < oder >. Aber warum gibts hier kein =? Ich mein, warum macht man 2 Fälle und nicht 3? Muss ich das = dann immer beim > mitmachen? Ist das immer so? Oder kann es auch mal beim < Zeichen dabei sein?
Was ich jetzt noch nciht verstanden habe ist, warum ist hier:
Fall 1.2: $ [mm] x+1\ge0 [/mm] $ $ [mm] \gdw [/mm] $ $ [mm] x\ge-1 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ |x+1|=+(x+1)=x+1
Dann bei der 2. Zeile ein + vor der Klammer obwohl doch oben $ [mm] x\ge-1 [/mm] $ rauskommt?
den Rest und die Zeichnung kappier ich dann wieder.
Alles sehr anschaulich, vielen Dank dafür.
Dann hab ich noch ein letzte Frage:
Wenn ich jetzt noch ein Quadrat mit drin habe. So z.B:
[mm] y^{2}=|x^{2}-1|
[/mm]
Wie mach ich es dann? Da hab ich dann sicherlich nur 2 Fallunterscheidungen oder? einmal < und einmal >=
wäre dann der erste Fall: [mm] x^{2}<1 [/mm] und dann die Wurzel daraus? Also x<1 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Do 28.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Daniel
Die Betragsfunktion ist ja wie folgt definiert:
[mm] |x|=\begin{cases} x & \mbox{für} x\ge 0 \\ -x, & \mbox{für} x<0 \end{cases}
[/mm]
Also gibt es bei y²=|x²-1| zwei Fälle
[mm] x²-1\ge0
[/mm]
[mm] \gdw x\ge1 [/mm] oder [mm] x\le-1
[/mm]
Dann steht dort:
[mm] y²=|\underbrace{x²-1}_{\ge0}|
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y²=x²-1
[mm] \gdw...
[/mm]
2.Fall:
x²-1<0 [mm] \gdw x\in(-1;1)
[/mm]
Dann steht dort
[mm] y²=|\underbrace{x²-1}_{<0}|
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y=-(x²-1)
[mm] \gdw [/mm] y²=-x²+1
[mm] \gdw...
[/mm]
In ersten Fall
y=|x-1|+|x+1|
genügt es, drei Fälle zu betrachten:
1: [mm] x-1\ge0, [/mm] damit ist auch [mm] x+1\ge0
[/mm]
2: x+1<0, damit ist ja auch x-1<0
3: [mm] x+1\ge0 [/mm] und x-1<0.
Jetzt klarer?
Marius
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