Beweis, Häufungspunkt, konverg < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:28 So 10.11.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt hat. |
Hi, ich soll obiges beweisen und würde dafür unter Umständen etwas Hilfe beanspruchen.
Zu zeigen ist, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt hat.
Hier wird ja eindeutig eine Äquivalenz ausgedrückt. Deshalb würde ich gerne zeigen, dass aus Konvergenz folgt, dass eine Folge beschränkt ist und einen Häufungspunkt hat und danach, dass eine beschränkte Folge mit genau einem Häufungspunkt auch konvergent ist.
Nun ja:
Beweis:
Sei [mm] a_n [/mm] eine konvergente Folge. Dann ist sie nach Definition auch eine Cauchyfolge und damit beschränkt.
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge, was äquivalent zu der Aussage ist, dass es einen Häufungspunkt gibt.
Wäre der erste Teil des Beweises wirklich damit vollbracht? Ich wende ja eigentlich nur die Sätze und Definitionen der Vorlesungen an ohne eigentlich etwas zu tun.
Nun ja, die andere Implikation habe ich damit ja eigentlich schon mitgezeigt, da ja überall äquivalenzen verwendet werden.
Da dies jedoch viel zu einfach wäre, gehe ich mal davon aus, dass es falsch ist, lasse mich aber auch gerne vom Gegenteil überzeugen. 
Über Tipps würde ich mich sehr freuen. Wenn mein "Beweis" falsch ist, dann würde ich es erst gerne noch einmal alleine versuchen wollen bevor ihr mir dann so richtig helfen könnt.
Danke im Voraus.
mfg
Selbstverständlich habe ich diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn
> sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt hat.
> Hi, ich soll obiges beweisen und würde dafür unter
> Umständen etwas Hilfe beanspruchen.
>
> Zu zeigen ist, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn
> sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt hat.
>
> Hier wird ja eindeutig eine Äquivalenz ausgedrückt.
> Deshalb würde ich gerne zeigen, dass aus Konvergenz folgt,
> dass eine Folge beschränkt ist und
genau (!!!)
> einen Häufungspunkt
> hat und danach, dass eine beschränkte Folge mit genau
> einem Häufungspunkt auch konvergent ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, die beiden Richtungen sind zu zeigen.
>
> Nun ja:
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]a_n[/mm] eine konvergente Folge. Dann ist sie nach
> Definition
Nein.
Aber nach einem Satz.
> auch eine Cauchyfolge
Nach Satz ist jede Cauchyfolge beschränkt,
und damit ist [mm] (a_n)
[/mm]
> und damit beschränkt.
> Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt jede
> beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge, was
> äquivalent zu der Aussage ist, dass es einen
> Häufungspunkt gibt.
So weit, so gut.
Du mußt aber zeigen, daß es genau einen Häufungspunkt gibt.
>
> Wäre der erste Teil des Beweises wirklich damit
> vollbracht? Ich wende ja eigentlich nur die Sätze und
> Definitionen der Vorlesungen an ohne eigentlich etwas zu
> tun.
Ist doch super. Da erntet man die Früchte der Bemühungen von zuvor.
>
> Nun ja, die andere Implikation habe ich damit ja eigentlich
> schon mitgezeigt, da ja überall äquivalenzen verwendet
> werden.
Nein.
"konvergent ==> Cauchy" kann man i.a. nicht umdrehen.
>
> Da dies jedoch viel zu einfach wäre, gehe ich mal davon
> aus, dass es falsch ist,
Es ist noch nicht ganz richtig,
aber manchmal sind richtige Sachen durchaus einfach!
> lasse mich aber auch gerne vom
> Gegenteil überzeugen.
>
> Über Tipps würde ich mich sehr freuen. Wenn mein "Beweis"
> falsch ist, dann würde ich es erst gerne noch einmal
> alleine versuchen wollen
Das ist die richtige Einstellung!
LG Angela
> bevor ihr mir dann so richtig
> helfen könnt.
>
> Danke im Voraus.
>
> mfg
>
> Selbstverständlich habe ich diese Frage in keinem anderem
> Forum gestellt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 So 10.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Hallo, entschuldige, dass ich erst so spät antworte, aber ich blicke noch nicht ganz durch den Aufbau dieses Forums durch. Deshalb habe ich deine Antwort erst jetzt gesehen. Okay die "Hinrichtung" sollte dann soweit passen, wenn ich zeige, dass es genau einen Häufungspunkt gibt. Danach dann die "Rückrichtung".
Werde es nun probieren. Dann melde ich mich wieder.
Vielen Dank schon mal für die Hilfe. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 10.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Also ich habe jetzt länger darüber nachgedacht und scheitere ein wenig daran zu zeigen, dass es nur einen Häufungspunkt in diesem Fall geben kann.
Mein Beweis sähe nun so aus:
Da [mm] $a_n$ [/mm] konvergiert, ist sie auch eine Cauchyfolge und daher beschränkt und monoton. Aus der Beschränktheit folgt nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß, dass eine konvergente Teilfolge existiert, was gerade dazu äquivalent ist, dass es einen Häufungspunkt gibt. Nun ist noch zu zeigen, dass dies der einzige Häufungspunkt sein kann.
Ich hatte nun gedacht, dass ich eben zeige, dass wenn es einen zweiten Häufungspunkt geben würde, dieser mit dem ersten übereinstimmen muss. Ich würde deshalb nun eine weitere Teilfolge von [mm] $a_n$ [/mm] betrachten.
Nun hätte ich also zwei Teilfolgen, wo ich von der einen weiß, dass sie den Häufungspunkt $a$ hat.
Sei [mm] $(a_{n_k})$ [/mm] Teilfolge von [mm] $a_n$ [/mm] mit Häufungspunkt $a$. Daher gilt [mm] $\forall\epsilon [/mm] >0$ ist [mm] $\{n\in\mathbb{N}| |a_n-a|<\epsilon\}$ [/mm] nicht endlich.
Wie zeige ich nun, dass die zweite Teilfolge den selben Häufungspunkt hat und es daher der einzige sein muss. Ich denke da an den Beweis, dass der Grenzwert einer Folge eindeutig ist und würde vielleicht eine Abschätzung über die Dreiecksungleichung anstreben nur leider weiß ich nicht wie ich nun die zweite Teilfolge formulieren kann und was ich da voraussetzen darf. Möglicherweise kann ich hier die Monotonie Eigenschaft von [mm] $a_n$ [/mm] verwenden.
Oder kann man es auch leichter angehen? Könnte man so die erste Implikation zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 So 10.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe jetzt länger darüber nachgedacht und
> scheitere ein wenig daran zu zeigen, dass es nur einen
> Häufungspunkt in diesem Fall geben kann.
>
> Mein Beweis sähe nun so aus:
>
> Da [mm]a_n[/mm] konvergiert, ist sie auch eine Cauchyfolge
Ja
> und daher
> beschränkt
Ja
> und monoton.
Nein ! Wie kommst Du darauf ?
> Aus der Beschränktheit folgt nach
> dem Satz von Bolzano-Weierstraß, dass eine konvergente
> Teilfolge existiert, was gerade dazu äquivalent ist, dass
> es einen Häufungspunkt gibt. Nun ist noch zu zeigen, dass
> dies der einzige Häufungspunkt sein kann.
>
> Ich hatte nun gedacht, dass ich eben zeige, dass wenn es
> einen zweiten Häufungspunkt geben würde, dieser mit dem
> ersten übereinstimmen muss. Ich würde deshalb nun eine
> weitere Teilfolge von [mm]a_n[/mm] betrachten.
>
> Nun hätte ich also zwei Teilfolgen, wo ich von der einen
> weiß, dass sie den Häufungspunkt [mm]a[/mm] hat.
>
> Sei [mm](a_{n_k})[/mm] Teilfolge von [mm]a_n[/mm] mit Häufungspunkt [mm]a[/mm]. Daher
> gilt [mm]\forall\epsilon >0[/mm] ist [mm]\{n\in\mathbb{N}| |a_n-a|<\epsilon\}[/mm]
> nicht endlich.
>
> Wie zeige ich nun, dass die zweite Teilfolge den selben
> Häufungspunkt hat und es daher der einzige sein muss. Ich
> denke da an den Beweis, dass der Grenzwert einer Folge
> eindeutig ist und würde vielleicht eine Abschätzung über
> die Dreiecksungleichung anstreben nur leider weiß ich
> nicht wie ich nun die zweite Teilfolge formulieren kann und
> was ich da voraussetzen darf. Möglicherweise kann ich hier
> die Monotonie Eigenschaft von [mm]a_n[/mm] verwenden.
>
> Oder kann man es auch leichter angehen? Könnte man so die
> erste Implikation zeigen?
Zeige: ist [mm] (a_n) [/mm] konvergent und a ihr Limes, so konv. jede Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] gegen a.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 10.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Wir haben einen Satz, dass eine monotone, beschränkte Folge konvergiert. Das habe ich dann wohl verwechselt. Dachte eine Cauchyfolge sei dann immer monoton und beschränkt. Okay, streichen wir die Monotonie.
Sei [mm] $\lim_{n\to\infty} a_n=a$
[/mm]
Und ich soll nun zeigen, dass der Grenzwert jeder Teilfolge von [mm] a_n [/mm] ebenfalls den Grenzwert $a$ hat.
Dann sei [mm] (a_{n_k})_{k\in\mathbb{N}} [/mm] eine beliebige Teilfolge von [mm] $a_n$.
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $\lim_{n\to\infty} a_{n_k}=a$
[/mm]
Das würde ich nun mit dem Epsilonkriterium machen.
[mm] $\forall\epsilon>0\exist N\in\mathbb{N} \forall n\geq N:|a_n-a|<\epsilon$
[/mm]
Kann ich hier nun den Gedanken mit der Dreiecksungleichung ins Spiel bringen?
[mm] $|a_{n_k}-a|=|a_{n_k}-a_n+a_n-a|\leq|a_{n_k}-a_n|+|a_n-a|$
[/mm]
[mm] $\epsilon:=\frac{\epsilon}{2}$
[/mm]
[mm] $<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 10.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wir haben einen Satz, dass eine monotone, beschränkte
> Folge konvergiert. Das habe ich dann wohl verwechselt.
> Dachte eine Cauchyfolge sei dann immer monoton und
> beschränkt. Okay, streichen wir die Monotonie.
>
> Sei [mm]\lim_{n\to\infty} a_n=a[/mm]
>
> Und ich soll nun zeigen, dass der Grenzwert jeder Teilfolge
> von [mm]a_n[/mm] ebenfalls den Grenzwert [mm]a[/mm] hat.
>
> Dann sei [mm](a_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}[/mm] eine beliebige
> Teilfolge von [mm]a_n[/mm].
>
> Zu zeigen: [mm]\lim_{n\to\infty} a_{n_k}=a[/mm]
>
> Das würde ich nun mit dem Epsilonkriterium machen.
>
> [mm]\forall\epsilon>0\exist N\in\mathbb{N} \forall n\geq N:|a_n-a|<\epsilon[/mm]
>
> Kann ich hier nun den Gedanken mit der Dreiecksungleichung
> ins Spiel bringen?
>
> [mm]|a_{n_k}-a|=|a_{n_k}-a_n+a_n-a|\leq|a_{n_k}-a_n|+|a_n-a|[/mm]
>
> [mm]\epsilon:=\frac{\epsilon}{2}[/mm]
>
> [mm]<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon[/mm]
>
>
Ist [mm] \epsilon>0, [/mm] so ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] |a_n-a|< \epsilon [/mm] für alle n>N.
Sei nun [mm] k_0 [/mm] so groß, dass [mm] n_{k_0}>N [/mm] ist. Dann haben wir für [mm] k>k_0:
[/mm]
[mm] |a_{n_k}-a|< \epsilon [/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 10.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Und das wäre dann schon der Beweis?
Also wenn ich das richtig verstehe, dann wählt man das Folgeglied der Teilfolge gerade so groß, dass es innerhalb des Epsilonstreifen liegt. Und damit wäre die Behauptung schon bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Di 12.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, das reicht aus. Damit ist gezeigt, dass diese Teilfolge auch gegen $a$ geht. Alternativ kannst du davon ausgehen, dass es 2 Häufungspunkte gibt und das zum Widerspruch führen (wähle die beiden [mm] \varepsilon-Umgebungen [/mm] um die beiden Grenzwerte $a, a'$ so, dass sie sich nicht überlappen).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Di 12.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Also:
Voraussetzung: [mm] $a_n$ [/mm] ist eine beschränkte Folge mit genau einem Häufungspunkt.
Zu zeigen: [mm] $a_n$ [/mm] ist konvergent.
Beweis:
Sei [mm] $a_n$ [/mm] eine beschränkte Folge mit genau einem Häufungspunkt $a$. Wenn $a$ nicht der Grenzwert von [mm] $a_n$ [/mm] wäre, dann würde es eine Teilfolge [mm] $b_n$ [/mm] geben, die selbst wieder beschränkt sein muss und daher noch Bolzano-Weierstraß einen Häufungspunkt $b$ hat. Dies müsste dann auch ein Häufungspunkt von [mm] $a_n$ [/mm] sein. Da [mm] $a_n$ [/mm] jedoch genau einen Häufungspunkt hat muss $a=b$ gelten womit $a$ tatsächlich der Grenzwert der Folge ist und sie somit konvergiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Di 12.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Ja genau, so kannst du das machen! Ich würde nur noch den Widerspruch deutlicher vorheben, also im Sinne von
Annahme: a ist nicht der Grenzwert.
Textextextext
Es gibt nen 2. Häufungspunkt [mm] $b\not=a$.
[/mm]
Textextext
Daraus folgt a=b. Widerspruch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Di 12.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Super, vielen Dank.
Ich werde den kompletten Beweis später noch einmal in modifizierter Form posten.
Wäre nett wenn du dann nochmal dadrüber gucken kannst. Werde dies aber etwas später diesen Abend machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Di 12.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem. :) Wird aber dann vermutlich jemand anders durchgucken, weil ich dann schlafen werde, dank +8h Zeitverschiebung.
おやすみ。
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mo 11.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Über weitere Anmerkungen würde ich mich sehr freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Di 12.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Schade, dass sich Erst und Zweithelfer nicht verpflichtet fühlen diesen Thread zu einem anständigem Ende zu bringen. :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Di 12.11.2013 | | Autor: | Teufel |
Ja, es kann frustrierend sein, wenn man die Antwort schnell haben will, aber bedenke, dass hier alles auf freiwilliger Basis geschieht! Deswegen ist solch eine Erwartungshaltung etwas unangebracht. Die Leute hier haben auch noch ein anderes Leben, außerhalb des Matheraums. ;) Verpflichtet fühlen müssen sie sich auch zu nichts hier.
Aber genug genörgelt, die Hinrichtung ist jetzt ok, oder? Dann versuchen wir jetzt mal die Rückrichtung! Mir würde spontan ein Widerspruchsbeweis einfallen, aber vielleicht findest du ja auch etwas anderes. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Di 12.11.2013 | | Autor: | YuSul |
Ich bin selber als Helfer in einem Forum aktiv. Wenn ich dort auf eine Frage antworte, dann tu ich dies in der Gewissheit dem Fragesteller effektive, zeitnahe Hilfe zu gewährleisten. Dem Fragesteller unterstützung bis zum Ende zu leisten sollte mit an oberster Stelle stehen.
Es ist aber durchaus klar, dass man als Helfer dennoch nicht antworten muss. Es ist nur Schade, dass nicht geantwortet wird obwohl die Helfer online sind.
Aber das möchte ich auch nun nicht weiter vertiefen. Ich freue mich jedenfalls über jede Antwort die ich bekomme, habe aber auch genau so gerne die Gewissheit, dass diese nicht einmalig war.
Zurück zur Frage:
Okay, dann werde ich mich nun an die Rückrichtung setzen. Vielleicht probiere ich es ja mal mit dem Widerspruch.
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