Bewegungen des Raums < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:00 Sa 29.11.2008 | | Autor: | mathestuden |
| Aufgabe 1 | Sei [mm]\xi\subset\IR^3[/mm] die durch nicht kollinearen Vektoren [mm] \vec v_1 [/mm], [mm] \vec v_2 [/mm] aufgespannte Ebene. Man darf dabei annehmen, dass [mm] \vec v_1 [/mm], [mm] \vec v_2 [/mm] orthonromal sind, das heißt es gilt:
[mm] \left\langle\vec v_1, \vec v_2 \right\rangle=\delta_i,_j , i,j\in\left\{ 1,2 \right\} [/mm]
wobei [mm] \delta_i,_j=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{falls }\mbox{ i=j} \\
0, & \mbox{sonst}
\end{matrix}\right. [/mm]
a) Man finde die Matrix [mm]S_\xi\in\GL_3\left( \IR \right)[/mm] so, dass für alle [mm]\vec w\in\IR^3 [/mm], der Vektor [mm]A\vec w[/mm] die Spiegelung des Vektors [mm]\vec w[/mm] an der Ebene [mm]\xi[/mm] ist. ( Man kann das Vektorprodukt verwenden um einen Normalenvektor an [mm]\xi[/mm] zu finden). Man berechne anschließend die Determinante [mm]det\left( S_\xi \right)[/mm].
b) Man finde eine Matrix [mm] R_\xi,_\alpha\in GL_3\left( \IR \right)[/mm] so, dass für alle [mm]\vec w\in\IR^3 [/mm] der Vektor [mm]A\vec w[/mm] die Drehung von [mm]\vec w[/mm] in der Ebene [mm]\xi[/mm] um einen festen Winkel [mm]\alpha[/mm] ist und berechne deren Determinante.
c) Man zeige dass folgende Identität für das Skalarprodukt gilt:
[mm]\left\langle \vec v, \vec w \right\rangle=\bruch{1}{4}\left( \left\langle \vec v+\vec w,\vec v+\vec w \right\rangle-\left\langle\vec v-\vec w,\vec v-\vec w\right\rangle \right)[/mm]. Hierbei können die Vektoren [mm] \vec v, \vec w[/mm] in [mm]IR^2[/mm] oder [mm]IR^3[/mm] sein .
d) Sei [mm]V=IR^k[/mm] mit [mm]k\in\left\{ 2,3 \right\}[/mm]. Die Matrix [mm]A\in M \left( V \right)[/mm] erfülle [mm] \left\langle A\vec v, A\vec v \right\rangle=\left\langle \vec v, \vec v \right\rangle[/mm]. Für alle [mm]v\in V[/mm] Man schließe aus c), dass für alle [mm] \vec v, \vec w\inIV[/mm] folgende Beziehung gilt:
[mm]\left\langle A\vec v, A\vec w \right\rangle=\left\langle \vec v, \vec w \right\rangle[/mm].
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| Aufgabe 2 | Fortsetzung Bewegungen im Raum.
4)
a)
Sei [mm]A\in GL_3\left( IR \right)[/mm] eine der Matrizen [mm]S_\xi[/mm] oder [mm]R_\xi_\alpha[/mm] aus der Aufgabe 3. Zeigen Sie dass für beliebige [mm]\vec v, \vec w\in\IR^3 \[/mm]
[mm]\left\langle A\vec v, A\vec w \right\rangle=\left\langle A*\vec v, A*\vec w \right\rangle[/mm].
gilt.
b) Man schließe aus a), dass alle Eigenwerte der Matrizen [mm]S_\xi[/mm] oder [mm]R_\xi_\alpha[/mm] die Beziehung [mm]\left| \lambda \right|=1[/mm] erfüllen.
Hinweis: Man macht den direkten Ansatz [mm]A\vec v=\lambda\vec v[/mm] und setzt ihn in a) ein.
c) Seien [mm]A,B\in GL_3\left( \IR \right)[/mm] zwei der Matrizen [mm]S_\xi[/mm] oder [mm]R_\xi_\alpha[/mm], aus der Aufgabe 3, wobei die Ebene [mm]\xi[/mm] nicht notwendigerwiese die gleiche ist für beide Matrizen. Man zeige das [mm]\vec n\in\IR^3[/mm] und eine dazu senkrechte Ebene [mm]\xi'[/mm] existieren, so dass [mm]A*B*\vec n=\pm\vec n[/mm] und [mm]A*B*\vec v\in\xi'[/mm] für alle [mm]\vec v\in\xi'[/mm].
Hinweis: Man verwendet die Ergebnisse der vorhergehenden Punkte für die Zusammensetzungen der Matrizen.
d) Schließen Sie aus c), dass die Menge [mm] B=\left\{ R_\xi_\alpha*S_\xi^k:\xi\subset\IR^3,\alpha\in\left[ \pi,-\pi \right), k\in\left\{ 0,1 \right\} \right\} [/mm] aller Produkte von Spiegelungen in [mm]\IR^3[/mm], in Bezug auf unterschiedliche Ebenen [mm]\xi[/mm], eine Gruppe bilden. Welche Determinanten haben die Matrizen B [mm]\in B[/mm] ?
e) Sei [mm]A= \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]. Man zeige, dass [mm]A\not\in B[/mm] aber [mm] det\left( A \right)=1 [/mm]
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Hallo,
ich verstehe diese Aufgaben grundsätzlich nicht. Was bedeutet zum Beispiel orthonormal und kollinear?. Für eure Anregungen und Lösungen zu jedem Aufgabenteil wäre ich dankbar.
Liebe Grüße
Mathestudent
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> ich verstehe diese Aufgaben grundsätzlich nicht. Was
> bedeutet zum Beispiel orthonormal und kollinear?. Für eure
> Anregungen und Lösungen zu jedem Aufgabenteil wäre ich
> dankbar.
Hallo,
"grundsätzlich nicht" klingt nach einer großen Baustelle.
Vektoren sind kollinear, wenn sie parallel sind.
Orthonormal bedeutet: orthogonal und normalisiert.
Wenn es wirklich so ist, daß Du solch grundlegende Begriffe wie orthonormal und kollinear nicht kennst, ist es bis zur Lösung dieser Aufgaben m.E. ein weiter Weg, und es ist Dir mit irgendwelchen Tips zur Aufgabe überhaupt nicht geholfen, solange Dir die Basics fehlen.
Ich fürchte, Du wirst etliches nacharbeiten müssen.
Dabei kann Dir das Forum helfen, aber ein Buch schreiben möchte hier sicher niemand. Es gibt ja auch schon viele Bücher.
Wenn Du konkrete Fragen hast, helfen wir gern, aber ein Rundumschlag auf blauen Dunst ist ein bißchen heftig.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
nach deiner Erklärung heißt das ja, dass [mm]\vec v_1[/mm] und [mm]\vec v_2[/mm] dann linear abhängig sind. Wie können dann diese Vektoren etwas aufspannen?
Was bedeutet laut deiner Erläuterung zu Orthonormalität "normalisiert"?
Bitte erkläre mir das doch.
Vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße
Christoph
PS.: Ich verlange hier keinem ab Romane zu schreiben. Mein Ziel ist durch schrittweises Fragen mir die Aufgabe verständlich zu machen.
PPS.: Unser Dozent erklärt so chaotisch, dass solche Begriffe, wie lineare Unabhängigkeit, in einer Art und Weise in seinen Aufgabenstellungen drankommen, dass niemand den durchblick für das Erste hat.
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Hallo Christoph,
> Hallo Angela,
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> nach deiner Erklärung heißt das ja, dass [mm]\vec v_1[/mm] und [mm]\vec v_2[/mm]
> dann linear abhängig sind. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nach Aufgabenstellung sollst du doch annehmen, dass sie orthonormal sind, also insbesondere linear unabhängig!
> Wie können dann diese Vektoren
> etwas aufspannen?
>
> Was bedeutet laut deiner Erläuterung zu Orthonormalität
> "normalisiert"?
Angela meinte "normiert"
Ein Vektor heißt "normiert", wenn er die Länge 1 hat.
[mm] $\vec{v}_1,\vec{v}_2$ [/mm] sollen also senkrecht aufeinander stehen und beide die Länge 1 haben
>
> Bitte erkläre mir das doch.
Man kann jeden Vektor [mm] \neq\vec{0} [/mm] normieren, indem man ihn durch seine Länge teilt:
[mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\\vdots{}\\x_n}\Rightarrow \vec{x}_{\text{normiert}}=\frac{\vec{x}}{||\vec{x}||}$
[/mm]
Rechne das mal aus und berechne dann [mm] $||\vec{x}_{\text{normiert}}||$, [/mm] du wirst sehen, dass das 1 ergibt
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
>
> PS.: Ich verlange hier keinem ab Romane zu schreiben. Mein
> Ziel ist durch schrittweises Fragen mir die Aufgabe
> verständlich zu machen.
>
> PPS.: Unser Dozent erklärt so chaotisch, dass solche
> Begriffe, wie lineare Unabhängigkeit, in einer Art und
> Weise in seinen Aufgabenstellungen drankommen, dass niemand
> den durchblick für das Erste hat.
>
>
LG
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus,
danke für deine Erläuterung. Nun ist mir des klar. Ich habe noch eine Frage zur 3a): Wo und was wende ich dort das Kreuzprodukt an?
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Sa 29.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
das steht in der Aufgabe wozu!
das Kreuzprodukt von 2 Vektoren steht senkrecht auf beiden,
Gruss leduart
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Hallo leduart,
mittlerweile ist mir die Aufgabenstellung klarer. Ich habe auch schon 2x2 Spiegelmatrizen gefunden. Nur wie sieht eine 3x3 Spiegelmatrix aus? Mein Kommilitone meinte, dass man einen Basiswechsel machen müsse. Wie mache ich das?
Liebe Grüße
Mathestudent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 02.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> nach deiner Erklärung heißt das ja, dass [mm]\vec v_1[/mm] und [mm]\vec v_2[/mm]
> dann linear abhängig sind.
Halle,
nein es heißt das Gegenteil.
Ich habe gesagt, kollinear bedeutet, daß sie parallel sind, und in Deiner Aufgabe steht, daß [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] nicht kollinear sein sollen.
Gruß v. Angela
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