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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Fr 04.03.2005 | | Autor: | mathica |
Hi,
ich versuche folgendes mittels vollständiger Induktion zu beweisen, leider habe ich wohl nicht verstanden, wie die "vollständige Induktion" überhaupt funktioniert. (hatte erst eine einzige Vorlesung...):
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \*k=\bruch{1}{4}[1+(-1)^{n-1} \*(2n+1)] [/mm]
n [mm] \in \IN
[/mm]
mein Ansatz: ich habe für n die Zahl 1 eingesetzt. was mach ich mit k? auch 1 einsetzen? dann erhalte ich entweder (-1)^(k-1)*k=1 oder, wenn man für k 1 einsetzt 1=1
Ist damit A(n) bewiesen? Wie beweise ich A(n+1)?
danke!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo mathica!
Du solltest dir zuerst einmal unseren Artikel über das Thema in der Mathebank durchlesen:  Induktion.
Jetzt zu deiner Aufgaben:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \*k=\bruch{1}{4}[1+(-1)^{n-1} \*(2n+1)][/mm]
Du zeigst zunächst die Induktionsbehauptung für $n=1$, setzt also auf beiden Seiten $n=1$ ein und schaust dann, ob beide Seiten gleich sind:
Links steht:
[mm] $\summe_{k=1}^1 (-1)^{k-1} \*k [/mm] = [mm] (-1)^{1-1}\*1 [/mm] = [mm] (-1)^0 \cdot [/mm] 1 = 1 [mm] \cdot [/mm] 1 = 1$
(es wird ja die Summe von $k=1$ bis $1$ gebildet, die nur einen Summanden enthält, wo man dann $k=1$ hat).
Rechts steht:
[mm] $\frac{1}{4}[1 [/mm] + [mm] (-1)^{1-1}\* (2\cdot [/mm] 1+1) = [mm] \frac{1}{4}[1 [/mm] + 1 [mm] \*3] [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \cdot [/mm] 4 = 1$,
d.h. wir haben den Induktionsanfang gezeigt.
Nun kommt der Induktionsschritt: Wir setzen voraus, dass die Behauptung für $n$ gilt und wollen unter dieser Voraussetzung zeigen, dass die Aussage dann auch für $n+1$ wahr ist.
Wir wollen also zeigen:
(*) [mm]\summe_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1} \*k=\bruch{1}{4}[1+(-1)^{n} \*(2(n+1)+1)][/mm]
und setzen dabei voraus, dass gilt:
(**) [mm]\summe_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \*k=\bruch{1}{4}[1+(-1)^{n-1} \*(2n+1)][/mm].
Was machen wir? Wir fangen mit der linken Seite von (*) an, rechnen etwas rum, versuchen irgendwie auf die Form (**) zu kommen, um dann diese Induktionsvoraussetzung ausnutzen zu können und rechnen dann weiter so lange rum, bis irgendwann die rechte Seite von (*) da steht.
Also:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \*k$
[/mm]
$= [mm] \summe_{k=1}^n (-1)^{k-1} \* [/mm] k + [mm] (-1)^{n} \* [/mm] (n+1)$
Was haben gemacht? Wir haben die Summe aufgespalten in die Summer der ersten $n$ Terme und dann den $(n+1)$-ten Term. Jetzt steht da die linke Seite der Induktionsvoraussetzung (**), die wir nun also ausnutzen können:
$= [mm] \bruch{1}{4}[1+(-1)^{n-1} \*(2n+1)] [/mm] + [mm] (-1)^{n} \* [/mm] (n+1)$
So, und jetzt musst du so lange weiterrechnen, bis du irgendwann die Behauptung
[mm] $\bruch{1}{4}[1+(-1)^{n} \*(2(n+1)+1)]$
[/mm]
da stehen hast. Schaffst du das alleine? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Fr 04.03.2005 | | Autor: | mathica |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Nachdem ich mir das Thema "Induktion" in der Mathebank durchgelesen habe ist es mir nun etwas klarer. Den Induktionsbeginn schaff ich, aber dann wird's holprig  Hab es mit einem einfacheren Beispiel versucht, leider hab ich keine Lösung dazu...
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] (n>4 [mm] \Rightarrow 2^n>n^2)
[/mm]
Induktionsanfang für n=5 (soll ja > 4 sein)
[mm] 2^5>5^2 [/mm]
32>25
damit wäre A(n) bewiesen. A(n+1) ist:
[mm] 2^n+1>n^2+1 [/mm] muss bewiesen werden (so soll das Ergebnis lauten).
Mein Rechenansatz:
[mm] 2^n+2^n+1>n^2+n^2+1
[/mm]
[mm] 2*2^n+1>2n^2+1
[/mm]
irgendwie fehlt mir spätestens hier der Plan. Bin über jeden Tipp dankbar!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Sa 05.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Nachdem ich mir
> das Thema "Induktion" in der Mathebank durchgelesen habe
> ist es mir nun etwas klarer. Den Induktionsbeginn schaff
> ich, aber dann wird's holprig Hab es mit einem
> einfacheren Beispiel versucht, leider hab ich keine Lösung
> dazu...
>
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm] (n>4 [mm]\Rightarrow 2^n>n^2)
[/mm]
>
>
> Induktionsanfang für n=5 (soll ja > 4 sein)
>
> [mm]2^5>5^2[/mm]
> 32>25
>
> damit wäre A(n) bewiesen. A(n+1) ist:
Nein, damit hast du A(5) bewiesen, die Induktionsverankerung.
>
> [mm]2^n+1>n^2+1[/mm] muss bewiesen werden (so soll das Ergebnis
> lauten).
Auch nicht korrekt. A(n+1) ist die Aussage [mm] $2^{n+1}>(n+1)^2$.
[/mm]
Um A(n+1) zu beweisn, darfst du A(n) benutzten.
Also Annahme: [mm] $2^n>n^2$.
[/mm]
Gilt dann auch [mm] $2^{n+1}>(n+1)^2$?
[/mm]
Ich würde [mm] $2^{n+1}$ [/mm] umformen zu [mm] $2\cdot 2^n$, [/mm] damit du A(n) benutzen kannst.
Aus [mm] $2^n>n^2$ [/mm] folg durch Multiplikation mit 2, dass [mm] $2\cdot 2^{n}>2n^2$ [/mm] und es wäre alles ok, wenn du nun [mm] $2n^2\geq(n+1)^2$ [/mm] zeigen könntest (unter der Zusatzvoraussetzung, dass [mm] $n\geq [/mm] 5$ ist).
[mm] $2n^2\geq(n+1)^2$ [/mm] ist äquivalent zu [mm] $2n^2-(n+1)^2\geq [/mm] 0$ ist äquivalent zu [mm] $n^2-2n-1\geq0$ [/mm] ist äquivalent zu [mm] $(n-1)^2-2\geq0$ [/mm] ist sicher erfüllt, da [mm] $n\geq [/mm] 5$.
Damit hast du von A(n) auf A(n+1) geschlossen und der Induktionsbeweis ist vollständig.
mfG Moudi
>
> Mein Rechenansatz:
>
> [mm]2^n+2^n+1>n^2+n^2+1
[/mm]
> [mm]2*2^n+1>2n^2+1
[/mm]
>
> irgendwie fehlt mir spätestens hier der Plan. Bin über
> jeden Tipp dankbar!
>
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