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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 So 09.05.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle [mm] Z\in\IC, [/mm] für die gilt:
(a) [mm] |\bruch{z-1}{z+1}|\le1
[/mm]
(b) [mm] |\bruch{z-i}{z+i}|\le1
[/mm]
(c) [mm] (2+3i)z\in\IR [/mm] |
Hi,
ich weiß nicht wie ich das machen soll.
Bisher habe ich mir überlegt (zu (a)), dass [mm] \bruch{z-1}{z+1}\le0 [/mm] ist, wenn z=0 und [mm] \bruch{z-1}{z+1}\ge0 [/mm] ist, wenn z<0 /-1 oder z>0 ist.
Zudem denke ich dass die Lösungsmenge L={z [mm] \in \IC [/mm] | [mm] z\ge0} [/mm] ist.
Aber als was für eine Zahl soll ich denn das z sehen? Besteht ja eigentlich aus imaginären und reelen teil, also wann sieht man z als positiv und wann als negativ?
Schöne Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 So 09.05.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle [mm]Z\in\IC,[/mm] für die gilt:
>
> (a) [mm]|\bruch{z-1}{z+1}|\le1[/mm]
Hallo,
das bedeutet, dass der Betrag von z-1 kleiner oder gleich dem Betrag von z+1 ist.
Das bedeutet, dass der Abstand von z zu 1 kleiner oder gleich dem Abstand von z zu -1 ist.
Damit ist (in der Gaußschen Zahlenebene) die Mittelsenkrechte zwischen den Punkten, die den Zahlen 1 und -1 entsprechen, die Trennlinie zwischen dem gesuchten Gebiuet und dem Rest.
>
> (b) [mm]|\bruch{z-i}{z+i}|\le1[/mm]
>
> (c) [mm](2+3i)z\in\IR[/mm]
Kleiner Tipp: konjugiert komplexe Zahl (und Vielfache)
Gruß Abakus
> Hi,
> ich weiß nicht wie ich das machen soll.
> Bisher habe ich mir überlegt (zu (a)), dass
> [mm]\bruch{z-1}{z+1}\le0[/mm] ist, wenn z=0 und [mm]\bruch{z-1}{z+1}\ge0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ist, wenn z<0 /-1 oder z>0 ist.
> Zudem denke ich dass die Lösungsmenge L={z [mm]\in \IC[/mm] |
> [mm]z\ge0}[/mm] ist.
>
> Aber als was für eine Zahl soll ich denn das z sehen?
> Besteht ja eigentlich aus imaginären und reelen teil, also
> wann sieht man z als positiv und wann als negativ?
> Schöne Grüße!
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hallo!
Du hast bereits erkannt, daß es wenig sinnvoll ist, im Komplexen von "positiv" und "negativ" zu reden.
Vielmehr könntest du z.B. z=a+ib einsetzen, und diesen Betrag explizit berechnen. Die Forderung, daß dieser Ausdruck zunächst =1 sein soll, liefert dir einen zusammenhang zwischen a und b, oder auch einzelne Bedingungen an beide Variablen. Das ist gesucht.
Alternativ kann auch die polar Schreibweise von Vorteil sein.
Beispiel:
$|z|<1$ gilt sicherlich für den Einheitskreis (ohne Rand) in der Gaußschen Zahlenebene.
Einsetzen:
$|a+ib|<1$
Betrag ausrechnen:
[mm] $\sqrt{a^2+b^2}<1$ [/mm]
Sieht also tatsächlich aus, wie ne Kreisgleichung für nen Kreis mit r=1.
Noch billiger in der Polarform:
Einsetzen:
[mm] $|R*e^{i\phi}|<1$
[/mm]
Beim betrag fällt der komplexe Teil der e-Funktion (also die ganze e-Funktion) weg:
$R<1$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mo 10.05.2010 | | Autor: | stffn |
Wenn [mm] |z|=|a+bi|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}=1 [/mm] sein soll und ich spezielle werte nehme, bei denen das zutrifft, komme ich auf a=0,707......... und b ebenso.
Oder wie war das gemeint? Es kann natürlich auch sein dass a=1 und b=0 ist oder a=0 und b=1.
Aber ich verstehe nicht, was mir das für die Aufgabe bringt.
Muss ich folgende Ungleichung aufstellen?
[mm] |z-1|\le|z+1|\gdw|a+bi-1|\le|a+bi+1|
[/mm]
Und dann damit weiterrechnen?
Ich bitte um weitere Hilfe, kann leider nicht so viel mit den bisherigen Antworten anfangen. Liegt zwar wahrscheinlich eher an mir als an den Antworten, aber habe echt versucht mit den Tips weiter zu rechnen, bin aber immer irgendwo hängen geblieben weil es mir nicht so logisch vorkam oder ich nicht weiter wusste.
DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mo 10.05.2010 | | Autor: | chrisno |
Ich glaube, Du solltest mal mit Aufgabe c anfangen.
- ersetze z = x + iy
- multipliziere aus und sortiere, so dass alles ohne i und alles mit dem Faktor i zusammengefasst wird
- wann ist das Ergebnis aus [mm] $\IR$?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Olga1234 |
wenn man für z = a + ib einsetzt, kommt man bevor man davon den betrag bildet auf einen. recht unübersichtlichen wert:
[mm] \bruch{(a^{2}-1) + b ^{2}}{(a+1)^{2} + b^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{2b}{(a+1)^{2} + b^2} [/mm] i
Wenn ich also
|z| = [mm] \wurzel[2]{(\bruch{(a^{2}-1) + b ^{2}}{(a+1)^{2} + b^{2}})^{2} + (\bruch{2b}{(a+1)^{2} + b^2})^{2}}
[/mm]
bilde,
wie kann ich es weiter vereinfachen?
stimmt das überhaupt bis dahin?
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Hallo Olga,
> wenn man für z = a + ib einsetzt, kommt man bevor man
> davon den betrag bildet auf einen. recht unübersichtlichen
> wert:
>
> [mm]\bruch{(a^{2}-1) + b ^{2}}{(a+1)^{2} + b^{2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2b}{(a+1)^{2} + b^2}[/mm] i
Wie kommst du darauf?
Wenn du $z=a+bi$ einsetzt, so ist $z-1=(a-1)+bi$ und $z+1=(a+1)+bi$
Mithin [mm] $\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=\frac{|z-1|}{|z+1|}=\frac{\sqrt{(a-1)^2+b^2}}{\sqrt{(a+1)^2+b^2}}$
[/mm]
Also [mm] $\left|\frac{z-1}{z+1}\right|\le 1\gdw \sqrt{(a-1)^2+b^2}\le\sqrt{(a+1)^2+b^2}$
[/mm]
Quadrieren [mm] $\Rightarrow (a-1)^2+b^2\le (a+1)^2+b^2$
[/mm]
Also [mm] $0\le 4a\ldots$
[/mm]
>
> Wenn ich also
>
> |z| = [mm]\wurzel[2]{(\bruch{(a^{2}-1) + b ^{2}}{(a+1)^{2} + b^{2}})^{2} + (\bruch{2b}{(a+1)^{2} + b^2})^{2}}[/mm]
>
> bilde,
> wie kann ich es weiter vereinfachen?
>
> stimmt das überhaupt bis dahin?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mo 10.05.2010 | | Autor: | stffn |
Heißt das, dass die Ungleichung erfüllt ist, wenn die eine Bedingunge [mm] a\ge0 [/mm] erfüllt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo stffn!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mo 10.05.2010 | | Autor: | stffn |
Sehr schön! Also is es, geometrisch gesehen, die Fläche eines Halbkreises mit dem Radius 1 auf positiver a (RE) seite?
Ich habe mich schonmal an (b) gemacht, vielleicht kann mir ja noch jemand sagen ob das richtig ist.
[mm] \bruch{|z-i|}{|z+i|}\le1 \gdw |z-i|\le|z+i| \gdw |(a+bi)-i|\le|(a+bi)+i| \gdw \wurzel{a^{2}+(bi)^{2}+1}\le\wurzel{a^{2}+(bi)^{2}-1}
[/mm]
Quadrieren [mm] \Rightarrow a^{2}+(bi)^{2}+1 \le a^{2}+(bi)^{2}-1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] -1
Da dies eine falsche Aussage ist, gibt es kein [mm] z\in\IC [/mm] für welches die Bedingung gilt.
Richtig? :)
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Hallo stffn,
> Sehr schön! Also is es, geometrisch gesehen, die Fläche
> eines Halbkreises mit dem Radius 1 auf positiver a (RE)
> seite?
???
Nein, es ist als Menge [mm] $\{(x,y)\in\IR^2\mid x\ge 0\}$ [/mm] (und y beliebig)
Was ist das denn geometrisch?
Doch wohl eine Halbebene ...
Welche? Beschreibe sie mal verbal
>
> Ich habe mich schonmal an (b) gemacht, vielleicht kann mir
> ja noch jemand sagen ob das richtig ist.
>
> [mm]\bruch{|z-i|}{|z+i|}\le1 \gdw |z-i|\le|z+i| \gdw |(a+bi)-i|\le|(a+bi)+i| [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") [mm]\gdw \wurzel{a^{2}+(bi)^{2}+1}\le\wurzel{a^{2}+(bi)^{2}-1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist mit $z=a+bi$ doch $z-i=a+bi-i=a+i(b-1)$ und $z+i=a+i(b+1)$
Also [mm] $|z+i|=\sqrt{a^2+(b+1)^2}$ [/mm] und analog [mm] $|z-i|=\sqrt{a^2+(b-1)^2}$
[/mm]
Schaue dir die Definition des komplexen Betrages nochmal an ..
Da tauchen keine imaginären Zahlen auf, nur die Quadrate des Real- und Imaginärteils ...
>
> Quadrieren [mm]\Rightarrow a^{2}+(bi)^{2}+1 \le a^{2}+(bi)^{2}-1[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 1 [mm]\le[/mm] -1
Nee, nee, das ist doch strukturell gleich wie in (a), die Gleichheit gilt für die Mittelsenkrechte zwischen $i$ und $-i$, die Ungleichung ist entsprechend wieder eine Halbebene ...
>
> Da dies eine falsche Aussage ist, gibt es kein [mm]z\in\IC[/mm] für
> welches die Bedingung gilt.
>
> Richtig? :)
Nein, es gibt ne ganze Menge komplexer Zahlen, die das erfüllen.
Wie wär's mit $z=i$?
Dann ist [mm] $\frac{|z-i|}{|z+i|}=\frac{|0|}{|2i}=0$ [/mm] und das ist doch [mm] $\le [/mm] 1$ ...
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Di 11.05.2010 | | Autor: | stffn |
Ach, da hatte ich was falsch verstanden.
Ist natürlich nicht ein Halbkreis, sondern sollte die Fläche im positiven a-Bereicht sein., also rechts von der b-(Imaginären) Seite.
Zur Aufgabe (b):
[mm] |\bruch{z-i}{z+i}|\le1 \gdw [/mm] ... [mm] \gdw \wurzel{a^{2}+(b-1)^{2}} \le \wurzel{a^{2}+(b+1)^{2}}
[/mm]
Quadrieren [mm] \Rightarrow a^{2}+(b-1)^{2} \le a^{2}+(b+1)^{2} \gdw [/mm] ... [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] b
Wenn das so richtig ist, sollte es die Halbebene über der a-(reellen)Achse sein, also im positiven b-Bereich, einschließlich b=0.
Ich hpffe jetzt hab ichs- Danke aufjedenfall für die Geduld!
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Hallo nochmal,
> Ach, da hatte ich was falsch verstanden.
> Ist natürlich nicht ein Halbkreis, sondern sollte die
> Fläche im positiven a-Bereicht sein., also rechts von der
> b-(Imaginären) Seite.
Sprich die rechte Halbebene einschl. b-Achse (y-Achse oder imag. Achse)
>
> Zur Aufgabe (b):
>
> [mm]|\bruch{z-i}{z+i}|\le1 \gdw[/mm] ... [mm]\gdw \wurzel{a^{2}+(b-1)^{2}} \le \wurzel{a^{2}+(b+1)^{2}}[/mm]
>
> Quadrieren [mm]\Rightarrow a^{2}+(b-1)^{2} \le a^{2}+(b+1)^{2} \gdw[/mm]
> ... [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le[/mm] b
>
> Wenn das so richtig ist, sollte es die Halbebene über der
> a-(reellen)Achse sein, also im positiven b-Bereich,
> einschließlich b=0.
Sogar einschließlich der gesamten a-Achse, also die obere Halbebene inklusive a-Achse (oder x-Achse, reeller Achse)
>
> Ich hpffe jetzt hab ichs- Danke aufjedenfall für die
> Geduld!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mo 10.05.2010 | | Autor: | stffn |
Ok, hab ich gemacht:
(2a+3i)(a+bi) = [mm] 2a+i(2b+3a)+3bi^{2} [/mm] = 2a-3b+(2b+3a)i
Jetzt habe ich mir gedacht, damit das nur [mm] \in\IR [/mm] ist, muss (2b+3a)=0 sein.
Dies aufgelöst ergibt die Abhängigkeit [mm] b=\bruch{-3}{2}a
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo stffn!
Richtig!
Gruß
Loddar
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Jap!
Und das kannst du als Gradengleichung interpretieren. Wenn du in der gaußschen Zahlenebene diese Grade einzeichnest ("a ist x und b ist y"), teilst du die Ebene in einen Zahlenbereich, in dem die Ungleichung zutrifft, und in einen, wo sie es nicht tut
Was meine Gleichung oben mit dem [mm] \sqrt{a^2+b^2}=1 [/mm] angeht, ja sicher, du kannst a angeben, und bekommst (sogar zwei Werte für) b raus. Aber nur für [mm] $-1\le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1$.
Die geometrische Figur dazu ist wie gesagt ein Kreis...
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