Beweis Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Und ich bins nochmal.
Und zwar habe ich bei mehreren Konvergenz-Aufgaben Schwierigkeiten zu beginnen:
z.B.:
zu zeigen, dass eine Folge divergent ist
oder, dass eine Folge nicht bestimmt divergiert/Grenzwert nicht existiert
oder wie ich beginne Konvergenz zu zeigen ohne den Grenzwert zu wissen?(also anders als in der Übungsaufgabe eben)
Gibt es hier eine Art Rezept nach dem man vorgehen kann?
Bei Konvergenz mit bekanntem Grenzwert beginnt man also nach der Definition einzusetzen, vereinfacht und schätzt mit n und N ab und erhält so sein [mm] \varepsilon.
[/mm]
Über ein Erklärung wäre ich sehr dankbar. 
Beste Grüße
Neuling88
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Hallo Neuling88,
hattet Ihr schon Konvergenzkriterien? Für Folgen sind das nicht so viele. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Wo und wie man aber anfängt, wenn man eine Folge auf Konvergenz überprüfen will, lässt sich so allgemein nicht wirklich sagen. In jedem Fall will man ja das Verhalten "gegen unendlich" untersuchen. Da muss man je nach Konstruktion der Folge unter Umständen immer mal anders rangehen. Im großen und ganzen hilft einem aber normalerweise eine Grenzwertuntersuchung zumindest schonmal, die Folge "kennenzulernen". Selbst wenn die Untersuchung noch nicht erfolgreich ist, hat man meistens schon einen besseren Einblick bzw. eine Idee, in welche Richtung man weiter etwas überprüfen könnte.
Deine Übungsaufgaben werden Dich bestimmt an ein paar typische Fälle heranführen. 
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
ich soll jetzt zum Beispiel beweisen, dass
lim [mm] x^n=+\infty [/mm] für x>1
[mm] n\to\infty
[/mm]
dass es so ist, ist klar. Nur ich habe jetzt Probleme das zu beweisen und aufzuschreiben.
Ich habe folgendes über Divergenzbeweise gefunden:
Wie führe ich einen Divergenzbeweis?
Hier gibt es auch verschiedene Methoden. Vorschlag für eine Divergenz gegen [mm] +\infty:
[/mm]
Zu zeigen: Es gibt ein [mm] n_0 \in [/mm] N, ab dem alle [mm] a_n [/mm] größer als ein beliebig großes M werden.
Sei M > 0 beliebig. Wähle nun [mm] n_0 [/mm] = [mm] n_0(M) [/mm] =___ . Dann gilt [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] :
[mm] \left| a_n \right| [/mm] = ...abschätzen ... > M
aber wie soll
[mm] \left| x^n \right| [/mm] abgeschätzt werden?
Danke schonmal im voraus für die Antwort.
Grüße
Neuling88
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Hallo Neuling,
> Hallo reverend,
>
> ich soll jetzt zum Beispiel beweisen, dass
>
> lim [mm]x^n=+\infty[/mm] für x>1
> [mm]n\to\infty[/mm]
>
> dass es so ist, ist klar. Nur ich habe jetzt Probleme das
> zu beweisen und aufzuschreiben.
> Ich habe folgendes über Divergenzbeweise gefunden:
>
> Wie führe ich einen Divergenzbeweis?
> Hier gibt es auch verschiedene Methoden. Vorschlag für
> eine Divergenz gegen [mm]+\infty:[/mm]
> Zu zeigen: Es gibt ein [mm]n_0 \in[/mm] N, ab dem alle [mm]a_n[/mm] größer
> als ein beliebig großes M werden.
Achte auf die Reihenfolge der Quantoren, wenn du es so gemeint hast, wie ich jetz aufschreibe, hast du recht!
zz: Für bel. $M>0$ gibt es ein [mm] $n_0\in\IN$, [/mm] so dass für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] (="ab dem") [mm] $|a_n|>M$
[/mm]
Das "Für alle M" muss nach vorne vor den Existenzquantor!
>
> Sei M > 0 beliebig.
Aha, hier machst du's richtig!
> Wähle nun [mm]n_0[/mm] = [mm]n_0(M)[/mm] =___ . Dann
> gilt [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm] :
> [mm]\left| a_n \right|[/mm] = ...abschätzen ... > M
>
> aber wie soll
> [mm]\left| x^n \right|[/mm] abgeschätzt werden?
Das [mm]n_0[/mm] wählst du am Schluss! Es läuft bei derartigen Beweisen immer so, dass du auf einem Schmierblatt diesen Betrag abschätzt und so dein [mm]n_0[/mm] "konstruierst".
Nachher schreibst du das dann schön auf, als wär's vom Himmel gefallen:
Sei [mm]M>0[/mm] bel., wähle [mm]n_0:=...[/mm], dann gilt für alle [mm]n\ge n_0[/mm]: [mm]\left|x^n\right|>....> M[/mm]
Also auf dem Schmierblatt:
[mm]\left|x^n\right|=x^n\overset{!}{>}M[/mm]
Das gilt es nach [mm]n[/mm] aufzulösen, um das (bzw. ein) [mm]n_0[/mm] abzugreifen.
Und das sollte doch klappen
>
>
> Danke schonmal im voraus für die Antwort.
>
> Grüße
> Neuling88
>
>
Gruß
schachuzipus
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> > Wie führe ich einen Divergenzbeweis?
> > Hier gibt es auch verschiedene Methoden. Vorschlag für
> > eine Divergenz gegen [mm]+\infty:[/mm]
> > Zu zeigen: Es gibt ein [mm]n_0 \in[/mm] N, ab dem alle [mm]a_n[/mm]
> größer
> > als ein beliebig großes M werden.
>
> Achte auf die Reihenfolge der Quantoren, wenn du es so
> gemeint hast, wie ich jetz aufschreibe, hast du recht!
>
> zz: Für bel. [mm]M>0[/mm] gibt es ein [mm]n_0\in\IN[/mm], so dass für alle
> [mm]n\ge n_0[/mm] (="ab dem") [mm]|a_n|>M[/mm]
>
> Das "Für alle M" muss nach vorne vor den Existenzquantor!
Ja habe ich so gemeint
> >
> > Sei M > 0 beliebig.
>
> Aha, hier machst du's richtig!
>
> > Wähle nun [mm]n_0[/mm] = [mm]n_0(M)[/mm] =___ . Dann
> > gilt [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_0[/mm] :
> > [mm]\left| a_n \right|[/mm] = ...abschätzen ... > M
> >
> > aber wie soll
> > [mm]\left| x^n \right|[/mm] abgeschätzt werden?
>
> Das [mm]n_0[/mm] wählst du am Schluss! Es läuft bei derartigen
> Beweisen immer so, dass du auf einem Schmierblatt diesen
> Betrag abschätzt und so dein [mm]n_0[/mm] "konstruierst".
>
> Nachher schreibst du das dann schön auf, als wär's vom
> Himmel gefallen:
>
> Sei [mm]M>0[/mm] bel., wähle [mm]n_0:=...[/mm], dann gilt für alle [mm]n\ge n_0[/mm]:
> [mm]\left|x^n\right|>....> M[/mm]
>
> Also auf dem Schmierblatt:
>
> [mm]\left|x^n\right|=x^n\overset{!}{>}M[/mm]
>
> Das gilt es nach [mm]n[/mm] aufzulösen, um das (bzw. ein) [mm]n_0[/mm]
> abzugreifen.
>
> Und das sollte doch klappen
Ok ich hoffe es hat geklappt und ich hab richtig verstanden:
Sei zunächst [mm] n
[mm] \left| x^n \right|<\left| x^n_0 \right|< x^n_0=x^{\bruch{ln(K)}{ln(x)}}=K
[/mm]
So richtig?
Danke schon fürs drüberschauen
Grüße
Neuling88
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Fr 29.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich hoffe es hat geklappt und ich hab richtig
> verstanden:
> Sei zunächst [mm]n
>
> [mm]\left| x^n \right|<\left| x^n_0 \right|< x^n_0=x^{\bruch{ln(K)}{ln(x)}}=K[/mm]
>
> So richtig?
Nee, was machst Du da eigentlich ?
x>1. [mm] x^n [/mm] >M [mm] \gdw [/mm] n*log(x) > log(M) [mm] \gdw [/mm] .....
FRED
>
> Danke schon fürs drüberschauen
>
> Grüße
> Neuling88
>
>
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Eine kurze Frage zur Schreibweise habe ich noch:
Man findet in Bücher und im Netz und auch bei mir im Skript bei den Definitionen immer entweder [mm] n_0
Also [mm] n_0 [/mm] ist das gleiche wie N?
Grüße
Neuling88
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Fr 29.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Eine kurze Frage zur Schreibweise habe ich noch:
>
> Man findet in Bücher und im Netz und auch bei mir im
> Skript bei den Definitionen immer entweder [mm]n_0
> Aber es bedeutet doch quasi das gleiche oder?
Ja, das "quasi" kannst Du streichen.
> nur, dass N
> den Zeitpunkt meint und [mm]n_0[/mm] das erste n nach N beschreibt
Quatsch
> oder?
> Also [mm]n_0[/mm] ist das gleiche wie N?
Ja
FRED
>
> Grüße
> Neuling88
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Neuling88 |
Ich habe Unfug gemacht:
>
> Ok ich hoffe es hat geklappt und ich hab richtig
> verstanden:
> Sei zunächst [mm]n
>
> [mm]\left| x^n \right|<\left| x^n_0 \right|< x^n_0=x^{\bruch{ln(K)}{ln(x)}}=K[/mm]
Soll sein
[mm]\left| x^n \right|>\left| x^(n_0) \right|> x^(n_0)=x^{\bruch{ln(K)}{ln(x)}}=K[/mm]
> So richtig?
>
> Danke schon fürs drüberschauen
>
> Grüße
> Neuling88
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Fr 29.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe Unfug gemacht:
>
> >
> > Ok ich hoffe es hat geklappt und ich hab richtig
> > verstanden:
> > Sei zunächst [mm]n
> >
> > [mm]\left| x^n \right|<\left| x^n_0 \right|< x^n_0=x^{\bruch{ln(K)}{ln(x)}}=K[/mm]
>
> Soll sein
> [mm]\left| x^n \right|>\left| x^(n_0) \right|> x^(n_0)=x^{\bruch{ln(K)}{ln(x)}}=K[/mm]
Wer soll das verstehen ?
FRED
> > So richtig?
> >
> > Danke schon fürs drüberschauen
> >
> > Grüße
> > Neuling88
> >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Fr 29.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> aber wie soll
> [mm]\left| x^n \right|[/mm] abgeschätzt werden?
Weitere Möglichkeit (mit der Bernoullischen Ungl.):
x>1 [mm] \Rightarrow [/mm] x=1+t mit einem t>0 [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] x^n [/mm] = [mm] (1+t)^n \ge [/mm] 1+nt [mm] \ge [/mm] nt$
FRED
>
>
> Danke schonmal im voraus für die Antwort.
>
> Grüße
> Neuling88
>
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Ok sorry, dass ich etwas lästig bin, aber ich steh gerade was aufm Schlauch:
Also mir wurde eben der Tipp gegeben:
> Sei M>0 bel., wähle [mm] n_0:=... [/mm] , dann gilt für alle [mm] n\ge [/mm] : [mm] \left| x^n \right|>...>M [/mm]
>
>
> Also auf dem Schmierblatt:
> [mm] \left| x^n \right|=x^n>M
[/mm]
>
>
> Das gilt es nach n aufzulösen, um das (bzw. ein) [mm] n_0
[/mm]
> abzugreifen.
>
So ich habe das jetzt so versucht:
Sei n>N und M>0 dann
[mm] \left| x^n \right|=x^n>x^N>M
[/mm]
[mm] x^N>M [/mm] nach N auflösen ergibt
[mm] N>\bruch{ln M}{ln x}
[/mm]
Dann [mm] x^n>x^N>x^\bruch{ln M}{ln x}=M
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
grüße
der verzweifelte Neuling
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Hallo nochmal,
> Ok sorry, dass ich etwas lästig bin, aber ich steh gerade
> was aufm Schlauch:
> Also mir wurde eben der Tipp gegeben:
>
> > Sei M>0 bel., wähle [mm]n_0:=...[/mm] , dann gilt für alle [mm]n\ge[/mm] :
> [mm]\left| x^n \right|>...>M[/mm]
> >
> >
> > Also auf dem Schmierblatt:
> > [mm]\left| x^n \right|=x^n>M[/mm]
> >
> >
> > Das gilt es nach n aufzulösen, um das (bzw. ein) [mm]n_0[/mm]
> > abzugreifen.
> >
> So ich habe das jetzt so versucht:
> Sei n>N und M>0 dann
>
> [mm]\left| x^n \right|=x^n>x^N>M[/mm]
> [mm]x^N>M[/mm] nach N auflösen
> ergibt
> [mm]N>\bruch{ln M}{ln x}[/mm]
>
> Dann [mm]x^n>x^N>x^\bruch{ln M}{ln x}=M[/mm]
>
> Was habe ich falsch gemacht?
Das ist richtig gerechnet, bedenke, dass [mm]N[/mm] eine nat. Zahl sein muss und die Reihenfolge beim Aufschreiben:
Sei [mm]M>[/mm] beliebig. Wähle [mm]N:=\left[\frac{\ln(M)}{\ln(x)}\right]+1[/mm] (für ein konkretes [mm]N[/mm], meinetwegen auch [mm]N>..[/mm])
Dann gilt für alle [mm]n\ge N[/mm]:
[mm]|x^n|=x^n\ge x^{N}=e^{N\ln(x)}>e^{\frac{\ln(M)}{\ln(x)}\cdot{}\ln(x)}=e^{\ln(M)}=M[/mm]
Gruß
schachuzipus
>
> grüße
> der verzweifelte Neuling
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
