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| Aufgabe | Es sei $V$ der [mm] $\IR-Vektorraum$ [/mm] der Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$ in einer rellen Variablen $x$ mit reellen Koeffizienten. Es sei $D:V [mm] \to [/mm] V$ gegeben durch $D(P)=P'$, wobei $P'$ die Ableitung von $P$ nach $x$ bezeichnet.
Es sei [mm] $\mathbb{B} [/mm] = [mm] \{f_1,f_2,f_3,f_4 \}$ [/mm] mit [mm] $f_i:=x^{i-1}$ [/mm] eine geordnete Basis von $V$, ferner [mm] $t\in \IR$ [/mm] und [mm] $g_i(x):=(x+t)^{i-1}$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $\mathbb{B} [/mm] ' := [mm] \{g_1,g_2,g_3,g_4 \}$ [/mm] eine Basis für $V$ ist und bestimmen Sie die Matrixdarstellung von $D$ bezüglich [mm] $\mathbb{B} [/mm] '$ |
Hallo zusammen,
ich habe ein kleines Problem, bei dem ersten Beweis.
Die Matrixdarstellung habe ich soweit und habe die Matrix
[mm] $M=\pmat{ 0&1&0&0 \\ 0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0 }$ [/mm] herausbekommen.
Jedoch weiß ich nicht genau, wie ich zeigen soll, dass [mm] $\mathbb{B} [/mm] '$ Basis von V ist.
Soll ich einfach zeigen, dass
[mm] $g_1=1,g_2=(x+t),g_3=(x+t)^2,g_4=(x+t)^3$ [/mm] linear unabhängig sind?
Vielen Dank für die Hilfe
LG Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Do 26.01.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Ich könnte die Polynome von [mm] $\mathbb{B} [/mm] '$ ja eigentlich als Vektoren schreiben, also folgendermaßen:
[mm] $g_1=\vektor{1\\0\\0\\0}\vektor{1,x,x^2,x^3} [/mm] , [mm] g_2=\vektor{t\\1\\0\\0}\vektor{1,x,x^2,x^3} [/mm] , [mm] g_3=\vektor{t^2\\2t\\1\\0}\vektor{1,x,x^2,x^3} [/mm] , [mm] g_4=\vektor{t^3\\3t^2\\3t\\1}\vektor{1,x,x^2,x^3} [/mm] $
Oder?
Reicht es dann die lineare unabhängigkeit der der vektoren vor dem [mm] $\vektor{1,x,x^2,x^3} [/mm] $ zu beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Do 26.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, und ob du das wie in deiner mitteilung oder direkt mit den Polynomen machst, ist egal. ich find es direkt einfacher
gruss leduart
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