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Beweisen sie bitte mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] 0 + und alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 gilt:
[mm] (1+x)^n \ge [/mm] n²/4 *x² |
Hi
Der binomische Lehrsatz lautet:
[mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\i} [/mm] * [mm] a^i b^n^-^i
[/mm]
Habe kein peil wie ich da anfangen könnte...über einen Ansatz würde ich mich sehr freuen!
mfg
Jonas
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Hallo xXxJonasxXx!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Beweisen sie bitte mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes,
> dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] 0 + und alle n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2
> gilt:
> [mm](1+x)^n \ge[/mm] n²/4 *x²
> Hi
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> Der binomische Lehrsatz lautet:
> [mm](a+b)^n[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\i}[/mm] * [mm]a^i b^n^-^i[/mm]
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> Habe kein peil wie ich da anfangen könnte...über einen
> Ansatz würde ich mich sehr freuen!
> mfg
> Jonas
Tip: Den Binomischen Satz kannst du mit Hilfe vollständiger Induktion beweisen.
Induktionsanfang $\ (n=0) $
Induktionsvoraussetzung $\ (n=k) $
Induktionsbehauptung $\ (n=k+1) $
und abschliessend dein Induktionsbeweis.
Viele Grüße,
ChopSuey
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emm hoffe du hast mich richtig verstanden...ich soll ja mithilfe des binomischen lehrsatzes diese aufgabe beweisen und nicht den binomischen lehrsatzes direkt beweisen. Ist dein Tipp trotzdem gültig....???
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> emm hoffe du hast mich richtig verstanden...ich soll ja
> mithilfe des binomischen lehrsatzes diese aufgabe beweisen
> und nicht den binomischen lehrsatzes direkt beweisen. Ist
> dein Tipp trotzdem gültig....???
Hi,
tut mir leid, bin da irgendwie drüber geflogen.
Mit der vollständigen Induktion sind wir aber trozdem schonmal ganz gut bedient glaube ich. Der Beweis wird nun aber vermutlich auf ziemlich wackeligen Beinen stehen, versuchen wir's mal.
Es gilt mit Hilfe des Binomischen Satzes zu beweisen, dass
für alle $ x \in \IR_{0}^+ $ und alle $ n \in \IN $ mit $\ n \ge 2 $ gilt:
$\ (1+x)^n \ge $ $ \bruch{n²x^2}{4}$
liese sich auch schreiben als
$\ (1+x)^n \ge $ $ \left( \bruch{nx}{2}\right)^2$; für $ x \in \IR_{0}^+ $, $\ n \ge 2 $
Gemäß des Binomischen Lehrsatzes, gilt:
$\ (1+x)^n = \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\i}1^{n-i} x^i $
Induktionsanfang $\ (n=2)$ für $\ n \in \IN$, $\ n \ge 2 $
$\ (1+x)^2 \ge $ $ \left( \bruch{2x}{2}\right)^2 $
$\ \vektor{2 \\0}1^2 + \vektor{2 \\1}1*x^1 + \vektor{2 \\2} x^2 \ge \left( \bruch{2x}{2}\right)^2 $
$\ 1+ 2x + x^2 \ge \bruch{4x^2}{4} $
$\ 1+ 2x + x^2 \ge x^2 $; offensichtlich wahr für alle $ x \in \IR_{0}^+ $
Ich hoffe ich konnte dir bis hierher helfen.
Natürlich muss der Beweis zu Ende geführt werden, ich glaube aber, dass das schonmal ne ganz gute Richtung ist.
Übrigens:
In deinem Binomischen Satz ist ein kleiner Fehler, den ich auf den ersten Blick auch übersehen habe:
$ (a+b)^n $ = $ \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\i} a{\red{^i}} b^{\red{n^-^i}} $
richt hieße es:
$ \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\i} a{\blue{^{n-i}} b^{\blue{i}} $
Viele Grüße
ChopSuey
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