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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 So 07.11.2004 | | Autor: | SabineG |
Hab hier ne Aufgabe, die ich überhaupt nicht verstehe, was wohl daran liegt, dass ich mich mit diesen Summenzeichen schwer tue.
Also:
Man beweise [mm] x_{j},y_{j} \in \IR [/mm] die Ungleichung:
[mm] (\summe_{j=1}^{n} x_{j} y_{j})^{2} \le (\summe_{j=1}^{n}x_{j}^{2}) (\summe_{j=1}^{n}y_{j}^{2}).
[/mm]
Hinweis: verwende im Fall X:= [mm] \summe_{j=1}^{n}x_{j}^{2} [/mm] > 0 und
Y:= [mm] \summe_{j=1}^{n}y_{j}^{2} [/mm] > 0 die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel für [mm] x_{j}^{2}/X [/mm] und [mm] y_{j}^{2}/Y.
[/mm]
Trotz des Hinweises weiß ich überhaupt nicht wie das gehen soll.
Wär toll, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 So 07.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Sabine!
Definiere mal, wie schon in der Aufgabenstellung angedeutet, [mm] $X:=\summe_{j=1}^{n}{x_j^2}$ [/mm] und [mm] $Y:=\summe_{j=1}^{n}{y_j^2}$. [/mm] Weiter erweiterst du nun auf der linken Seite den Term [mm] $x_j$ [/mm] zu [mm] $\sqrt{\frac{x_j^2}{X}\cdot X}$ [/mm] und analog dazu [mm] $y_j=\sqrt{\frac{y_j^2}{Y}\cdot Y}$. [/mm] Schreib dir das mal auf, klammere [mm] $\sqrt{X\cdot Y}$ [/mm] aus der Summe (EDIT: Tippfehler) aus. Dann fällt etwas weg und du kannst für auf Term [mm] $\sqrt{\frac{x_j^2}{X}\cdot\frac{y_j^2}{Y}}$ [/mm] die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel anwenden.
Versuch's einfach mal!
Liebe Grüße und Viel Erfolg,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 So 07.11.2004 | | Autor: | SabineG |
Danke ersteinmal, leider komm ich trotzdem nicht viel weiter.
erste Frage: Wie hast du die Terme erweitert? Versteh nicht wie auf das kommst, was unter den Wurzeln steht.
zweite Frage:
wenn ich dann [mm] \wurzel{X Y} [/mm] herausziehe, steht bei mir noch:
[mm] \wurzel{ \bruch{x_{j}^{2}}{X} \times \bruch{y_{j}^{2}}{Y} }
[/mm]
Wie kommst du denn auf das A in deiner Wurzel? Was ist falsch bei mir?
Könntest du mir ausserdem noch erklären, was der Teil mit dem arithmetischen und geometrischen Mittel zu bedeuten hat?
Wär super, wenn du nochmal weiterhelfen könntest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 So 07.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Sabine!
> erste Frage: Wie hast du die Terme erweitert? Versteh nicht wie auf das kommst, was unter den Wurzeln steht.
Ich habe folgendes gemacht: [mm] $x_j=\sqrt{x_j^2}=\sqrt{\frac{X}{X}\cdot x_j^2}=\sqrt{\frac{x_j^2}{X}\cdot X}$
[/mm]
> zweite Frage:
> wenn ich dann $ [mm] \wurzel{X Y} [/mm] $ herausziehe, steht bei mir noch:
> $ [mm] \wurzel{ \bruch{x_{j}^{2}}{X} \times \bruch{y_{j}^{2}}{Y} } [/mm] $
Das ist völlig richtig. Vor der Summe steht dann [mm] $\sqrt{X\cdot Y}$, [/mm] und da dieses noch quadriert wird, letztenendes [mm] $X\cdot [/mm] Y$. Dieser Term steht nun auf beiden Seiten und du kannst ihn hinausdividieren.
> $ [mm] \wurzel{ \bruch{x_{j}^{2}}{X} \times \bruch{y_{j}^{2}}{Y} } [/mm] $
Hier musst du nun die Ungleichung zwischen dem geo. und arith. Mittel anwenden. Sie lautet: [mm] $\sqrt[n]{\produkt_{k=1}^{n}{a_k}}\leq\frac{\summe_{k=1}^{n}{a_k}}{n}$. [/mm] In diesem Falle ist n=2 und die beiden Faktoren sind [mm] $\frac{x_j^2}{X}$ [/mm] und [mm] $\frac{y_j^2}{Y}$. [/mm]
> Wie kommst du denn auf das A in deiner Wurzel? Was ist falsch bei mir?
Das war ein Tippfehler meinerseits, A entspricht X.
Ist es dir nun ein wenig klarer? Wenn nicht, frag' einfach weiter 
Liebe Grüße und Viel Erfolg,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 07.11.2004 | | Autor: | SabineG |
Nocheinmal Danke dafür.
Trotzdem ist noch nicht alles klar:
Ich frag einfach mal weiter:
Also, du schreibst:
"Vor der Summe steht dann [mm] \wurzel{XY}, [/mm] und da dieses noch quadriert wird, letztenendes XY . Dieser Term steht nun auf beiden Seiten und du kannst ihn hinausdividieren."
Ich versteh den Vorgang, aber ich vesteh nicht, was du meinst. Vor welcher Summe steht [mm] \wurzel{XY} [/mm] ?? Warum wird noch quadriert? Warum steht der auf beiden Seiten? Irgendwie weiß ich gar nicht wovon du sprichst...
nun zu dem Teil mit dem geom. Mittel und so weiter:
Ich hab mal Zahlenbeispiele eingesetzt und kann nachvollziehen, dass n=2 sein muss, damit es hinhaut. Aber was meinst du mit den Faktoren? Irgendwie seh ich überhaupt nicht den Zusammenhang zwischen diesen Mitteln und dem, was wir vorher errechnet haben, ausser das wir genau das gemacht haben, was unter der Aufgabe als Hinweis steht und es dann auch irgendwie in Zusammenhang mit den Mitteln gebracht wird. Aber warum? Und wie funktioniert das dann? Wie komme ich weiter?
Nun schon zum dritten mal: Es wär toll, wenn du es mir NOCHEINMAL erklären könntest..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 So 07.11.2004 | | Autor: | SabineG |
Je länger ich über die Frage nachdenke, desto mehr bin ich verwirrt.
Ich seh im Moment gar keine Lösung.
Wär toll, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SabineG,
> Also, du schreibst:
> "Vor der Summe steht dann [mm]\wurzel{XY},[/mm] und da dieses noch
> quadriert wird, letztenendes XY . Dieser Term steht nun auf
> beiden Seiten und du kannst ihn hinausdividieren."
> Ich versteh den Vorgang, aber ich vesteh nicht, was du
> meinst. Vor welcher Summe steht [mm]\wurzel{XY}[/mm] ?? Warum wird
> noch quadriert? Warum steht der auf beiden Seiten?
> Irgendwie weiß ich gar nicht wovon du sprichst...
>
> nun zu dem Teil mit dem geom. Mittel und so weiter:
> Ich hab mal Zahlenbeispiele eingesetzt und kann
> nachvollziehen, dass n=2 sein muss, damit es hinhaut. Aber
> was meinst du mit den Faktoren? Irgendwie seh ich überhaupt
> nicht den Zusammenhang zwischen diesen Mitteln und dem, was
> wir vorher errechnet haben, ausser das wir genau das
> gemacht haben, was unter der Aufgabe als Hinweis steht und
> es dann auch irgendwie in Zusammenhang mit den Mitteln
> gebracht wird. Aber warum? Und wie funktioniert das dann?
> Wie komme ich weiter?
Also, ich habe mich mal an Hannos Tipps gehalten und konnte alles wunderbar zu Ende bringen. Eine Stelle war noch etwas "tricky", nämlich die Anwenden der geometrischen Mittel-Abschätzung, aber sieh' selbst (ich mache es etwas zu ausführlich):
[mm] $\left(\summe_{j=1}^n x_j*y_j\right)^2$
[/mm]
[mm] $=\left(\summe_{j=1}^n \wurzel{\bruch{x_j^2}{X}*X}*\wurzel{\bruch{y_j^2}{Y}*Y}\right)^2$
[/mm]
[mm] $=\left(\summe_{j=1}^n \wurzel{XY}*\wurzel{\bruch{x_j^2}{X}}*\wurzel{\bruch{y_j^2}{Y}}\right)^2$
[/mm]
[mm] $=\left(\wurzel{XY}*\summe_{j=1}^n \wurzel{\bruch{x_j^2}{X}}*\wurzel{\bruch{y_j^2}{Y}}\right)^2$
[/mm]
[mm] $=XY*\left(\summe_{j=1}^n \wurzel{\bruch{x_j^2}{X}}*\wurzel{\bruch{y_j^2}{Y}}\right)^2$
[/mm]
[mm] $=XY*\left(\summe_{j=1}^n \blue{\wurzel{\bruch{x_j^2}{X}*\bruch{y_j^2}{Y}}}\right)^2$
[/mm]
[mm] $=(\star)$
[/mm]
Jetzt kommt die "tricky" Stelle:
Es wird jeder Summand auf der linken Seiite der Ungleichung mit der angesprochenen geom. Mittel [mm] $\le$ [/mm] arith. Mittel-Beziehung abgeschätzt: [mm] $\blue{\wurzel{\bruch{x_j}{X}*\bruch{y_j}{Y}}}\le \blue{\bruch{\bruch{x_j^2}{X}+\bruch{y_j^2}{Y}}{2}}$
[/mm]
Also weiter im Text:
[mm] $(\star)\le XY*\left(\summe_{j=1}^n \blue{\bruch{\bruch{x_j^2}{X}+\bruch{y_j^2}{Y}}{2}}\right)^2$
[/mm]
[mm] $=XY*\left(\bruch{1}{2}*\summe_{j=1}^n \left(\bruch{x_j^2}{X}+\bruch{y_j^2}{Y}\right)\right)^2$
[/mm]
[mm] $=XY*\left(\bruch{1}{2}*\left(\summe_{j=1}^n \bruch{x_j^2}{X}+\summe_{j=1}^n \bruch{y_j^2}{Y}\right)\right)^2$
[/mm]
[mm] $=XY*\left(\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{X}*\summe_{j=1}^n x_j^2+\bruch{1}{Y}*\summe_{j=1}^n y_j^2\right)\right)^2$
[/mm]
[mm] $=XY*\left(\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{X}*X+\bruch{1}{Y}*Y\right)\right)^2$
[/mm]
[mm] $=XY*\left(\bruch{1}{2}*\left(1+1\right)\right)^2$
[/mm]
$=XY$
Alles klar geworden?
Viele Grüße,
Marc
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