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| Aufgabe | Beweise: [mm] $\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}\ge [/mm] n!$.
Hinweis: Benutze die bernoullische Ungleichung. |
Hallo!
Ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen.
Vor allem wundert mich, dass ich die bernoullische Ungleichung anwenden soll, die ja eigentlich viel zu grob abschätzt.
Mit dem binomischen Lehrsatz habe ich es folgendermaßen hinbekommen:
IA: n = 0 ok.
Induktionsschritt: [mm]n\to n+1[/mm]
[mm]\left(\frac{(n+1)+1}{2}\right)^{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}}*\sum_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1\\
k}*(n+1)^{k}\ge \frac{1}{2^{n+1}}*\left[\vektor{n+1\\
n}*(n+1)^{n} + \vektor{n+1\\
n+1}*(n+1)^{n+1}\right][/mm]
[mm]= \frac{1}{2^{n+1}}*2*(n+1)^{n+1} = (n+1)*\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} \overset{IV}{\ge} (n+1)*n! = (n+1)![/mm].
Gibt es eine "direkte" Variante, die auch irgendwie die bernoullische Ungleichung benutzt?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Fr 03.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweise: [mm]\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}\ge n![/mm].
> Hinweis:
> Benutze die bernoullische Ungleichung.
> Hallo!
>
> Ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen.
> Vor allem wundert mich, dass ich die bernoullische
> Ungleichung anwenden soll, die ja eigentlich viel zu grob
> abschätzt.
> Mit dem binomischen Lehrsatz habe ich es folgendermaßen
> hinbekommen:
>
> IA: n = 0 ok.
> Induktionsschritt: [mm]n\to n+1[/mm]
>
> [mm]\left(\frac{(n+1)+1}{2}\right)^{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}}*\sum_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1\\
k}*(n+1)^{k}\ge \frac{1}{2^{n+1}}*\left[\vektor{n+1\\
n}*(n+1)^{n} + \vektor{n+1\\
n+1}*(n+1)^{n+1}\right][/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2^{n+1}}*2*(n+1)^{n+1} = (n+1)*\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} \overset{IV}{\ge} (n+1)*n! = (n+1)![/mm].
>
> Gibt es eine "direkte" Variante, die auch irgendwie die
> bernoullische Ungleichung benutzt?
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
> Grüße,
> Stefan
Hallo,
das erste Glied der linken Seite lautet beim binomischen Satz [mm] (\bruch{n}{2})^n [/mm] (also n gleiche Faktoren [mm] \bruch{n}{2}).
[/mm]
Der Term n! hat die Faktoren von 1 bis n; diese Faktoren besitzen einen Mittelwert m. Die anderen Faktoren der Fakultät lassen sich von m aus gesehen schreiben als m-1, m+1, m-2, m+2 ... (oder - je nachdem, om m selbst eine natürliche Zahl ist oder nicht- auch als m-0,5; m+0,5; m-1,5; m+1,5 usw.
Klingt nach einer Abschätzung über die dritte binomische Formel, oder?
Vermutlich muss aus der zweite Summand aus dem binomischen Satz noch einbezogen werden.
Gruß Abakus
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Hallo Stefan,
ich sehe auch keinen Weg, der am Haus von Jakob Bernoulli einkehrt.
Die Idee von abakus geht aber auch ohne das Binomialgedöns.
Für gerade n=2k untersuchst Du, ob bei der Ausmultiplikation der Fakultät "von außen" folgendes gilt:
[mm] \left(\bruch{n+1}{2}\right)^\blue{2}\ge{a(n-a+1)}
[/mm]
pardon, da fehlte das Quadrat!
Dabei ist [mm] a\in\IN, a\le\bruch{n+1}{2}
[/mm]
Das ist leicht zu zeigen. Und wenn mans dann recht bedenkt, hat man die ungeraden n=2k+1 doch gleich mit erledigt, auch wenn man den alleinstehenden "mittleren Faktor" [mm] k+1=\bruch{n+1}{2} [/mm] eigentlich nicht hätte quadrieren müssen, um die einzige Gleichheit zu finden.
Alles klar?
Grüße
reverend
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