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| Aufgabe | Sei [mm] $f:X\to [/mm] Y$.eine Abbildung und [mm] $A,B\subset [/mm] X.$
Zu [mm] zeigen: $f\left( A\cap B \right)\subset f\left( A \right)\cap f\left( B \right)$ [/mm] |
Hallo, ich bin (meiner Meinung nach...) fertig, würde mich aber freuen, wenn jemand schnell drüber schauen kann ob das formal so ok ist.
Grüße
Also:
[mm]
& f\left( A\cap B \right)=f\left( x\in X:\left( x\in A\wedge x\in B \right) \right)\Rightarrow \underbrace{f\left( x\in X:x\in A \right)\wedge f\left( x\in X:x\in B \right)}_{y\in Y} \\
[/mm]
[mm]
& y\in Y:\left( y\in \left( f\left( A \right)\cap f\left( B \right) \right) \right) \\
[/mm]
[mm]
& \Rightarrow x\in \left( f\left( x\in A \right)\wedge f\left( x\in A \right) \right)\subset f\left( A \right)\cap f\left( B \right) \\
[/mm]
[mm]
& \\
[/mm]
[mm]
& \Rightarrow f\left( A\cap B \right)\subset f\left( A \right)\cap f\left( B \right) \\
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& \\
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qed. \\
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo artischocke,
> Sei [mm]f:X\to Y[/mm].eine Abbildung und [mm]A,B\subset X.[/mm]
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> Zu zeigen: [mm]f\left( A\cap B \right)\subset f\left( A \right)\cap f\left( B \right)[/mm]
>
> Hallo, ich bin (meiner Meinung nach...) fertig, würde mich
> aber freuen, wenn jemand schnell drüber schauen kann ob
> das formal so ok ist.
>
> Grüße
>
> Also:
>
> [mm]
& f\left( A\cap B \right)=f\left( x\in X:\left( x\in A\wedge x\in B \right) \right) [/mm]
Hmm, das ist schlecht aufgeschrieben, wo sind die Mengenklammern?
> [mm] \Rightarrow [/mm]
?? Was bedeutet ein Folgerungspfeil in einer Gleichungskette?
> [mm] \underbrace{f\left( x\in X:x\in A \right)\wedge f\left( x\in X:x\in B \right)}_{y\in Y} \\
[/mm]
[/mm]
>
> [mm]
& y\in Y:\left( y\in \left( f\left( A \right)\cap f\left( B \right) \right) \right) \\
[/mm]
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> [mm]
& \Rightarrow x\in \left( f\left( x\in A \right)\wedge f\left( x\in A \right) \right)\subset f\left( A \right)\cap f\left( B \right) \\
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>
> [mm]
& \\
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> [mm]
& \Rightarrow f\left( A\cap B \right)\subset f\left( A \right)\cap f\left( B \right) \\
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> [mm]
& \\
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qed. \\
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Zu zeigen ist die obige Inklusion, also
zz.: [mm] $y\in f(A\cap B)\Rightarrow y\in f(A)\cap [/mm] f(B)$
Also sei [mm] $y\in f(A\cap [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow \exists x\in A\cap [/mm] B: f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow x\in A\wedge x\in [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow f(x)\in f(A)\wedge f(x)\in f(B)\Rightarrow f(x)=y\in f(A)\cap [/mm] f(B)$
Gruß
schachuzipus
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