www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Beweis Carmichael-Funktion
Beweis Carmichael-Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis Carmichael-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Do 17.11.2016
Autor: MarcHe

Aufgabe
Sei $n>1$ ungerade mit Primfaktorzerlgung [mm] $n=p_1^{s_1}*...*p_r^{s_r}$. [/mm] Es sei [mm] $\lambda [/mm] (n) = [mm] kgV(\phi (p_1^{s_1}), [/mm] ..., [mm] \phi p_r^{s_r})$. [/mm]

a. Zeigen Sie: [mm] $a^{\lambda (n)}=1 [/mm] mod (n) $
b. $n$ ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn gilt [mm] $\lambda [/mm] (n)|n-1$

Hallo,

zu a. habe ich den folgenden Ansatz:

Nach dem chinesischen Restsatz kann man [mm] $a^{\lambda (n)}=1 [/mm] mod (n) $ auch als eine Menge der folgenden Kongruenzen auffassen:

Es ist [mm] $\lambda (p_1^{s_i})= \phi (p_r^{s_i}) [/mm] = [mm] p_i^{s_i-1}(p_i-1)$, [/mm] sodass [mm] $a^{\lambda (p_1^{s_1})} [/mm] = 1 mod [mm] p_1^{s_1}$ [/mm] für jedes [mm] p_i^{s_i} [/mm] mit $1<=i<=r$ gilt. Es gilt [mm] $\lambda (p_1^{s_i})|\lambda [/mm] (n)$, sodass weiter [mm] $a^{\lambda(n)}=(a^{\lambda (p_1^{s_1})})^{k}=1^k [/mm] = 1 mod [mm] p_1^{s_1}$. [/mm] Damit folgt [mm] $a^{\lambda (n)}=1 [/mm] mod (n) $.

Passt das so?

Wie würde ich jetzt bei b. vorgehen?

        
Bezug
Beweis Carmichael-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:42 Fr 18.11.2016
Autor: sinnlos123

Hi!
es wäre schön, wenn du etwas größere Gleichungen machst. (ich kann da fast nix erkennen)

Bezug
        
Bezug
Beweis Carmichael-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 So 20.11.2016
Autor: felixf

Moin Marc!

> Sei [mm]n>1[/mm] ungerade mit Primfaktorzerlgung
> [mm]n=p_1^{s_1}*...*p_r^{s_r}[/mm]. Es sei [mm]\lambda (n) = kgV(\phi (p_1^{s_1}), ..., \phi p_r^{s_r})[/mm].
>
> a. Zeigen Sie: [mm]a^{\lambda (n)}=1 mod (n)[/mm]

Was soll $a$ sein? Für $a = n$ gilt das schonmal ganz sicher nicht.

>  b. [mm]n[/mm] ist genau
> dann eine Carmichael-Zahl, wenn gilt [mm]\lambda (n)|n-1[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> zu a. habe ich den folgenden Ansatz:
>  
> Nach dem chinesischen Restsatz kann man [mm]a^{\lambda (n)}=1 mod (n)[/mm]
> auch als eine Menge der folgenden Kongruenzen auffassen:
>  
> Es ist [mm]\lambda (p_1^{s_i})= \phi (p_r^{s_i}) = p_i^{s_i-1}(p_i-1)[/mm],
> sodass [mm]a^{\lambda (p_1^{s_1})} = 1 mod p_1^{s_1}[/mm] für jedes
> [mm]p_i^{s_i}[/mm] mit [mm]1<=i<=r[/mm] gilt. Es gilt [mm]\lambda (p_1^{s_i})|\lambda (n)[/mm],
> sodass weiter [mm]a^{\lambda(n)}=(a^{\lambda (p_1^{s_1})})^{k}=1^k = 1 mod p_1^{s_1}[/mm].
> Damit folgt [mm]a^{\lambda (n)}=1 mod (n) [/mm].
>  
> Passt das so?

Wenn du manchmal $1$ durch $i$ ersetzt, schon :)

> Wie würde ich jetzt bei b. vorgehen?

Die eine Richtung folgt ziemlich direkt aus $a$. Für die andere Richtung beachte: Die Aussage [mm] $\lambda(n) \mid [/mm] (n - 1)$ ist äquivalent zu [mm] $\phi(p_i^{e_i}) \mid [/mm] (n - 1)$ für alle $i$. Es reicht also aus, dass zu zeigst: wenn $n$ Carmichael-Zahl ist, dann gilt [mm] $\phi(p_i^{e_i}) \mid [/mm] (n - 1)$ für alle $i$.

Was weisst du über die multiplikative Gruppe modulo [mm] $p_i^{e_i}$? [/mm]

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Beweis Carmichael-Funktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:33 Mo 21.11.2016
Autor: MarcHe

Hallo,

vielen Dank für deine Hilfe schonmal. Nochmal folgende Ergänzungen:

zu a: $ [mm] a^{\lambda (n)}=1 [/mm] mod (n) $ für alle $a [mm] \in (\IZ [/mm] /n [mm] \IZ)^{\times}$ [/mm]

zu b. habe ich nun folgenden Ansatz:

[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Sei $n$ eine Carmichael-Zahl für die gilt [mm] $a^{n-1} \equiv [/mm] 1 (mod n)$ für alle $a [mm] \in (\IZ [/mm] /n [mm] \IZ)^{\times}$. [/mm] Nach a. gilt ebenso $ [mm] a^{\lambda (n)}=1 [/mm] mod (n) $. Da $ord(a) <= [mm] \lambda [/mm] (n) < n-1$ folgt [mm] $\lambda [/mm] (n)|n-1$. Ok?

[mm] $\Leftarrow$ [/mm] Sei [mm] $\lambda [/mm] (n)|n-1$ dann gilt ebenso [mm] $\lambda (p_i^{s_i}) [/mm] |(n-1)$ bzw. [mm] $\phi(p_i^{s_i}) [/mm] |(n-1)$ für $1<=i<=r$ (muss ich diese äquivalenz nochmal beweisen). Ab wann komme ich zu dem Punkt, dass $n$ eine Carmichael Zahl sein muss?


Wenn ich in b. statt $n$ Carmichael Zahl, sondern Primzahl sage. Komme ich zu folgendes:

[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Sei $n$ eine Primzahl dann ist $ [mm] \lambda [/mm] (n)= [mm] \phi [/mm] (n) = n-1 $. Es folgt $n-1|n-1$.

[mm] $\Leftarrow$ [/mm] Hier habe ich das gleiche Problem wie oben. Wie komme ich zu der Erkenntnis, dass $n$ eine Primzahl sein muss?


Vielen Dank schonmal!



Bezug
                        
Bezug
Beweis Carmichael-Funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Fr 25.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de