Beweis Inkreisradius < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Di 06.06.2006 | | Autor: | Alex85 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie den folgenden Satz über den Inkreisradius rechtwinkliger Dreiecke: r=1/2*(a+b-c) |
Hi,
wäre super, wenn mir jemand diesen Satz des Inkreisradius beweisen könnte:
r=1/2*(a+b-c)
Ich komm da einfach nicht weiter!!!
Gruß Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Alex udn ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Beweisen Sie den folgenden Satz über den Inkreisradius
> rechtwinkliger Dreiecke: r=1/2*(a+b-c)
> Hi,
> wäre super, wenn mir jemand diesen Satz des Inkreisradius
> beweisen könnte:
> r=1/2*(a+b-c)
>
> Ich komm da einfach nicht weiter!!!
Aber ein wenig den Zusammenhang aufschreiben, in dem diese Aufgabe steht, ist doch nicht zu viel verlangt, oder?
Sollen a, b und c die Seitenlängen des Dreiecks sein?
Warum setzt du diese Aufgabe ins Schülerforum Vektorrechnung, wenn keine Vektoren gemeint?! ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gruß informix
|
|
|
| |
|
1. Beweismöglichkeit
Der Inkreis eines beliebigen Dreiecks berührt die Seiten [mm]a,b,c[/mm] in - der Reihe nach - den Punkten [mm]X,Y,Z[/mm]. Die Strecken sind Tangenten an den Kreis. Daher sind die Abstände von [mm]A[/mm] zu [mm]Y[/mm] bzw. [mm]Z[/mm] gleich (Streckenlänge [mm]x[/mm]), ebenso die von [mm]B[/mm] zu [mm]X[/mm] bzw. [mm]Z[/mm] (Streckenlänge [mm]y[/mm]) und die von [mm]C[/mm] zu [mm]X[/mm] bzw. [mm]Y[/mm] (Streckenlänge [mm]z[/mm]). Es besteht daher das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten [mm]x,y,z[/mm] mit [mm]a,b,c[/mm] als Parametern:
[mm]x+y = c[/mm]
[mm]y+z = a[/mm]
[mm]z+x = b[/mm]
Wenn du dieses löst, wirst du [mm]z = \frac{1}{2} (a+b-c)[/mm] herausbekommen. Genau dieser Term tritt aber in deiner Formel auf. Wenn du jetzt zusätzlich Rechtwinkligkeit bei [mm]C[/mm] voraussetzt, dann ist [mm]WXCY[/mm] ein Quadrat ([mm]W[/mm]=Inkreismittelpunkt=Schnittpunkt der Winkelhalbierenden) und daher [mm]z[/mm] der gesuchte Inkreisradius.
2. Beweismöglichkeit
Wenn du in einem beliebigen Dreieck vom Inkreismittelpunkt [mm]W[/mm] aus die Strecken zu den Ecken [mm]A,B,C[/mm] zeichnest, so zerfällt dieses in drei Teildreicke, in denen der Inkreisradius [mm]r[/mm] jeweils Höhe auf eine Seite ist. Wenn du die Flächeninhalte der drei Dreiecke addierst, bekommst du den Flächeninhalt [mm]F[/mm] des Dreiecks [mm]ABC[/mm] und damit die Formel
[mm]F = \frac{1}{2} (a+b+c) r[/mm]
Und wenn man jetzt wieder Rechtwinkligkeit bei [mm]C[/mm] unterstellt, gilt andererseits auch
[mm]F = \frac{1}{2} ab[/mm]
Gleichstellen der beiden Ausdrücke liefert dir eine Formel für [mm]r[/mm] im Spezialfall der Rechtwinkligkeit. Nach [mm]r[/mm] auflösen, den Bruch mit [mm]a+b-c[/mm] erweitern und im Nenner ausmultiplizieren. Und dann gibt es da noch den alten Griechen aus Samos ...
3. Beweismöglichkeit
...
4. Beweismöglichkeit
...
|
|
|
|
