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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Fr 06.11.2009 | | Autor: | thb |
| Aufgabe | Zu zeigen:
[mm] \[\prod_{j=0,j\neq m}^{2m}(2m-2j) =(-1)^m2^{2m}(m!)^2\]\\ [/mm] |
Ich habe das per Induktion vor.
Der Induktionsanfang ist klar, beim Schritt habe ich Schwierigkeiten - kann mir jemand [mm] helfen?\\
[/mm]
[mm] \[\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2(m+1)}(2(m+1)-2j)=\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2m+2}(2m+2-2j)\]\\
[/mm]
[mm] \[=\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2m}(2m+2-2j)\cdot(2m+2-2(2m+1))(2m+2-2(2m+2))\]
[/mm]
[mm] \[=\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2m}(2m+2-2j)\cdot(2m+2-4m-2)(2m+2-4m-4)\]
[/mm]
[mm] \[=\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2m}(2m+2-2j)\cdot(-2m)(-2m-2)\]\\
[/mm]
Jetzt habe ich aber im Produkt noch nicht die Situation, dass ich Induktionsannahme anwenden kann, da
[mm] $\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2m}(2m+2-2j)\neq\prod_{j=0,j\neq m}^{2m}(2m-2j)$
[/mm]
Wie komme ich weiter?
[mm] \hline
[/mm]
Aehnlich soll ich eine Formel fuer
[mm] \[\prod_{j=0,j\neq m}^{2m}(4m-2j-1)\]\\
[/mm]
finden. Hat da jemand eine Idee?
Viele Gruesse und danke im voraus!
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Hallo thb,
> Zu zeigen:
> [mm]\[\prod_{j=0,j\neq m}^{2m}(2m-2j) =(-1)^m2^{2m}(m!)^2\]\\[/mm]
>
> Ich habe das per Induktion vor.
> Der Induktionsanfang ist klar, beim Schritt habe ich
> Schwierigkeiten - kann mir jemand [mm]helfen?\\[/mm]
> [mm]\[\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2(m+1)}(2(m+1)-2j)=\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2m+2}(2m+2-2j)\]\\[/mm]
>
> [mm]\[=\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2m}(2m+2-2j)\cdot(2m+2-2(2m+1))(2m+2-2(2m+2))\][/mm]
>
> [mm]\[=\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2m}(2m+2-2j)\cdot(2m+2-4m-2)(2m+2-4m-4)\][/mm]
>
> [mm]\[=\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2m}(2m+2-2j)\cdot(-2m)(-2m-2)\]\\[/mm]
Bis jetzt waren alle deine Schritte richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Ich werde trotzdem meine Idee von Anfang an erläutern, da sie auf deinen jetzigen Stand angewandt "mehr Arbeit" macht und den Beweis nicht verschönert.
Also: Dir muss von Anfang an bewusst sein, dass du in deinem Produkt eine Indexverschiebung von j machen musst, weil du sonst nicht wieder auf den Faktor kommst, auf den du deine Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.
Dein erster Schritt sollte also sein, zu analysieren, wie du den Index verschieben musst und was dafür für Vorkehrungen bei dem Produkt zu treffen sind.
Wir sehen: Der Inhalt des Produkts ist $(2m+2-2j)$, wir wollen aber $(2m-2j)$. Wie muss man j verändern zu j', damit das hinkommt: Es muss j = j'+1 sein, dann ist $(2m+2-2j) = (2m + 2- 2*(j'+1)) = (2m-2j')$.
Also müssen wir bei dem Produkt den Index um eins nach unten verschieben (da $j = j'+1 [mm] \gdw [/mm] j' = j-1$ ), also von 0 bis 2m+2 zu -1 bis 2m+1. Da das wegen der -1 nicht geht, müssen wir also zuerst den Faktor für j = 0 herausziehen:
[mm] $\prod_{j=0,j\neq m+1}^{2(m+1)}(2m+2-2j) [/mm] = [mm] (2m+2)*\prod_{j=1,j\neq m+1}^{2(m+1)}(2m+2-2j)$
[/mm]
So, nun die Indexverschiebung (damit wird übrigens auch hübscherweise gleich $j [mm] \not= [/mm] m+1$ zu $j' + [mm] 1\not= [/mm] m+ [mm] 1\gdw [/mm] j' [mm] \not= [/mm] m$ ):
$= [mm] (2m+2)*\prod_{j=0,j\neq m}^{2m+1}(2m+2-2(j'+1)) [/mm] = [mm] (2m+2)*\prod_{j=0,j\neq m}^{2m+1}(2m-2j')$.
[/mm]
So, nun kommst du denk ich selbst weiter 
> [mm]\hline[/mm]
>
> Aehnlich soll ich eine Formel fuer
> [mm]\[\prod_{j=0,j\neq m}^{2m}(4m-2j-1)\]\\[/mm]
>
> finden. Hat da jemand eine [mm]Idee?\\[/mm]
Mache wie oben eine Indexverschiebung, dann kannst du es gleich üben 
Grüße,
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:21 Sa 07.11.2009 | | Autor: | thb |
Guten Morgen und besten Dank!
Das mit der Indexverschiebung habe ich gut hingekriegt.
Für das andere Produkt werde ich das auch hinkriegen, nur bei der Induktionvoraussetzung brauche ich doch einen Schimmer, was
[mm] \[\prod_{j=0,j \neq m}^{2m} (4m-2j-1)\]\\
[/mm]
sein könnte, oder liege ich da falsch oder ist da was offensichtlich?
Gruß
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Hallo!
Bist du dir sicher, dass du diese Formel brauchst?
Also dass deine Aufgabe einschließt, dass du die berechnen musst? Denn beim Herleiten muss man dann mit "halben Fakultäten", also zum Beispiel [mm] \left(-2m+\frac{1}{2}\right), [/mm] kämpfen...
Grüße,
Stefan
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:36 Sa 07.11.2009 | | Autor: | thb |
Hi! ich fürchte ich brauch den Beweis, denn ich soll eine Grenzwertbetrachtung anstellen, nämlich:
[mm] \[\lim\limits_{m \to\infty}\left(\frac{\prod_{j=0,j\neq m}^{2m}(4m-2j-1)}{\prod_{j=0,j\neq m}^{2m}(2m-2j)}\right)=\lim\limits_{m \to\infty}\left(\frac{???}{(-1)^n2^{2m}(m!)^2}\right)\] [/mm] Da sollte [mm] $\infty$ [/mm] rauskommen!
Was meinst Du mit halben Fakultäten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mo 09.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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