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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:55 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Nightmare123 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo!
Bin Erstsemester Physik und scheitere leider gerade schon an der ersten Matheaufgabe, die uns gestellt wurde (glücklicherweise nicht an 2-4 ^^).
Beweisen Sie für beliebige Mengen A, B, C
[mm] A - ( B - C ) \subseteq ( A - B ) \cup C [/mm]
Habe schon mehrere Möglichkeiten erwogen. Beispielsweise die rechte Seite umzustellen, so das die Linke rauskommt. Nach De Morgan ergäbe sie dann zunächst:
[mm] ( A - B ) \cup ( A - C ) [/mm]
irgendwie führte mich das nicht weiter. Falls ich das mit Wahrheitstafeln lösen kann, weiß jemand vielleicht einen Link, in dem deren Funktionsprinzip einfach und ausführlich erklärt werden? Unser Prof. schien davon allerdings nicht so begeistert zu sein :|.
Dachte auch darüber nach, für die Linke Seite eine Art Fallunterscheidung à la
[mm] x \in A ( B - C ) := x \in A\;und\;x \not\in ( B - C ) [/mm]
aber auch hier wusste ich nicht weiter :/.
Kann jemand helfen?
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Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Beweisen Sie für beliebige Mengen A, B, C
>
> [mm]A - ( B - C ) \subseteq ( A - B ) \cup C[/mm]
Meinste du mit "-" das hier: [mm] "\backslash"? [/mm] Also "ohne"?
> Habe schon mehrere Möglichkeiten erwogen. Beispielsweise
> die rechte Seite umzustellen, so das die Linke rauskommt.
> Nach De Morgan ergäbe sie dann zunächst:
>
> [mm]( A - B ) \cup ( A - C )[/mm]
>
> irgendwie führte mich das nicht weiter. Falls ich das mit
> Wahrheitstafeln lösen kann, weiß jemand vielleicht einen
> Link, in dem deren Funktionsprinzip einfach und ausführlich
> erklärt werden? Unser Prof. schien davon allerdings nicht
> so begeistert zu sein :|.
Vielleicht hilft dir das hier. Allerdings hat es mit den Wahrheitstafeln gar nichts Kompliziertes auf sich, man trägt einfach alles ein, was man hat, und das war's dann eigentlich auch schon...
> Dachte auch darüber nach, für die Linke Seite eine Art
> Fallunterscheidung à la
>
> [mm]x \in A(B - C ) := x \in A\;und\;x \not\in ( B - C )[/mm]
>
> aber auch hier wusste ich nicht weiter :/.
>
> Kann jemand helfen?
Also, normalerweise löst man solche Aufgaben, indem man sich ein Element der linken Seite nimmt, alle "Eigenschaften" dafür aufschreibt, die man kennt, und das dann so lange umformt, bis man gefolgert hat, dass das Element auch in der rechten Seite ist. Also in deinem Fall würde man so anfangen:
sei [mm] $x\in(A\backslash(B\backslash [/mm] C)) [mm] \gdw x\in [/mm] A [mm] \wedge x\notin(B\backslash [/mm] C) [mm] \gdw x\in [/mm] A [mm] \wedge (x\notin [/mm] B [mm] \vee x\in [/mm] C)$ usw.
Wobei ich mir bei der letzten Umformung nicht 100%ig sicher bin.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ok, mit den Wahrheitstafeln geht es auf jeden Fall, aber der Prof. hat Recht, viel unschöne Schreibarbeit...
Mit - meinte ich übrigens \ , also ohne, ist anscheinend gleichwertig, genau wie [mm]\vee\; und\; \cup\; sowie\; \wedge\; und\; \cap[/mm]. Zumindest in Bezug auf Mengen.
Ich habe nun (ähnlich wie [mm]x\in(A\backslash(B\backslash C)) \gdw x\in A \wedge x\notin(B\backslash C) \gdw x\in A \wedge (x\notin B \vee x\in C) [/mm] vorgeschlagen) folgendes "gerechnet":
[mm] A - ( B - C ) \subseteq ( A - B ) \cup C[/mm]
Sei [mm]x \in A \; und \; x \not\in ( B - C ) [/mm]
1. Fall [mm] x \in A \; und\; x \not\in B
\Rightarrow x \in ( A - B ) \Rightarrow x \in ( A - B ) \cup C [/mm]
2. Fall [mm] x \in ( A \cap C )
\Rightarrow x \in C \Rightarrow ( A - B ) \cup C [/mm]
Damit sollte es doch bewiesen sein, oder?
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Hallo!
> Ok, mit den Wahrheitstafeln geht es auf jeden Fall, aber
> der Prof. hat Recht, viel unschöne Schreibarbeit...
Ich habe mit Wahrheitstafeln auch noch nie in Mathe was gemacht - nur in Informatik, wo die Leute Mathe eher nicht mögen... 
> Mit - meinte ich übrigens \ , also ohne, ist anscheinend
> gleichwertig, genau wie [mm]\vee\; und\; \cup\; sowie\; \wedge\; und\; \cap[/mm].
> Zumindest in Bezug auf Mengen.
>
> Ich habe nun (ähnlich wie [mm]x\in(A\backslash(B\backslash C)) \gdw x\in A \wedge x\notin(B\backslash C) \gdw x\in A \wedge (x\notin B \vee x\in C)[/mm]
> vorgeschlagen) folgendes "gerechnet":
>
> [mm]A - ( B - C ) \subseteq ( A - B ) \cup C[/mm]
> Sei [mm]x \in A \; und \; x \not\in ( B - C )[/mm]
Naja, ich würde aber schon noch hinschreiben, wie du dann auf diese beiden Fälle kommst, also das, was ich als allerletztes da stehen hatte. Nur halt mit [mm] \cap [/mm] und [mm] \cup, [/mm] falls dir das lieber ist
> 1. Fall [mm]x \in A \; und\; x \not\in B
\Rightarrow x \in ( A - B ) \Rightarrow x \in ( A - B ) \cup C[/mm]
> 2. Fall [mm]x \in ( A \cap C )
\Rightarrow x \in C \Rightarrow ( A - B ) \cup C[/mm]
>
> Damit sollte es doch bewiesen sein, oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Sieht gut aus. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Viele Grüße
Bastiane
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