Beweis: Binomialkoeffizient < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Sa 01.11.2008 | | Autor: | L5er |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] \vektor{n-1\\k-1}+\vektor{n-1\\k}=\vektor{n\\k} [/mm] unter der Verwendung von [mm] \vektor{n\\k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] |
Guten Abend liebe Forengemeinde!
Bei obiger Aufgabe komme ich nicht mehr weiter. Hier mein bisheriges Vorgehen:
Zu zeigen: [mm] \vektor{n-1\\k-1}+\vektor{n-1\\k}=\vektor{n\\k}
[/mm]
[mm] \bruch{(n-1)!}{(n-1-(k-1))!\*(k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!}
[/mm]
[mm] \bruch{(n-1)!}{(n-k)!\*(k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!}
[/mm]
Wie kann ich jetzt weiter vorgehen? Ein gemeinsamer Nenner ist für mich unmöglich zu finden, lässt sich evtl. irgendwo noch mehr zusammenfassen?
Viele Grüße und Danke für Eure Hilfe schon im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
guck mal da.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Sa 01.11.2008 | | Autor: | L5er |
Hallo, Danke für den Link! Nachdem ich in jenem Thread gelesen habe, bin ich einen kleinen Schritt weiter:
Zu zeigen: [mm] \vektor{n-1\\k-1}+\vektor{n-1\\k}=\vektor{n\\k}
[/mm]
[mm] \bruch{(n-1)!}{(n-1-(k-1))!\*(k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!}
[/mm]
[mm] \bruch{(n-1)!}{(n-k)!\*(k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!}
[/mm]
Ich erweitere die beiden linken Brüche mit [mm] \bruch{k}{k}:
[/mm]
[mm] \bruch{(n-1)!\*k}{(n-k)!\*k!}+\bruch{(n-1)!\*k}{(n-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!}
[/mm]
Ist das so weit richtig? Leider weiß aber auch hier nicht mehr weiter. Ist [mm] 2((n-1)!\*k) [/mm] wirklich gleich n! ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Sa 01.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> [mm] $\bruch{(n-1)!}{(n-k)!\*(k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!\*k!}$
[/mm]
Du musst doch nur den Hauptnenner bilden, der ist [mm] $(n-k)!\cdot [/mm] k!$. Erweitere also den ersten Bruch mit k und den zweiten mit n-k.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 01.11.2008 | | Autor: | L5er |
Danke für Deine schnelle Antwort!
Stimmt, es ist schon logisch, den ersten Bruch mit k zu erweitern, und den zweiten mit (n-k), sodass dies herauskommt:
[mm] \bruch{(n-1)!\*k}{(n-k)!\*k!}+\bruch{(n-1)!\*(n-k)}{(n-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!} [/mm]
[mm] \bruch{(n-1)!\*k+(n-1)!\*(n-k)}{(n-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!}
[/mm]
Aber wieso ist [mm] (n-1)!\*k+(n-1)!\*(n-k) [/mm] = n! ? Ich sehe da keine Möglichkeiten mehr, weiter zusammenzufassen. Tut mir Leid, ich stehe total auf dem Schlauch :-( Kann mir jemand weiterhelfen?
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> Aber wieso ist [mm](n-1)!\*k+(n-1)!\*(n-k)[/mm] = n! ?
Hallo,
klammere mal den gemeinsamen Faktor aus.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Sa 01.11.2008 | | Autor: | L5er |
Ah, natürlich! 
[mm] (n-1)!\*(k+(n-k)) [/mm] = [mm] (n-1)!\*n [/mm] = n!
Vielen lieben Dank ihr beiden für Eure Unterstützung! Ihr habt meinen Abend gerettet!
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