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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Sa 15.05.2004 | | Autor: | mausi |
wie kann ich zeigen das:
Q wurzel(2):={a+b wurzel (2) Element R|a,b Element Q} ist ein Körper
ich hab kein Plan wie man das zeigen soll,vieleicht hat einer von euch ne Idee
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
nachdem ich dich erstmal ein Wenig (oder feste?) geärgert habe, will ich dir diesmal doch etwas weiter helfen.
Als Vorbereitung sollte man sich nochmals präsent machen, wie denn ein  Körper überhaupt definiert ist. (eine Menge von Elementen, so das dies und jenes gilt. das dies und jense sind die Körperaxiome)
Zunächst sollst du zeigen, dass die Multiplikation und die Addition nicht aus der gegebenen Menge hinausführen (Die Summe von zwei Elementen muss selber wieder in der Menge vorhanden sein, ebenso das Produkt)
(Wenn dir das nicht gelingt, bitte melde dich wieder!)
Sollte Multiplikation oder Addition aus der Menge herausführen, dann bist du bereits fertig: die Menge ist dann kein Körper!
Falls nicht, dann gehts weiter:
Jetzt musst du nur sämtliche Körperaxiome überprüfen und nachweisen, dass sie gültig sind.
Ich mach mal ein kleines Beispiel:
Das Distributivgesetz ist ein solches Axiom:
$x*(y+z)=x*y+x*z$
Jetzt ist zu zeigen, dass für $x,y,z [mm] \in \mathbb{Q}\wurzel{2}$ [/mm] eben diese Distributivgesetz auch gilt. Dabei dürfen die Gesetze von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] resp. [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] angewendet werden, wenn während der einzelnen Schritte Operationen vorkommen, die ganz im Körper der reellen oder der rationalen Zahlen ablaufen. Dies darf man tun, weil ja in der Aufgabe vorausgesetzt wird, dass $a,b [mm] \in \mathbb{Q}$ [/mm] etc...
Nun muss man also einfach die linke Seite des Distributivgesetzes mit $x,y,z [mm] \in \mathbb{Q}\wurzel{2}$ [/mm] ausrechne, und auch die rechte Seite. Nachher wird verglichen, ob bei beiden Rechnungen das Gleiche herausgekommen ist.
Also rechnen wir mal die linke Seite: ($x*(y+z)$)
Ich setze [mm] $x:=x_{1}+x_{2}\wurzel{2}$, $y:=y_{1}+y_{2}\wurzel{2}$, $z:=z_{1}+z_{2}\wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $(x_{1}+x_{2}\wurzel{2})*(y_{1}+y_{2}\wurzel{2}+z_{1}+z_{2}\wurzel{2}) [/mm] =
[mm] (x_{1}+x_{2}\wurzel{2})*((y_{1}+z_{1})+(y_{2}+z_{2})*\wurzel{2})=
[/mm]
[mm] x_{1}(y_{1}+z_{1})+x_{1}(y_{2}+z_{2})\wurzel{2}+x_{2}\wurzel{2}*(y_{1}+z_{1})+x_{2}\wurzel{2}*(y_{2}+z_{2})\wurzel{2} [/mm] =
[mm] x_{1}(y_{1}+z_{1})+x_{1}(y_{2}+z_{2})\wurzel{2}+x_{2}(y_{1}+z_{1})\wurzel{2}+2x_{2}(y_{2}+z_{2}) [/mm] =
[mm] x_{1}y_{1}+x_{1}z_{1}+2x_{2}y_{2}+2x_{2}z_{2}+(x_{1}y_{2}+x_{1}z_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}z_{1})\wurzel{2}$
[/mm]
Und jetzt noch die rechte Seite:
Knochenarbeit ... Knochenarbeit ... Knochenarbeit ... Knochenarbeit ...
Und dann vergleichen und feststellen, dass es stimmt. 
Auch die Existenz-Axiome müssen erfüllt sein. Dazu musst du lediglich die neutralen und inversen Elemente angeben resp. berechnen (Null-Element, Eins-Element, die Inversen dazu)
Z.B. ich nehme mal an, dass du das Element [mm] $1+0*\wurzel{2}$ [/mm] als Eins-Element bereits gefunden hast (sonst musst du noch ein wenig auf die Suche gehen  )
Dann ist das inverse Element zu berechnen und zu zeigen, dass es zu [mm] $\mathbb{Q}\wurzel{2}$ [/mm] gehört.
Also so:
[mm] $(a+b\wurzel{2})^{-1} [/mm] = $
[mm] $\bruch{1}{a+b\wurzel{2}} [/mm] =$
[mm] $\bruch{a-b\wurzel{2}}{(a+b\wurzel{2})*(a-b\wurzel{2})} [/mm] =$
[mm] $\bruch{a-b\wurzel{2}}{a^{2}-2b^{2}} [/mm] =$
[mm] $\bruch{a}{a^{2}-2b^{2}}-\bruch{b}{a^{2}-2b^{2}}\wurzel{2}$
[/mm]
Hier muss natürlich auch begründert werden, dass der Nenner nie (ausser für das durch dich weiter oben gefundene "neutrale Element der Addition") $0$ werden kann.
(Hier hat die Gleichung [mm] $a^{2}-2b^{2} [/mm] = 0$ keine Lösung, weil ja $a,b [mm] \in \mathbb{Q}$ [/mm] vorausgesetzt ist.
So, diese ganze harte Knochenarbeit ist also durchzurechnen! Viel Vergnügen!
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Sa 15.05.2004 | | Autor: | mausi |
Eine Menge K heißt ein Körper, wenn auf K eine Addition und eine Multiplikation definiert sind, so daß gilt
K ist bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe
[mm] K\{0} [/mm] ist bezüglich der Multiplikation eine abelsche Gruppe
Addition und Multiplikation sind miteinander verknüpft durch das Distributivgesetz, d.h.
(a+b)c=ac+bc für alle a,b,c Element K
das wäre erstmal die Definition für einen Körper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 So 16.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
> Eine Menge K heißt ein Körper, wenn auf K eine Addition und
> eine Multiplikation definiert sind, so daß gilt
>
> K ist bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe
> [mm] $K\smallsetminus\{0\}$ [/mm] ist bezüglich der Multiplikation eine abelsche
> Gruppe
> Addition und Multiplikation sind miteinander verknüpft
> durch das Distributivgesetz, d.h.
> (a+b)c=ac+bc für alle a,b,c Element K
> das wäre erstmal die Definition für einen Körper
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr gut!
Ich habe in meiner 1. Antwort geschrieben:
Zunächst sollst du zeigen, dass die Multiplikation und die Addition nicht aus der gegebenen Menge hinausführen (Die Summe von zwei Elementen muss selber wieder in der Menge vorhanden sein, ebenso das Produkt)
Im Klartext heisst das: Führe mit 2 beliebigen Elementen eine Addition durch, und ebenfalls eine Multiplikation. Zu zeigen ist dann, dass Summe resp. das Produkt auch in der Menge liegen!
Das heisst für unser Beispiel: Sie haben immer noch die Form [mm] $a+b\wurzel{2}$, [/mm] der $a$-Teil und der $b$-Teil sind immer noch [mm] $\in \mathbb{Q}$ [/mm] und die dargestellte Zahl ist immer noch [mm] $\in \mathbb{R}$.
[/mm]
Ich machs mal für die Addition, du kannst es dann für die Multiplikation versuchen.
Ich addiere also 2 beliebige Elemente der Menge:
[mm] $(a+b\wurzel{2}) [/mm] + [mm] (c+d\wurzel{2})$
[/mm]
$= [mm] a+b\wurzel{2} [/mm] + [mm] c+d\wurzel{2}$ [/mm] (weil das Assoziativgesetz innerhalb [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gilt.)
$= [mm] a+c+b\wurzel{2}+d\wurzel{2}$ [/mm] (weil das Kommutatiativgesetz innerhalb [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gilt.)
$= [mm] (a+c)+(b\wurzel{2}+d\wurzel{2})$ [/mm] (weil das Assoziativgesetz innerhalb [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gilt.)
$= [mm] (a+c)+(\wurzel{2}b+\wurzel{2}d)$ [/mm] (weil das Kommutativgesetz innerhalb [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gilt.)
$= [mm] (a+c)+\wurzel{2}(b+d)$ [/mm] (weil das Distributivgesetz innerhalb [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gilt.)
$= [mm] (a+c)+(b+d)\wurzel{2}$ [/mm] (weil das Kommutativgesetz innerhalb [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] gilt.)
Dieser Ausdruck hat tatsächlich die Form [mm] $x+y\wurzel{2}$, [/mm] womit er schon mit einem Bein in der gegebenen Menge steht.
es wird aber noch gefordert, dass $x [mm] \in \mathbb{Q}$ [/mm] und $y [mm] \in \mathbb{Q}$ [/mm] und [mm] $(x+y\wurzel{2}) \in \mathbb{R}$
[/mm]
Da wir wissen, dass $a,c [mm] \in \mathbb{Q}$, [/mm] wissen wir auch , dass die Summe $(a+c) [mm] \in \mathbb{Q}$ [/mm] ist. (Weil [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] selber ein Körper ist!)
Ebenso schliessen wir, dass $(b+d) [mm] \in \mathbb{Q}$ [/mm] ist.
.. und damit ist auch [mm] $((a+c)+(b+d)\wurzel{2}) \in \mathbb{R}$
[/mm]
Unsere errechnete Summe gehört also immer noch zur Menge!
Eigentlich kannst du dir bei solchen Aufgaben stets denken: Ich bin ganz dumm und weiss ausser den Axiomen überhaupt nichts!
Und mit diesem alleinigen Wissen muss es mir gelingen, die Aufgabe zu lösen.
Vergleiche diese Einstellung nochmals mit den Anmerkungen zu den einzelnen Zwischenschritten: die Begründungen konnte ich immer aus den Körperaxiomen von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] holen, ich brauchte dazu kein Bisschen anderes Wissen! Beachte dazu auch, dass das Distributivgesetz so heisst: $a(b+c) = ab+ac$. Es heisst nicht: $(a+b)c=ac+bc$. Diese Form kann aber durch andere Axiome hergeleitet werden (Kommutativgesetz).
Nur die Axiome und nichts als die Axiome, so wahr mir Gott helfe!
Diese Übung ist sehr gut, um das abstrakte Denken zu trainieren, also das Sich-dumm-stellen und sich auf nichts anderes zu stützen, als auf die Axiome. In einer fortgeschritteneren Phase kommen zu den Axiomen auch noch die Sätzte. (Aber nur die bewiesenen!)
Versuchst du jetzt mal die Multiplikation?
Nachher gehts es dann weiter mit der Knochenarbeit!
P.S. Ich bin den ganzen Sonntag abwesend. Wir feiern die Kofirmation des Patenkindes meiner Frau. Am Abend, wenn es der Alkoholpegel zulässt, schaue ich dann nochmals 'rein.
Mit lieben Grüssen
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