Beweis Reziprokenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Ist die Funktion g in [mm] x_{0} [/mm] diferenzierbar und ist [mm] g(x_{0}) \not= [/mm] 0, dann ist [mm] \bruch{1}{g} [/mm] in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar und es gilt
( [mm] \bruch{1}{g})'(x_{0})= [/mm] - [mm] \bruch{g'(x_{0})}{[g(x_{0}]^2} [/mm] |
so weit bin ich jetzt erstmal gekommen
g ist in [mm] x_{0} [/mm] diferenzierbar, [mm] g(x_{0}) \not=0
[/mm]
Behauptung: [mm] (\bruch{1}{g})'(x_{0}) [/mm] = - [mm] \bruch{g'(x_{0})}{[g(x_{0}]^2}
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{g})'(x_{0}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{(\bruch{1}{g})(x)-(\bruch{1}{g})(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{\bruch{1}{g(x)}-\bruch{1}{g(x_{0})}}{x-x_{0}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ \bruch{g(x)-g(x_{0}}{g(x) g(x_{0}}}{x-x_{0}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{g(x_{0})g(x)}{x-x__{0}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{g(x) g(x_{0})}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo FireWizard!
> [mm]=\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{\bruch{1}{g(x)}-\bruch{1}{g(x_{0})}}{x-x_{0}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ \bruch{g(x)-g(x_{0}}{g(x) g(x_{0}}}{x-x_{0}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast Du die Terme verdreht. Es muss heißen:
[mm]= \ \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{\bruch{g(x_0)-g(x)}{g(x)*g(x_0)}}{x-x_0} \ = \ \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{\bruch{(-1)*\left[g(x)-g(x_0)\right]}{g(x)*g(x_0)}}{x-x_0}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{g(x_{0})g(x)}{x-x__{0}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{g(x) g(x_{0})}[/mm]
Hier hast Du ein Minuszeichen unterschlagen (siehe auch oben) ...
[mm]... \ = \ \limes_{x\rightarrow x_0} \left[\bruch{g(x) \ \red{-} \ g(x_0)}{x-x_0}*\bruch{-1}{g(x)*g(x_0)}\right][/mm]
[mm]= \ \blue{\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}}*\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{-1}{g(x)*g(x_0)}[/mm]
Was kann man nun für den blauen Ausdruck schreiben?
Und für den hinteren Ausdruck nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow x_0$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Sa 13.05.2006 | | Autor: | FiReWiZaRd |
Ich hab echt keinen plan steh irgendwie grade voll aufm schlauch :(
sorry
aber trotzdem danke für deine hilfe und ich hoffe vieleicht kann mir doch noch jemand auf die sprünge helfen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo FireWizard!
Was genau ist denn noch unklar? Wenn Du Dir das vorgebene Ergebnis mal ansiehst, sollte doch schnell klar werden, was der blaue Term in meiner obigen Antwort ergeben muss.
Zudem sollte dieser Term ja bekannt sein als Differenzenquotient, dessen Grenzwert exakt die ... ergibt.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Do 18.05.2006 | | Autor: | FiReWiZaRd |
achso danke hatte mich dann an dem tag nochmal dran gemacht
und habs raus
danke für deine hilfe
|
|
|
|
