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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Miala |
| Aufgabe | Betrachten sie die Norm [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallell [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i}| [/mm] für x [mm] \in \IR^{n}.
[/mm]
1. Überprüfen die die Gültigkeit der vier Norm-Axiome für diese Norm.
2. Beschreiben Sie die Menge {x [mm] \in \IR^{n}: \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] =1}, d.h. die Einheitskuel in [mm] \IR^{n} [/mm] bezüglich der Norm und veranschaulichen Sie diese anhand einer Skizze für n = 3. |
Hallo an alle!
Mit dem 1. Teil der Aufgabe bin ich ganz wunderbar zurecht gekommen, doch leider leuchtet mir der 2. Teil nicht ein. Kann mir jemand erklären warum diese Menge im [mm] \IR^{n} [/mm] eine Kugel und im [mm] \IR^{3} [/mm] etwas anderes sein soll? Und welche geometrische Form hat sie dann im 3dimensionalen?
Ich wäre wirklich froh, wenn mir jemand helfen kann!
Schöne Grüße,
maial
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 11.02.2008 | | Autor: | grrmpf |
Der Begriff Kugel ist hier nicht im geometrischen Sinne gemeint. Für die euklidische Norm ist die hier gemeinte "Kugel" tatsächlich eine Kugel.
[mm] K_{d}(v_{0})={v\in \IR^{n}|\parallelv-v_{0}\parallel \le d}
[/mm]
Daraus geht hervor, dass die Gestalt der Kugel normabhängig ist.
Am besten gehst du an die Aufgabe heran, indem du dir das ganze von n=1 bis n=3 erarbeitest. Für n=1 besteht die Einheitskugel (es heißt auch im Eindimensionalen Kugel) aus den zwei Punkten -1; 1. Im Zweidimensionalen besteht die Einheitskugel aus einem Rhombus (mit den Ecken auf den Koordinatenachsen in den Punkten (0;1),(1;0),(-1;0),(0;-1). Im 3-D ist es wahrscheinlich ein Oktaeder. Das solltest du aber nochmal rechnerisch nachprüfen. Es reicht bei den Betragsgleichungen auch, wenn du einen Fall betrachtest, die restlichen Fälle sind durch die Symmetrie der Norm gegeben.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:38 Mo 11.02.2008 | | Autor: | grrmpf |
Tipp- und Formfehler, es sollte eigentlich heißen:
[mm] K_{d}(v_{0})=\{v\in\IR | \parallel v-v_{0}\parallel \le d \}
[/mm]
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