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Forum "Folgen und Reihen" - Beweis Konvergenz von Folge
Beweis Konvergenz von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis Konvergenz von Folge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mo 16.06.2014
Autor: alikho93

Aufgabe
Seien [mm] c_{n}\to0, d_{n}\to0, [/mm] D=[0,1] und [mm] g_{n}(x):=d_{n}*x^{3}+c_{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Folge [mm] {g_{n}} [/mm] gleichmäßig auf [0,1] gegen g(x)=0 konvergiert.


Wie kann ich dieses am besten beweisen? Habe wirklich keinen Ansatz dazu. Wäre über jeden Tipp erfreut.

        
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Mo 16.06.2014
Autor: DieAcht


> Seien [mm]c_{n}\to0, d_{n}\to0,[/mm] D=[0,1] und
> [mm]f_{n}(x):=d_{n}*x^{3}+c_{n}.[/mm] Zeigen Sie, dass die Folge
> [mm]{g_{n}}[/mm] gleichmäßig auf [0,1] gegen g(x)=0 konvergiert.

Wo ist denn die Folge [mm] g_n? [/mm]

>  Wie kann ich dieses am besten beweisen? Habe wirklich
> keinen Ansatz dazu. Wäre über jeden Tipp erfreut.


Bezug
                
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:46 Mo 16.06.2014
Autor: alikho93

Pardon .. habs im Text oben korrigiert.

Bezug
        
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Mo 16.06.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

eine Folge konvergiert gleichmäßig gegen Null, falls [mm] $||f_n||_\infty \to [/mm] 0$

Schätze also [mm] ||f_n||_\infty [/mm] nach oben ab. Tipp: Dreiecksungleichung.

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Mo 16.06.2014
Autor: alikho93

Hmm

Komme leider nicht auf etwas vernünftiges.

[mm] |d_{n}x^{3}+c_{n}|\le|d_{n}||x^{3}|+|c_{n}| [/mm]

Irgendwie so etwas?

Bezug
                        
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Mo 16.06.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]|d_{n}x^{3}+c_{n}|\le|d_{n}||x^{3}|+|c_{n}|[/mm]
>  
> Irgendwie so etwas?

ja, irgendwie so etwas.... nun noch das [mm] \sup_{x\in D} [/mm] drauf anwenden.

Gruß,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Mo 16.06.2014
Autor: alikho93

Kann mich nicht daran erinnern, dass wir so einen Ausdruck den ich jetzt anwenden soll, behandelt haben. :/

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Mo 16.06.2014
Autor: DieAcht


> Kann mich nicht daran erinnern, dass wir so einen Ausdruck
> den ich jetzt anwenden soll, behandelt haben. :/  

Wir habt ihr gleichmäßige Konvergenz definiert?

Tipp: Die Funktion [mm] $x\mapsto x^3$ [/mm] ist auf [mm] $D\$ [/mm] beschränkt.

Bezug
                                                
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:42 Di 17.06.2014
Autor: alikho93

Evtl. [mm] |f_{n}-f||_{n} [/mm] gegen 0 läuft?

Bezug
                                                        
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Di 17.06.2014
Autor: fred97


> Evtl. [mm]|f_{n}-f||_{n}[/mm] gegen 0 läuft?

???  Was soll denn  [mm]|f_{n}-f||_{n}[/mm]   bedeuten ???

Zeigen sollst Du doch, dass [mm] (g_n) [/mm] auf [0,1]  gleichmäßig gegen 0 konvergiert.

Es ist

$ [mm] |g_{n}(x)| \le |d_{n}|\cdot{}|x|^{3}+|c_{n}| [/mm] $

Wegen x [mm] \in [/mm] [0,1] ist [mm] |x|=x\le [/mm] 1, also

$ [mm] |g_{n}(x)| \le |d_{n}|+|c_{n}| [/mm] $

Setzen wir [mm] a_n:=|d_n|+|c_n|, [/mm] so haben wir:

    [mm] |g_n(x)| \le a_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] [0,1].

[mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge !!!

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:09 Di 17.06.2014
Autor: alikho93

Ich danke !

Kann man das auch mit einem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beweisen?

Sehe es dann so aus ? :

[mm] |d_{n}*x^{3}+c_{n}|\le|d_{n}|*|x^{3}|+|c_{n}| [/mm]

wobei für [mm] x^{3} n\geN(\varepsilon) [/mm] gilt und somit der Beweis geleistet wurde?

Bezug
                                                                        
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:16 Di 17.06.2014
Autor: fred97


> Ich danke !
>
> Kann man das auch mit einem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beweisen?
>  
> Sehe es dann so aus ? :
>  
> [mm]|d_{n}*x^{3}+c_{n}|\le|d_{n}|*|x^{3}|+|c_{n}|[/mm]
>  
> wobei für [mm]x^{3} n\geN(\varepsilon)[/mm] gilt

ÄÄÄhhh ?  was willst und damit sagen ???



> und somit der
> Beweis geleistet wurde?

Nein.

Wir haben mit einer Nullfolge [mm] (a_n): [/mm]

   [mm] |g_n(x)| \le a_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] [0,1]

Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann ex. ein [mm] n(\varepsilon) \in \IN [/mm] mit  [mm] a_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n(\varepsilon). [/mm]

Somit:

    [mm] |g_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n(\varepsilon) [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] [0,1]

FRED



Bezug
                                                                                
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:20 Di 17.06.2014
Autor: alikho93

Wollte meinen Beitrag korrigieren, aber warst einfach zu schnell.

In der Übung hatten wir eine ähnliche Aufgabe bearbeitet, jedoch mit [mm] x^{2} [/mm] anstatt [mm] x^{3}. [/mm]

Dort haben wir behauptet, dass für [mm] x^{2} [/mm] gelte : n [mm] \ge N(\varepsilon) [/mm] und somit der Beweis als erbracht behauptet wurde. Deshalb dachte ich, dass wir es auf einen ähnlichen Weg machen könnten.

Aber mit deinen beiden letzten Beiträgen ist der Beweis nun endgültig erbracht oder?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Di 17.06.2014
Autor: fred97


> Wollte meinen Beitrag korrigieren, aber warst einfach zu
> schnell.
>  
> In der Übung hatten wir eine ähnliche Aufgabe bearbeitet,
> jedoch mit [mm]x^{2}[/mm] anstatt [mm]x^{3}.[/mm]
>  
> Dort haben wir behauptet, dass für [mm]x^{2}[/mm] gelte : n [mm]\ge N(\varepsilon)[/mm]


Das ist doch kompletter Unsinn ! Was soll den

     für [mm]x^{2}[/mm] gelte : n [mm]\ge N(\varepsilon)[/mm]

bedeuten ! Das ist doch granatenmäßiger Schwachsinn. Das habt Ihr in der Übung sicher nicht so gemacht. Schreib mal Wort für Wort auf, was Ihr in der Übung gemacht habt.


> und somit der Beweis als erbracht behauptet wurde. Deshalb
> dachte ich, dass wir es auf einen ähnlichen Weg machen
> könnten.
>  
> Aber mit deinen beiden letzten Beiträgen ist der Beweis
> nun endgültig erbracht oder?

Wenn Du verstanden hast, was gleichmäßige Konvergenz bedeutet, kannst Du Dir diese Frage selbst beantworten.

FRED


Bezug
                                                                                                
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:32 Di 17.06.2014
Autor: alikho93

Beweis : Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] dann gilt für alle [mm] x\in[0,1] [/mm] :

[mm] |f_{n}(x)-f(x)|\le|a_{n}*|x^{2}+|b_{n}| [/mm]


[mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] |a_{n}*x^{2}+b_{n}| [/mm] und [mm] \overbrace{n\ge N(\varepsilon)}^{x^{2}} [/mm]


P.S.: Soweit ich dies verstanden habe, sollte der Beweis in deinen zwei Beiträgen bereits vollbracht sein. Danke schon einmal dafür.

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:50 Di 17.06.2014
Autor: fred97


> Beweis : Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] dann gilt für alle [mm]x\in[0,1][/mm] :
>  
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|\le|a_{n}*|x^{2}+|b_{n}|[/mm]
>  
>
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|[/mm] = [mm]|a_{n}*x^{2}+b_{n}|[/mm] und


[mm]\overbrace{n\ge N(\varepsilon)}^{x^{2}}[/mm]

Was soll das denn ?? Wenn Ihr das in der Übung wirklich so gemacht habt, ist der Übungsleiter ein Vollpfosten !!!


>  
> P.S.: Soweit ich dies verstanden habe, sollte der Beweis in
> deinen zwei Beiträgen bereits vollbracht sein.

Ja, es ist vollbracht

FRED

> Danke schon
> einmal dafür.


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:53 Di 17.06.2014
Autor: alikho93

Könntest du bitte eine Antwort auf meinen andere Frage im anderen Thread antworten? Hatten schon angefangen, aber leider noch nicht vollendet.

Danke. Diese Frage hier ist gelöst.

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Beweis Konvergenz von Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Di 17.06.2014
Autor: fred97


> Könntest du bitte eine Antwort auf meinen andere Frage im
> anderen Thread antworten? Hatten schon angefangen, aber
> leider noch nicht vollendet.

Hab ich gemacht

FRED

>  
> Danke. Diese Frage hier ist gelöst.


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