Beweis Bijektivität < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Sa 08.11.2014 | | Autor: | yss |
| Aufgabe | Sei [mm]f:R->R[/mm] mit [mm]f(x)=1-x^3[/mm]
Zeigen Sie, dass die Komposition f mit f die Menge R bijektiv auf R abbildet. |
Wenn ich nun zeigen will, dass es bijektiv ist, dann muss die Funktion injektiv und surjektiv sein.
Nun weiß ich, was injektiv bedeutet, dass nämlich jedes Bild der Abbildung höchstens ein Urbild haben darf.
Mathematisch lautet es laut Vorlesung
∀x,y ∈ A : f(x) = f(y) ⇒ x = y
Hier ist schon mein erstes Verständnisproblem. Was sagt mir diese Aussage?
Des Weiteren habe ich keinen guten Ansatz gefunden für einen Beweis. Alle machen es immer mit [mm]f(x)=x^2[/mm] und beweisen dann, dass es nicht injektiv ist. Ich allerdings muss ja zeigen, dass meine Funktion oben injektiv ist...
Vielen Dank für Hilfestellungen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Sa 08.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f:R->R[/mm] mit [mm]f(x)=1-x^3[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die Komposition f mit f die Menge R
> bijektiv auf R abbildet.
ist hier danach gefragt, ob
$f [mm] \circ [/mm] f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit $(f [mm] \circ f)(x):=1-(1-x^3)^3$
[/mm]
bijektiv ist?
> Wenn ich nun zeigen will, dass es bijektiv ist,
Welches "es"? [mm] $f\,,$ [/mm] oder $f [mm] \circ [/mm] f$? Im Endeffekt wird es egal sein, denn für
die Bijektivität von [mm] $f\circ [/mm] f$ einzusehen, ist es hinreichend, zu wissen, dass
[mm] $f\,$ [/mm] bijektiv ist.
> dann muss die Funktion injektiv und surjektiv sein.
> Nun weiß ich, was injektiv bedeutet, dass nämlich jedes
> Bild der Abbildung höchstens ein Urbild haben darf.
> Mathematisch lautet es laut Vorlesung
> ∀x,y ∈ A : f(x) = f(y) ⇒ x = y
> Hier ist schon mein erstes Verständnisproblem. Was sagt
> mir diese Aussage?
Es gibt keine [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] A$ mit [mm] $x_1 \not=x_2$ [/mm] und [mm] $f(x_1)=f(x_2)\,.$ [/mm] Aus der
Verschiedenheit der Argumente folgt stets schon die Verschiedenheit der
zugehörigen Bilder.
Das Ganze mal ein wenig graphisch bei Funktionen $M [mm] \to [/mm] N$ mit $M,N [mm] \subseteq \IR$:
[/mm]
Eine solche Funktion ist genau dann injektiv, wenn JEDE Parallele zur x-Achse
den Graphen der Funktion in HÖCHSTENS einem Punkt schneidet (einer oder
keiner!).
Surjektivität wurde hier graphisch bedeuten: Jede zur x-Achse parallele Gerade
"in der N-Menge" (letztstehende, von mir benutzte, schlechte Sprechweise
meint nichts anderes, als dass eine solche Gerade die Form [mm] $y(x)=n\,$ [/mm] mit einem
$n [mm] \in \red{\,N\,}$ [/mm] hat) schneidet den Graphen der Funktion in MINDESTENS einem Punkt.
Bspw. ist [mm] $\sin \colon \IR \to \IR$ [/mm] weder injektiv noch surjektiv. Allerdings ist
[mm] $[-\pi/2,\;\pi/2] \ni [/mm] x [mm] \longmapsto \sin(x) \in [/mm] [-2,1]$
injektiv, nicht aber surjektiv.
Die Funktion
[mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \longmapsto \sin(x) \in [/mm] [-1,1]$
wiederum ist surjektiv, nicht aber injektiv.
Schlussendlich ist
[mm] $[-\pi/2,\;\pi/2] \ni [/mm] x [mm] \longmapsto \sin(x) \in [/mm] [-1,1]$
sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.
(Sowas wie
[mm] $[-\pi/2,\;\pi/2] \ni [/mm] x [mm] \longmapsto \sin(x) \in [/mm] [0,10]$
ist *Quatsch*, weil...?)
Beachte: In der Notation
$D [mm] \ni [/mm] x [mm] \longmapsto [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] Z$
steckt mit drin, dass [mm] $f\,$ [/mm] den Definitionsbereich [mm] $D\,$ [/mm] und Zielbereich [mm] $Z\,$ [/mm] haben
soll!
Tipp: Mach' Dir das Ganze anschaulich klar, indem Du 3 Skizzen anfertigst,
bei denen Du den Definitionsbereich "auf der x-Achse farbig (rot?)" markierst
und den Zielbereich auf der y-Achse auch farbig (grün?) markierst...
Generell kann man hier einfach mit "Parallelen zur x-Achse, die den farbigen
Bereich der y-Achse (grün?) schneiden" anschaulich argumentieren.
> Des Weiteren habe ich keinen guten Ansatz gefunden für
> einen Beweis. Alle machen es immer mit [mm]f(x)=x^2[/mm] und
> beweisen dann, dass es nicht injektiv ist. Ich allerdings
> muss ja zeigen, dass meine Funktion oben injektiv ist...
> Vielen Dank für Hilfestellungen :)
Lies' Dir mal
das hier (klick!)
durch.
Übrigens ist eine Aussage wie [mm] "$h(x)=x^2$ [/mm] ist nicht injektiv" sinnlos, wenn man
nicht den Definitionsbereich der Funktion mit angibt. Ich kann Dir *locker*
beweisen, dass
$h [mm] \colon ]-\infty,\;0] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $h(x)=x^2$
[/mm]
injektiv ist, wir machen das mit obiger von Dir genannten Definition:
Seien $x,y [mm] \in ]-\infty,\;0]$ [/mm] mit
[mm] $h(x)=h(y)\,$
[/mm]
gegeben, ansonsten aber beliebig und fest. Dann gilt
[mm] $x^2=y^2$ $\Rightarrow$ $(x+y)*(x-y)=0\,.$
[/mm]
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn es einer der Faktoren ist. Es gibt also
zwei Fälle:
1. Fall: Sei [mm] $x+y=0\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $x=-y\,,$ [/mm] und für $y < 0$ wäre $x > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass wegen
[mm] $\{x,y\} \subseteq ]-\infty,\,0]$ [/mm] nur [mm] $x+y=0\,$ [/mm] für [mm] $x=y=0\,$ [/mm] sein kann. Hier folgt also [mm] $x=y\,.$
[/mm]
2. Fall: Sei [mm] $x-y=0\,.$ [/mm] Dann gilt [mm] $x=y\,.$
[/mm]
In allen Fällen folgt aus
[mm] $h(x)=h(y)\,$
[/mm]
also [mm] $x=y\,.$ [/mm] Das beendet den Beweis - h ist also injektiv.
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Jetzt nochmal kurz zurück zu Deiner Aufgabe: Du kannst die Bijektivität von [mm] $f\,$
[/mm]
bei Deiner Aufgabe schnell beweisen, indem Du sagst:
Sei $y [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest, dann hat die Gleichung
[mm] $1-x^3=y$
[/mm]
genau eine Lösung $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] diese ergibt sich aus:
[mm] $1-x^3=y$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\ldots$
[/mm]
Alternativ:
Du rechnest erst nach, dass [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist, und beweist dann zudem auch
noch, dass [mm] $f\,$ [/mm] surjektiv ist.
Beachte: Sollte es um die Bijektivität der Funktion
$g:=f [mm] \circ [/mm] f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit $g(x)=(f [mm] \circ f)(x)=f(1-x^3)=1-(1-x^3)^3$
[/mm]
gehen, so beachte, dass allgemein gilt:
[mm] $\bullet$ [/mm] Sind $u [mm] \colon [/mm] N [mm] \to [/mm] P$ und $v [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] N$ injektiv, so ist dies auch $u [mm] \circ [/mm] v [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] P$
[mm] $\bullet$ [/mm] Sind $u [mm] \colon [/mm] N [mm] \to [/mm] P$ und $v [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] N$ surjektiv, so ist dies auch $u [mm] \circ [/mm] v [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] P$
Fazit:
[mm] $\bullet$ [/mm] Sind $u [mm] \colon [/mm] N [mm] \to [/mm] P$ und $v [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] N$ bijektiv, so ist dies auch $u [mm] \circ [/mm] v [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] P$
Diese letzten 3 Sätze (mit vorangestelltem [mm] $\bullet$) [/mm] habt ihr entweder in der
Vorlesung/Übung bewiesen, oder Du solltest sie selbst beweisen!
Gruß,
Marcel
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