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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Di 02.11.2004 | | Autor: | SabineG |
Hi an alle,
hab hier einen echt schweren Zettel (für mich)...Bei drei Aufgaben hab ich ein ganz winzig kleines bisschen Hoffnung, dass ich was rauskrieg, aber bei der einen Aufgabe sehe ich echt schwarz. Hab so eine Aufgabe auch noch überhaupt nicht gesehn, weder in der Vorlesung, noch Übung oder Tutorium..also echt keine Ahnung.
Also:
Sei [mm] (A_{1}(\IR), \circ) [/mm] die in der Vorlesung definierte nichtablesche Gruppe, wobei G:= [mm] A_{1}(\IR):= \{f_{a,b}|a,b\in \IR \wedge a \not=0\} [/mm] und
[mm] f_{a,b}(x):=ax+b.
[/mm]
a) Man berechne [mm] (f_{3,4} \circ f_{5,6})(7) [/mm] und [mm] f^{^-1}_{3,4}(7)
[/mm]
b) Man bestimme alle Elemente der Menge
[mm] \{g\in G| \forall h \in G g \circ h=h \circ g\}
[/mm]
Wie gesagt, kein plan wie das funktionieren soll. Bin natürlich für jeden kleinen Tipp dankbar, aber ich befürchte, dass eine ausführliche Erklärung/Anleitung wohl das beste sein wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Di 02.11.2004 | | Autor: | torty |
Hallo Sabine,
Ich werde dir ersteinmal keine komplette Lösung der Aufgabe geben,
denn im Prinzip ist das nicht schwer, sondern für dich wahrscheinlich
nur ungewohnt formuliert.
Deshalb hier ein paar Erläuterungen zur Aufgabenstellung:
Bei der nichtabelschen Gruppe [mm] (A_{1}(\IR),\circ) [/mm] handelt es sich
einfach um eine Menge von Funktionen, die Bestimmte Axiome erfüllen.
Wie diese Funktionen aussehen erkennst du an der Definition
von [mm] G:=A_{1}.
[/mm]
Diese Definition sagt dir, das deine Gruppe alle linearen
Funktionen der Form [mm] f_{a,b}(x)=ax+b [/mm] mit a [mm] \not= [/mm] 0 und a,b [mm] \in \IR [/mm] beinhaltet.
z.B. sind das [mm] f_{7,2}(x)=7x+2, f_{12,5}(x)=12x+5 [/mm] ....
zu a)
[mm] (f_{3,4} \circ f_{5,6})(7) [/mm] bedeutet [mm] f_{3,4}(f_{5,6}(7)).
[/mm]
Du berechnest also erst den Wert [mm] f_{5,6}(7) [/mm] und setzt ihn dann
in [mm] f_{3,4}(x) [/mm] für x ein.
[mm] f^{-1}_{3,4}(x) [/mm] ist die Umkehrfunktion von [mm] f^{3,4}(x)
[/mm]
zu b)
Du sollst dir überlegen für welche linearen Funktionen g
gilt:
g [mm] \circ [/mm] h = h [mm] \circ [/mm] g (1)
wobei h eine beliebige Funktion
der Form h=ax+b [mm] a,b\in\IR [/mm] ist.
Am besten machst du für g einen allgemeinen Ansatz
z.B.: g=cx+d und überlegst wie du c und d
wählen mußt damit die Beziehung (1) erfüllt ist.
So, das hilft dir hoffentlich weiter, wenn nicht frag einfach noch mal
nach.
Viele Grüße
Torsten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Di 02.11.2004 | | Autor: | SabineG |
Also, erstmal danke soweit für deine Hilfe.
Nochmal ne andere Frage vorab:
Hab in meinen Aufzeichnungen von den Vorlesungen volgenes gefunden:
" Operation Verkettung von Funktionen:
(ax+b) [mm] \circ [/mm] (cx+d) = a(cx+d)+b (soweit verständlich) = acx+b+d
(steht unter dem Kapitel nichtabelsche Funktionen)
Kann es sein, dass ich da was falsch abgeschrieben hab? Müsste der letzte Term nicht heißen: =axc+ad+b ?
Wenn nein, warum nicht?
So, nun zu der Aufgabe:
habe erst den Wert [mm] f_{5,6}(7) [/mm] berechnet und ihn dann in [mm] f_{3,4}(x) [/mm] eingesetzt. Kommt bei mir 3*(41)+4 also = 131 raus. Ich nehme an, dass das so richtig ist. Wars das schon? Muss ich für den ersten Teil von teil a) nichts weiter machen?
Was ich nicht verstehe, ist den zweiten Teil. Das mit der Umkehrfunktion hab ich mir schon gedacht, aber was bedeutet das? könntest du mir ein Beispiel nennen? Wie sieht denn [mm] f^{4,6} [/mm] zum beispiel aus? Das müsst ich wahrscheinlich wissen, komm mir auch ein bisschen blöd vor das zu fragen, kann mir aber darunter im Moment nichts vorstellen.
So, dann der b)-teil.
Die Frage heißt doch: wann gilt g [mm] \circ [/mm] h = h [mm] \circ [/mm] g . Hab ich das richtig verstanden?
Hab dann das aus meinen Aufzeichnungen genommen(von oben)(bin davon ausgegangen, dass ich es falsch abgeschrieben hab):
(ax+b) [mm] \circ [/mm] (cx+d) = a(cx+d)+b = acx+ad+b
und dann andersherum:
(cx+d) [mm] \circ [/mm] (ax+b) = c(ax+b)+d = cax+cb+d
Das bedeutet aber(nach meinen Gedanken), dass a=c und b=d sein müsste, damit die Frage beantwortet ist. Hab dann mal zahlen eingesetzt und gemerkt, dass dann die Gleichungen identisch wären(ja, ich muss erst Zahlen einsetzen um das zu sehen  )
Kann das denn so richtig sein? Ist das die Lösung?
Wär toll, wenn sich nochmal jemand drum kümmern könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mi 03.11.2004 | | Autor: | torty |
Du hast recht es muß natürlich heißen:
(ax+b) (cx+d) = a(cx+d)+b = acx+ad+ b
3*41+4=127
aber sonst hast du denn ersten Aufgabenteil von a) richtig gelöst.
Das war wirklich schon alles !
Zur Umkehrfunktion:
Für die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}(x) [/mm] einer beliebigen Funktion f(x) gilt:
[mm] f^{-1}(x) \circ [/mm] f(x)=x
Für eine gegebene Funktion f(x) kannst du die Umkehrfunktion bestimmen,
indem du f(x) durch x ersetzt und x durch [mm] f^{-1}(x) [/mm] und dann
nach [mm] f^{-1}(x) [/mm] auflöst:
z.B.:
[mm] f(x)=x^2 [/mm] für x [mm] \in [/mm] {0, [mm] \infty}
[/mm]
[mm] x=f^{-1}^2 \Rightarrow f^{-1}(x)=\wurzel{x}
[/mm]
So etwas ähnliches hast du bestimmt schon in der Schule gesehen, nur das dort f(x) einfach y hieß.
Nun zur letzten Aufgabe, die hast du noch nicht ganz richtig verstanden.
Du sollst dir überlegen, für welche Funktionen [mm] g\in [/mm] G gilt
[mm] g\circ [/mm] h = h [mm] \circ [/mm] g für alle h [mm] \in [/mm] G. Das Symbol [mm] \forall [/mm] in
der Aufgabenstellung bedeutet "für alle" und das mußt du hier auf jeden
Fall beachten.
Zum besseren Verständnis vielleicht ein Beispiel:
Stell dir vor, ich gebe dir die Funktion h(x)=4x+2 vor und frage dich,
wie g aussehen mußen damit [mm] g\circ [/mm] h = h [mm] \circ [/mm] g gilt.
Dann sagst du mir wahrscheinlich g(x)=4x+2, weil du ja festgestellt
hast, dass a=c und b=d sein muß, was für diesen Fall auch korrekt ist.
Gebe ich dir aber eine andere Funktion h(x) z.B. h(x)=8x+15, dann
gilt für g(x)=4x+2 nicht mehr [mm] g\circ [/mm] h = h [mm] \circ [/mm] g.
Was du also finden sollst ist ein g für das immer gilt:
[mm] g\circ [/mm] h = h [mm] \circ [/mm] g egal welche Funktion h du einsetzt.
(h muß natürlich in der Form cx+d, darstellbar sein).
Denk einfach noch einmal ein bißchen darüber nach, wenn du zu
keinem Ergebnis kommst verrrate ich dir Morgen die Lösung.
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