Beweis: Operatornorm < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Matrix [mm] A=(a_{i,j}) [/mm] 1 [mm] \leq [/mm] i,j [mm] \leq [/mm] n [mm] \in \mathbb R^{n \times } [/mm] und die Vektornorm || . [mm] ||_1. [/mm] Zeigen Sie, dass für die induzierten Operatornormen folgende Darstellung gilt:
[mm] ||A||_1 [/mm] = max [mm] \summe_{i=1}^{n}|a_{i,j}| [/mm] über j=1..n |
Hallo!
Ich habe dazu eine Lösung hier liegen, die ich leider aber nicht mehr recht nachvollziehen kann.
Um die Gleichheit zu zeigen, wird [mm] \leq [/mm] und [mm] \geq [/mm] gezeigt.
Ersteres bereitet mir schonmal Probleme:
[mm] ||A||_1 [/mm] = sup [mm] \frac{||Ax||}{||x||} \leq [/mm] sup [mm] \frac{max(|\summe_{i=1}^{n}a_{i,j}x_i|)}{||x||_1} \leq [/mm] sup [mm] \frac{max(|\summe_{i=1}^{n}a_{i,j}|)||x||_1}{||x||_1} [/mm] = [mm] \dots
[/mm]
das Maximum geht immer über j.
Ich kann die beiden " [mm] \leq [/mm] " nicht nachvollziehen.
Speziell zum ersten habe ich mir doch jetzt einige Gedanken gemacht. Und ich verstehe nicht, warum das richtig sein soll.
Meiner Meinung nach würde irgendwie sowas hier Sinn machen:
[mm] max(|\summe_{i=1}^{n}x_i\summe_{i=1}^{n}a_{i,j}|)
[/mm]
Also dass man die maximale Spalte sucht, und dann alle [mm] x_i [/mm] mit dieser Spalte multipliziert.
vielleicht könnt ihr mir das ja verständlich erklären :(
den zweiten Schritt sehen wir dann...
Danke auf jeden Fall schon einmal!
Wimme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:17 Di 27.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Wimme
> Gegeben sei eine Matrix [mm]A=(a_{i,j})[/mm] 1 [mm]\leq[/mm] i,j [mm]\leq[/mm] n [mm]\in \mathbb R^{n \times }[/mm]
> und die Vektornorm || . [mm]||_1.[/mm] Zeigen Sie, dass für die
> induzierten Operatornormen folgende Darstellung gilt:
>
> [mm]||A||_1[/mm] = max [mm]\summe_{i=1}^{n}|a_{i,j}|[/mm] über j=1..n
> Hallo!
>
> Ich habe dazu eine Lösung hier liegen, die ich leider aber
> nicht mehr recht nachvollziehen kann.
> Um die Gleichheit zu zeigen, wird [mm]\leq[/mm] und [mm]\geq[/mm] gezeigt.
> Ersteres bereitet mir schonmal Probleme:
>
> [mm]||A||_1[/mm] = sup [mm]\frac{||Ax||}{||x||} \leq[/mm] sup
> [mm]\frac{max(|\summe_{i=1}^{n}a_{i,j}x_i|)}{||x||_1} \leq[/mm] sup
> [mm]\frac{max(|\summe_{i=1}^{n}a_{i,j}|)||x||_1}{||x||_1}[/mm] =
> [mm]\dots[/mm]
>
> das Maximum geht immer über j.
>
> Ich kann die beiden " [mm]\leq[/mm] " nicht nachvollziehen.
Das erste ist sogar eine Gleichheit! Schreib doch mal $A x$ hin, und dann $||A [mm] x||_1$.
[/mm]
Zum zweiten [mm] "$\le$": [/mm] ich denke nicht dass das so stimmt. Da sollte wohl eher stehen $... [mm] \le \sup \frac{\max( \sum_{i=1}^n |a_{ij}| ) ||x||_1 }{||x||_1}$.
[/mm]
Aber es ist doch [mm] $|\sum_{i=1}^n a_{ij} x_i| \le \sum_{i=1}^n |a_{ij}| |x_i| \le \sum_{i=1}^n |a_{ij}| \max(a_1, \dots, a_n) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n |a_{ij}| ||x||_1$, [/mm] womit man sofort $... [mm] \le \sup \frac{\max( \sum_{i=1}^n |a_{ij}| ) ||x||_1}{||x||_1}$ [/mm] bekommt.
> Speziell zum ersten habe ich mir doch jetzt einige
> Gedanken gemacht. Und ich verstehe nicht, warum das richtig
> sein soll.
> Meiner Meinung nach würde irgendwie sowas hier Sinn
> machen:
>
> [mm]max(|\summe_{i=1}^{n}x_i\summe_{i=1}^{n}a_{i,j}|)[/mm]
Wo sollte das stehen?
LG Felix
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