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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Di 23.01.2007 | | Autor: | Magnia |
Hey
soll folgendes beweisen:
1/2 + 1/4 + 1/8 .... [mm] 1/2^n [/mm] = 1 - [mm] 1/2^n
[/mm]
A(1) = 1/2 = 1/2 ist richtig
doch wie gehe ich weiter vor ?
genauso bei
1*1! + 2*2! + 3*3!.... n*n! = (n+1)! -1
A(1) = 1=1 ist richtig
kann mir jemand weiterhelfen ?
danke
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> Hey
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> soll folgendes beweisen:
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> 1/2 + 1/4 + 1/8 .... [mm]1/2^n[/mm] = 1 - [mm]1/2^n[/mm]
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> A(1) = 1/2 = 1/2 ist richtig
>
> doch wie gehe ich weiter vor ?
>
Hallo,
wie Du in der Überschrift schreibst, geht es hier um vollständige Induktion.
Das Prinzip: eine Aufgabe ist für alle n [mm] \in \IN [/mm] zu beweisen.
1.Induktionsanfang:
Man zeigt daß die Aussage für n=1 (oder n=0 oder n=3, je nachdem ab welchem n man die Richtigkeit zeigen will.) gilt.
2. Induktionsvoraussetzung:
Man nimmt an, die Aussage würde für alle n gelten. (In diesem Schritt ist nichts zu tun)
3. Induktionsschluß:
Man zeigt, daß unter der Voraussetzung (2.) die Aussage auch für n+1 gilt.
Ist einem das gelungen, ist die Behauptung bewiesen.
Du hast ja schon richtig begonnen, indem Du die Gültigkeit für n=1 nachgewiesen hast, d.h. der induktionsanfang ist abgehakt.
Weiter geht's mit der Induktionsvoraussetzung:
Es gelte 1/2 + 1/4 + 1/8 .... [mm] 1/2^n [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Induktionsschluß:
Behauptung: dann gilt die Aussage auch für n+1, d.h.
es ist
1/2 + 1/4 + 1/8 .... 1/2^(n+1)= 1 - [mm] \bruch{1}{2^(n+1)}
[/mm]
Beweis:
1/2 + 1/4 + 1/8 .... 1/2^(n+1)=
Nun kommst es darauf an, eine Gleichungskette durch zu erstellen durch geschicktes (und richtiges) Umformen, so daß am Ende das Gewünschte, nämlich ...=1 - [mm] \bruch{1}{2^(n+1)} [/mm] dasteht.
Dabei kommt es darauf an, irgendwo die Induktionsvoraussetzung zu verwenden.
Ich mache Dir den Anfang.
1/2 + 1/4 + 1/8 .... 1/2^(n+1)
= (1/2 + 1/4 + 1/8 ....+1/2^(n)) + 1/2^(n+1)
= in die Klammer vorn kannst Du nun die Induktionsvoraussetzung einsetzen und bist bald amZiel.
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> genauso bei
>
> 1*1! + 2*2! + 3*3!.... n*n! = (n+1)! -1
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> A(1) = 1=1 ist richtig
>
> kann mir jemand weiterhelfen ?
Wenn Du das Prinzip oben verstanden hast, mach es hier genauso.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Magnia |
soweit hab ich es schon verstanden das ich eine solche bedinung aufstellen muss
also sowas hier :
1- [mm] 1/2^n [/mm] + [mm] 1/2^n+1 [/mm] = 1- [mm] 1/2^n+1
[/mm]
und
(n+1)!-1*(n+1 * n+1) = (n+2)! -1
doch wie soll ich das umformen ?
ich komme da nicht weiter
kann mir da bitte nochmal jemand helfen ?
danke
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> soweit hab ich es schon verstanden das ich eine solche
> bedinung aufstellen muss
> also sowas hier :
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> 1- [mm]1/2^n[/mm] + [mm]1/2^n+1[/mm] = 1- [mm]1/2^n+1[/mm]
>
> und
>
> (n+1)!-1*(n+1 * n+1) = (n+2)! -1
>
> doch wie soll ich das umformen ?
> ich komme da nicht weiter
>
> kann mir da bitte nochmal jemand helfen ?
> danke
Hallo
wie kommst du denn darauf 1- [mm]1/2^n[/mm] + [mm]1/2^n+1[/mm] = 1- [mm]1/2^n+1[/mm] ?
Du hast doch als Induktionsvoraussetzung folgendes:
Sei [mm] n\in\IN [/mm] beliebig, aber fest und gelte [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{2^k}=1-\bruch{1}{2^n}
[/mm]
Nun sollst du zeigen, dass dann auch gilt [mm] \summe_{k=1}^{{n+1}}\bruch{1}{2^k}=1-\bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Also: [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{2^k}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{2^k}+\bruch{1}{2^{n+1}}\underbrace{=}_{Ind.vor.}1-\bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{2^{n+1}}=... [/mm] den Rest kriegste hin ;)
Gruß
schachuzipus
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