www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Beweis Markov-Ungleichung
Beweis Markov-Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis Markov-Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 So 15.08.2010
Autor: Vuffi-Raa

Hallo!

Ich hab ein Problem beim Beweis eines Satzes, den wir als ersten Teil der Chebyshevschen Ungleichung kennengelernt haben, der aber im Internet und in Büchern offenbar als Markov-Ungleichung bezeichnet wird.

In meinem Skript steht folgendes:
Satz 5.1 Chebyshevsche Ungleichung

(i) Für eine beliebige Zufallsgröße X und beliebiges [mm]a > 0[/mm] gilt [mm]P(|X| \ge a) \le \bruch{1}{a}E|X|[/mm]

Beweis: Da [mm]\I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} \le \bruch{1}{a}|X|[/mm] folgt:

[mm]P(|X| \ge a) = E[\I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}}] \le \bruch{1}{a}|X| \le E[\bruch{|X|}{a}] = \bruch{1}{a}E|X|[/mm]


Ich versteh das letzte Ungleichungszeichen nicht. Wieso kann ich [mm]\bruch{1}{a}|X|[/mm] durch [mm]E[\bruch{|X|}{a}][/mm], also durch seinen Erwartungswert nach oben abschätzen?

        
Bezug
Beweis Markov-Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Di 26.01.2016
Autor: Laura87

Hallo,

ich setzte mich zur zeit mit dem Beweis auseinander. Den Beweis an sich habe ich verstanden, aber den eigentlichen Schritt:

>  
> Beweis: Da [mm]\I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} \le \bruch{1}{a}|X|[/mm]
> folgt:
>  

die Voraussetzung leider nicht. Warum gilt diese Ungleichung?

Ich freue mich über eine Antwort


Bezug
                
Bezug
Beweis Markov-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Di 26.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

$ [mm] \I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}}$ [/mm] ist die Indikatorfunktion zu der Menge, auf der $|X| [mm] \ge [/mm] a$ ist. D.h. auf dieser Menge ist insbesondere [mm] $\frac{|X|}{a} \ge [/mm] 1$

Und damit:
$ [mm] \I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} [/mm] = [mm] 1\cdot \I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} \le \frac{|X|}{a} \cdot \I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} \le \frac{|X|}{a}$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Beweis Markov-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Di 26.01.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich setzte mich zur zeit mit dem Beweis auseinander. Den
> Beweis an sich habe ich verstanden, aber den eigentlichen
> Schritt:
>  >  
> > Beweis: Da [mm]\I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}} \le \bruch{1}{a}|X|[/mm]
> > folgt:
>  >  
>
> die Voraussetzung leider nicht. Warum gilt diese
> Ungleichung?
>  
> Ich freue mich über eine Antwort
>  


Du kannst das auch punktweise einsehen: dazu setze ich $Y:=|X|$

Ist $Y(w)<a$, so ist [mm] 1_{\left\{ Y \ge a \right\}}(w)=0 [/mm] und somit ist die Ungl. in diesem Fall richtig.

Ist  [mm] $Y(w)\ge [/mm] a$, so ist [mm] 1_{\left\{ Y \ge a \right\}}(w)=1 [/mm] und [mm] $(\bruch{1}{a}Y)(w) \ge [/mm] 1.$

FRED

Bezug
        
Bezug
Beweis Markov-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 So 15.08.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

in dem Beweis fehlt in der Mitte einfach ein E, korrekt müsste er lauten:

[mm]P(|X| \ge a) = E[\I1_{\left\{ |X| \ge a \right\}}] \le E[\bruch{1}{a}|X|] \le E[\bruch{|X|}{a}] = \bruch{1}{a}E|X|[/mm]

Wobei die eine Ungleichung dann doppelt vorkommt......

MFG,
Gono.





Bezug
                
Bezug
Beweis Markov-Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 So 15.08.2010
Autor: Vuffi-Raa

Stimmt, wenn man den Schritt einfach weglässt, macht das ja völlig Sinn.^^

Man muss dazu sagen, das Skript ist eine Mitschrift von Studenten, wahrscheinlich hat sich da einfach jemand vertan. Auf jeden Fall danke für die Hilfe. :-)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de