Beweis Kompakt+stetig < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:16 So 12.06.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
Es geht um folgenden Beweis.
f:D [mm] \to \IR [/mm] stetig, K [mm] \subseteq [/mm] D kompakt [mm] \Rightarrow [/mm] f(K) kompakt
Mit ist der Beweis fast klar. Man benutzt hier halt die Folgenkompaktheit aus.
Dazu nimmt man eine Folge [mm] (y_{n}) \in f(K)^{\IN} [/mm] und zeigt, dass diese einen Häufungspunkt in f(K) besitzt.
Das ist mir auch noch klar. Dann sagt man, dass eine Folge [mm] (x_{n})\in \k^{\IN} [/mm] existiert mit [mm] f(x_{n}) [/mm] = [mm] y_{n}.
[/mm]
Und jetzt kommt das, was ich eher für unnötig halten würde. Man wählt von dem [mm] x_{n} [/mm] nun eine Teilfolge [mm] x_{n_{k}} [/mm] aus. Aber warum macht man das? Ich mein, warum kann man nicht die Folge selbst nehmen???
Danke vielmals.
Gruß SolRakt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 So 12.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Es geht um folgenden Beweis.
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> f:D [mm]\to \IR[/mm] stetig, K [mm]\subseteq[/mm] D kompakt [mm]\Rightarrow[/mm] f(K)
> kompakt
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> Mit ist der Beweis fast klar. Man benutzt hier halt die
> Folgenkompaktheit aus.
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> Dazu nimmt man eine Folge [mm](y_{n}) \in f(K)^{\IN}[/mm] und zeigt,
> dass diese einen Häufungspunkt in f(K) besitzt.
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> Das ist mir auch noch klar. Dann sagt man, dass eine Folge
> [mm](x_{n})\in \k^{\IN}[/mm] existiert mit [mm]f(x_{n})[/mm] = [mm]y_{n}.[/mm]
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> Und jetzt kommt das, was ich eher für unnötig halten
> würde. Man wählt von dem [mm]x_{n}[/mm] nun eine Teilfolge
> [mm]x_{n_{k}}[/mm] aus. Aber warum macht man das? Ich mein, warum
> kann man nicht die Folge selbst nehmen???
[mm] (x_n) [/mm] ist eine Folge in K. Da K kompakt ist , enhält [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm]x_{n_{k}}[/mm] , deren Limes zu K ghört.
Die Folge [mm] (x_n) [/mm] selbst muß nicht konvergieren !
FRED
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> Danke vielmals.
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> Gruß SolRakt
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