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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 So 30.01.2005 | | Autor: | SusPie6 |
Hey ihr. Komm Mal wieder nicht an einem Beweis weiter. Die Aufgabe war:
Zeigen Sie durch Induktion, dass für n,k [mm] \in \IN [/mm] gilt:
(a) [mm] \vektor{n\\k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}=\vektor{n\\n-k} [/mm] für [mm] k\le [/mm] n.
Ich lass jetzt Mal den Induktionsanfang und die -voraussetzung raus, da die ja "trivial" ist. Zum Induktionsschritt muss ich noch dazu sagen, dass ich den ersten Teil wie unten ja schon bewiesen habe, mir fehlt nur noch der letzte Teil der Behauptung.
Induktionsschritt:
[mm] \vektor{n\\k+1}=\bruch{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\vektor{n\\n-(k+1)}
[/mm]
[mm] \vektor{n\\k+1}=\vektor{n\\k}*\bruch{n-k}{k+1}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}*\bruch{n-k}{k+1}=\bruch{n!(n-k)}{k!(k+1)(n-k)!}=\bruch{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!} [/mm] (damit ist der erste mittlerste Teil bewiesen und nun bin ich ein Stückchen schon weiter gekommen, also weiter) [mm] =\bruch{n!}{k!(n-k)!}*\bruch{n-k}{k+1}=\vektor{n\\n-k}*\bruch{\vektor{n\\k+1}}{\vektor{n\\k}} [/mm] . Tja, und nun?? Jetzt komme ich mit meinen ganzen Definitionen zu keiner anständigen Umformung, so dass ich die rechte Seite der Gleichung erhalte.
Kann mir bitte bitte jemand helfen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mo 31.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Suspie,
könntest du das nächste Mal bitte eine passende und aussagekräftigerere Thread-Überschrift wählen? Danke.
Jedenfalls zu deinem Beweis:
du hast ja schon (mit Induktion) bewiesen: $ [mm] \vektor{n\\k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] $
und zwar für alle k kleiner als n also auch für k'=n-k
deshalb ist $ [mm] \vektor{n\\k}=\vektor{n\\n-k} [/mm] $ nur eine einsetz arbeit indem du k'=n-k setzt und $ [mm] \vektor{n\\k' } [/mm] $ nach deiner obigen Gleichung "ausrechnest" und darin wieder k' ordentlich einsetzt.
Dann wird alles also sofort "trivial", wie du schon sagtest.
Also hierfür brauchst du keine Induktion mehr.
Hast den schweren Teil der Aufgabe längst gepackt ! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
viele Grüße
DaMenge
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