Beweis Existenz Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 So 22.05.2016 | | Autor: | Ella |
| Aufgabe | Es sei f:[0, [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine Funktion, die für jedes t>0 auf dem Intervall [0,t] integrierbar ist. Es existiere [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = c [mm] \in \IR [/mm] .
Zeigen Sie, dass dann bereits gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = c. |
Hey,
ich sitze vor dieser Aufgabe und habe echt keinerlei Vorstellung, wie diese Aufgabe auch nur gemeint ist. Wie ist zum Beispiel das x und t gemeint? Ich verstehe nicht, ob das x zum Beispiel nun zwischen 0 und t liegen muss, da das Integral ja "nur" auf [0,t] integrierbar ist.
Vielen Dank für jede Hilfe!!
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei f:[0, [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine Funktion, die für jedes
> t>0 auf dem Intervall [0,t] integrierbar ist. Es existiere
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = c [mm]\in \IR[/mm] .
> Zeigen Sie, dass dann bereits gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\ \ \bruch{1}{x} \integral_{0}^{x}{f(t) dt}\ =\ c\,.[/mm]
> Hey,
>
> ich sitze vor dieser Aufgabe und habe echt keinerlei
> Vorstellung, wie diese Aufgabe auch nur gemeint ist. Wie
> ist zum Beispiel das x und t gemeint? Ich verstehe nicht,
> ob das x zum Beispiel nun zwischen 0 und t liegen muss, da
> das Integral ja "nur" auf [0,t] integrierbar ist.
Guten Abend Ella
und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Definiere zum Beispiel $\ F(x)\ :=\ [mm] \integral_{0}^{x}{f(t)\ dt}$
[/mm]
und $\ m(x)\ :=\ [mm] \frac{F(x)}{x}$
[/mm]
m(x) steht dann für den Durchschnittswert von f über dem
Intervall von 0 bis x.
Nun soll der Grenzwert von m(x) für x [mm] \to \infty [/mm] betrachtet werden.
Überleg dir also einmal, wie man zeigen kann, dass für jedes
positive [mm] \varepsilon [/mm] ein Wert K bestimmt werden kann mit der
Eigenschaft, dass
$\ [mm] |\,m(x)\,-\,c\,|\ [/mm] <\ [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle x mit x > K
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f:[0, [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine Funktion, die für jedes
> t>0 auf dem Intervall [0,t] integrierbar ist. Es existiere
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = c [mm]\in \IR[/mm] .
> Zeigen Sie, dass dann bereits gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} \integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> = c.
> Hey,
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> ich sitze vor dieser Aufgabe und habe echt keinerlei
> Vorstellung, wie diese Aufgabe auch nur gemeint ist. Wie
> ist zum Beispiel das x und t gemeint? Ich verstehe nicht,
> ob das x zum Beispiel nun zwischen 0 und t liegen muss, da
> das Integral ja "nur" auf [0,t] integrierbar ist.
Sei x>0: mit [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] ist das Integral von f über das Intervall [0,x] gemeint.
Tipp zur Aufgabe: Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Edit: es geht auch ohne den Mittelwertsatz.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann gibt es ein a>0 mit:
[mm] c-\varepsilon [/mm] <f(t)< [mm] c+\varepsilon [/mm] für alle t [mm] \ge [/mm] a.
Nun spalte auf:
[mm] \bruch{1}{x} \integral_{0}^{x}{f(t) dt}= \bruch{1}{x} \integral_{0}^{a}{f(t) dt}+ \bruch{1}{x} \integral_{a}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
für x [mm] \ge [/mm] a.
FRED
FRED
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> Vielen Dank für jede Hilfe!!
> LG
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Mo 23.05.2016 | | Autor: | Ella |
Super. vielen lieben Dank. Haben jetzt die Loesung hinbekommen ! :)
LG
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