Beweis Mengen / Potenzmengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Do 02.11.2006 | | Autor: | uhu_84 |
| Aufgabe | Sei X eine Menge, die Potenzmenge von X ist die Menge
[mm] \mathcal{P} [/mm] ( X ) : = [mm] \{A \subset X Teilmenge }.
[/mm]
- Beweise, dass aus X [mm] \subset [/mm] Y folgt, dass [mm] \mathcal{P} [/mm] (X) [mm] \subset \mathcal{P} [/mm] (Y). |
Vorweg: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo miteinander!
Diese Aufgabenstellung bereitet mir insofern Probleme, dass ich nicht weiss, wie ich den Beweis anfangen und ihn dann fortführen bzw. zu ende führen muss.
Ich schreibe mal rasch auf, was mir bekannt ist:
Bei diesem Beweis ist zu zeigen: X [mm] \subset [/mm] Y [mm] \Rightarrow \mathcal{P} [/mm] (X) [mm] \subset \mathcal{P} [/mm] (Y)
Mein Ansatz für diese Aufgabe: Vier Definitionen, die mir klar sind:
X [mm] \subset [/mm] Y [mm] \gdw \forall [/mm] x ( x [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Y )
( X [mm] \cap [/mm] Y ) [mm] \subset [/mm] ( X [mm] \cup [/mm] Y )
[mm] \mathcal{P} [/mm] ( X ) : = [mm] \{T: T \subset X}
[/mm]
[mm] \mathcal{P} [/mm] ( Y ) : = [mm] \{X: X\subset Y}
[/mm]
X [mm] \subset [/mm] Y [mm] \gdw [/mm] X [mm] \cup [/mm] Y = Y [mm] \gdw [/mm] X [mm] \cap [/mm] Y = X
Nützen mir diese Definitionen überhaupt etwas oder habe ich bereits hier in die falsche Richtung gedacht? Irgendwie müsste ich all diese Informationen zu einem ganzen Beweis zusammenfügen... genau das macht mir hier so viel Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Do 02.11.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich denke, die größte Schwierigkeit bei dem Beweis ist der Anfang. Aber konsequente Anwendung der einzelnen Definitionen führt einen eigentlich direkt zum Ziel.
Fangen wir doch mal mit der ersten Deiner Definitionen an (was für mich die eigentliche Definition von [mm] \subset [/mm] ist, alles andere sind dann ja Sätze dazu):
[mm]X \subset Y \gdw \forall x ( x \in X \Rightarrow x \in Y )[/mm]
Hier ist die Rede von allgemeinen Mengen X und Y, setzen wir für X also [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] und für Y [mm] \mathcal{P}(Y) [/mm] ein, ausserdem benenne ich jetzt noch das x in A um, aber das sind ja erstmal alles nur Namen:
[mm]\mathcal{P}(X) \subset \mathcal{P}(Y) \gdw \forall A ( A \in \mathcal{P}(X) \Rightarrow A \in \mathcal{P}(Y) )[/mm]
Jetzt musst Du Dir noch überlegen, was [mm]A \in \mathcal{P}(X)[/mm] denn eigentlich bedeutet - dazu schaust Du Dir mal die Definition von [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] an. Und der Rest sollte dann eigentlich kein großes Problem mehr sein. Wenn doch kannst Du ja nochmal nachhaken.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Do 02.11.2006 | | Autor: | uhu_84 |
Vielen Dank für die so ausführliche Antwort! 
Dann würde das alles etwa so aussehen?
--->
[mm] \mathcal{P} [/mm] (X) [mm] \subset \mathcal{P} [/mm] (Y) [mm] \gdw \forall [/mm] A ( A [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (X) [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (Y) )
Da [mm] \mathcal{P} [/mm] (X) : = (A : A [mm] \subset [/mm] X) , ist A [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (X) eine Menge in der Potenzmenge (X), da ja gilt: A [mm] \subset [/mm] X [mm] \Rightarrow \mathcal{P} [/mm] (A) [mm] \subset \mathcal{P} [/mm] (X) .
(Erklärung: Ich habe hier einfach mal A statt X geschrieben und X statt Y im letzten Latex-Ausdruck.)
Also ist somit X [mm] \subset [/mm] Y [mm] \Rightarrow \mathcal{P} [/mm] (X) [mm] \subset \mathcal{P} [/mm] (Y) bewiesen worden??? (Ich weiss, ich habe (noch) wenig Übung im richtig schönen Beweisführen.)
Als Satz könnte man es vielleicht sprachlich so formulieren: Die Potenzmenge einer Menge ist wieder eine Menge.
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Hallo,
die zu beweisende Aussage ist, daß unter der Voraussetzung, daß X [mm] \subseteq [/mm] Y ist, die Potenzmenge von X Teilmenge der von Y ist, also P(X) [mm] \subseteq [/mm] P(Y).
P(X) [mm] \subseteq [/mm] P(Y) - in Worten bedeutet das, daß jedes Element von P(X) auch in P(X) liegt, was Du hiermit verkürzt ausdrückst:
> [mm]\mathcal{P}[/mm] (X) [mm]\subset \mathcal{P}[/mm] (Y) [mm]\gdw \forall[/mm] A ( A
> [mm]\in \mathcal{P}[/mm] (X) [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\in \mathcal{P}[/mm] (Y) )
Dies liefert Plan für den Beweis: man für ein beliebiges Element aus P(X) zu zeigen, daß es auch in P(Y) liegt.
>
> Da [mm]\mathcal{P}[/mm] (X) : = (A : A [mm]\subset[/mm] X) , ist A [mm]\in \mathcal{P}[/mm]
> (X) eine Menge in der Potenzmenge (X), da ja gilt: A
> [mm]\subset[/mm] X [mm]\Rightarrow \mathcal{P}[/mm] (A) [mm]\subset \mathcal{P}[/mm]
> (X) .
> (Erklärung: Ich habe hier einfach mal A statt X
> geschrieben und X statt Y im letzten Latex-Ausdruck.)
Nee, nee, ganz so geht das nicht. Du darfst nicht plötzlich ganz nach Belieben Mengen umtaufen!
Zum anderen fehlt ihm die Überzeugungskraft: "da ja gilt: A $ [mm] \subset [/mm] $ X $ [mm] \Rightarrow \mathcal{P} [/mm] $ (A) $ [mm] \subset \mathcal{P} [/mm] $ (X) " Das stimmt zwar - aber wir wollen es doch erst zeigen!
So, nach der Vorrede werde ich Dir ein Beweisgerüst liefern:
Beh.: X $ [mm] \subset [/mm] $ Y ==> $ [mm] \mathcal{P} [/mm] $ (X) $ [mm] \subset \mathcal{P} [/mm] $ (Y)
Bew. Sei also X $ [mm] \subset [/mm] $ Y
zu zeigen: $ [mm] \mathcal{P} [/mm] $ (X) $ [mm] \subset \mathcal{P} [/mm] $ (Y)
(Jetzt zeigen wir, daß jedes Element von P(X) in P(Y) liegt. Dazu nehmen wir ein beliebiges Element aus P(X) )
Sei T [mm] \in [/mm] P(X).
P(X) ist die Potenzmenge von X, d.h. die Menge aller Teilmengen von X.
Also ist T ... X.
Da nach Voraussetzung X [mm] \subseteq [/mm] Y, folgt T ... Y.
Somit liegt T in der ... von Y,
d.h. T [mm] \in [/mm] ...
Also gilt ...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Fr 03.11.2006 | | Autor: | uhu_84 |
Danke für Deine Antwort! Hoffentlich ist mir jetzt der Zwanziger gefallen...
Okay, also:
1. Lücke: T [mm] \in [/mm] X
2. Lücke: T [mm] \subseteq [/mm] X
3. Lücke: Potenzmenge
4. Lücke: Y
5. Lücke: X [mm] \subset [/mm] Y [mm] \Rightarrow \mathcal{P} [/mm] X [mm] \subset \mathcal{P} [/mm] Y
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> 1. Lücke: T [mm]\in[/mm] X
> 2. Lücke: T [mm]\subseteq[/mm] X
> 3. Lücke: Potenzmenge
> 4. Lücke: Y
> 5. Lücke: X [mm]\subset[/mm] Y [mm]\Rightarrow \mathcal{P}[/mm] X [mm]\subset \mathcal{P}[/mm]
> Y
Hallo,
leider ist nicht alles richtig.
Ein bißchen habe ich den Verdacht, daß Du den Begriff der Potenzmenge noch nicht verstanden hast, und ein scheint auch ein bißchen Verwirrung zu herrschen bzgl. [mm] \in [/mm] und [mm] \subseteq [/mm] in diesem zunächst etwas ungewohnten Fall, in welchem T einmal Teilmenge einer Menge und gleichzeitig Element einer anderen Menge ist.
Vergiß den Beweis einmal kurz.
Wir machen jetzt ein Beispiel.
X:= [mm] \{+, ? \} Y:=\{+,?,Z \}
[/mm]
Es ist X Teilmenge von Y, X [mm] \subseteq [/mm] Y. Warum? Jedes Element von X liegt auch in Y.
Welches sind nochmal die Element von X? + [mm] \in [/mm] X und ? [mm] \in [/mm] X.
Nun zu den Potenzmengen.
Was ist die Potenzmenge von X? Die Menge aller Teilmengen von X.
Schreiben wir also alle Teilmengen von X auf:
zunächst
[mm] \emptyset [/mm] und X selber - diese Mengen vergißt man leicht.
Dann die einelementigen Teilmengen
[mm] \{+\} [/mm] und [mm] \{?\}.
[/mm]
Mehr gibt's nicht, die zweielementige Teilmenge wäre ja [mm] \{+, ? \}, [/mm] die haben wir oben schon aufgeführt.
Tief durchatmen jetzt und die Sache revue passieren lassen: die Teilmengen von X sind Mengen , welche Elemente aus X enthalten. Klar, oder?
So, nun kommt der erste Höhepunkt!!! Wir bilden die Potenzmenge von X.
Potenzmenge? Menge aller Teilmengen.
Aha: wir müssen also die ganzen Teilmengen in eine Menge stopfen und haben dann die Potenzmenge.
Das machen wir jetzt:
P(X)= [mm] \{ \emptyset, \{+\}, \{?\}, X \}.
[/mm]
Siehst Du es? P(X) enthält Mengen. Diese Mengen sind die Elemente von P(X). Das war jetzt der zweite Höhepunkt. Also ist [mm] \emptyset \in [/mm] P(X), [mm] \{+\}\in [/mm] P(X), [mm] \{?\}\in [/mm] P(X), [mm] X\in [/mm] P(X).
Als nächstes könnte man darüber nachdenken, welches denn die Teilmengen von P(X) sind, das machen wir aber im Moment nicht, weil es Verwirrung stiften könnte.
Mach Du etwas anderes:
Stell die Teilmengen von Y zusammen und bilde die Potenzmenge von Y. Vergegenwärtige Dir, welches die Elemente von P(Y) sind.
Wenn Du das alles hast, prüfe, ob die Aussage, die Du beweisen sollst, für dieses Beispiel stimmt.
Bewiesen ist die Aussage dann noch nicht. Ich erhoffe mir aber von dieser Maßnahme, daß Du besser verstehst, was Du tust.
Wenn Du feststelltst, daß die Aussage stimmt, solltest Du versuchen, den kleinen Beweis einmal anhand von T:= [mm] \{+\} [/mm] nachzuvollziehen.
Und wenn dir das gelungen ist, Dir wirklich alles plausibel erscheint, versuchs nochmal mit dem allgemeinen Beweis.
Gruß v. Angela
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