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| Aufgabe | Welche der folgenden Beweise, dass in jedem Ring R für alle a [mm] \in [/mm] R die Identität a0=0 gilt, sind im Wesentlichen korrekt und lückenlos? (Lückenlos soll hier bedeutet, dass außer der Definition eines Ringes und den aus der Vorlesung bekannten Eigenschaften abelscher Gruppen keine Tatsachen verwendet werden, die ähnlich schwer zu zeigen sind, wie die zu zeigend aussage selbst)
1) a0=a(0-0)=a0-a0=0
2) a0=a(0+0)=a0+a0, woraus durch subrtaktion von a0 die aussage folgt
3) die für alle x [mm] \in [/mm] R definierte Abbildung x [mm] \mapsto [/mm] ax ist wegen der Distributivität von R ein Gruppenhomomorphismus und bildet daher 0 auf 0 ab.
4) die für alle x [mm] \in [/mm] R definierte Abbildung x [mm] \mapsto [/mm] ax ist wegen der Assoziativität von R ein Ringhomomorphismus und bildet daher 0 auf 0 ab. |
Hallo,
ich bin mir bei der oberen MC-Frage nicht ganz sicher..
Also für mich schauen 1 und 2 lückenlos aus.
zu 3 es gelten für ringe ja die Distributivgesetze aber ist das dann ein Gruppenhomomorphismus ?? ich würde hierbei sagen, dassder beweis daher nicht ok ist.
zu 4: dass R assoziativ sein muss, habe ich nirgends im skript gefunden, daher würde ich auch hier "nein" sagen...
Aber ich würde mich freuen, wenn jemand nochmal drüberschauen könnte...
Vielen Dank und liebe Grüße
pythagora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Fr 30.04.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
vielleicht hast du ja trotz abgelaufener Fälligkeit noch Interesse:
> Also für mich schauen 1 und 2 lückenlos aus.
Ich würde vorschlagen, dass du mal jedes einzelne Gleichheitszeichen begründest.
> zu 3 es gelten für ringe ja die Distributivgesetze aber
> ist das dann ein Gruppenhomomorphismus ?? ich würde
> hierbei sagen, dassder beweis daher nicht ok ist.
Was bedeutet denn für die Abbildung [mm] $R\to [/mm] R, [mm] x\mapsto [/mm] ax$, Gruppenhomomorphismus zu sein?
> zu 4: dass R assoziativ sein muss, habe ich nirgends im
> skript gefunden, daher würde ich auch hier "nein"
> sagen...
Direkt in der Definition eines Ringes sollte explizit die Forderung stehen, dass die Multiplikation assoziativ ist.
(Auch für die Addition wird Assoziativität gefordert. Meist wird dies "indirekt" dadurch gefordert, dass man verlangt, dass die zugrunde liegende Menge R mit der Addition eine abelsche Gruppe bildet.)
Viele Grüße
Tobias
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Hallo, ja natürlich besteht da noch interesse, danke, dass du antwortest.
zu 1)
a0=*1=a(0-0)=*2=a0-a0=*3=0
*1: 0 kann man doch als 0-0 schreiben, so dachte ich, oder geht das nicht, weil es ein "-" ist?? würde es mit "+" gehen??(finde da leider keine def zu)
*2: normales "ausmultiplizieren" dürfe ja auch ok sein
*3: additive Inverse ergeben das neutrale element, die null
zu 2)
a0=a(0+0)=a0+a0
wenn das mit "-" bei 1 nicht geht, dann geht es mit "+", denke ich (kannst du mir da mit einer definition weiterhelfen??)
begründungen der "=" wie oben bis auf den letzten schritt, da wird von rechts bzw. links einfach a0 abgezogen..
zu 3)
die für alle x [mm] \in [/mm] R definierte Abbildung x [mm] \mapsto [/mm] ax ist wegen der Distributivität von R ein Gruppenhomomorphismus und bildet daher 0 auf 0 ab.
> Was bedeutet denn für die Abbildung [mm]R\to R, x\mapsto ax[/mm],
> Gruppenhomomorphismus zu sein?
eine strukturerhaltende abbildung von x nach ax?? (bin mir nicht sicher, was du meinst) mittlerweile bin ich auch soweit, dass ich denke, dass meine begründung falsch ist und dass das (diese aussage) richtig ist.
4) die für alle x [mm] \in [/mm] R definierte Abbildung x [mm] \mapsto [/mm] ax ist wegen der Assoziativität von R ein Ringhomomorphismus und bildet daher 0 auf 0 ab.
> Direkt in der Definition eines Ringes sollte explizit die
> Forderung stehen, dass die Multiplikation assoziativ ist.
> (Auch für die Addition wird Assoziativität gefordert.
> Meist wird dies "indirekt" dadurch gefordert, dass man
> verlangt, dass die zugrunde liegende Menge R mit der
> Addition eine abelsche Gruppe bildet.)
aha, ok, dann war es unter abelsch verstckt^^ also wäre diese aussage auch richtig, meiner ansicht nach..
oder??
LG und vielen Dank für deine Mühe
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Sa 01.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Sorry für die Verzögerung, da ist mein PC abgestürzt und ich konnte nochmal von vorne anfangen...
> zu 1)
> a0=*1=a(0-0)=*2=a0-a0=*3=0
>
>
> *1: 0 kann man doch als 0-0 schreiben, so dachte ich, oder
> geht das nicht, weil es ein "-" ist?? würde es mit "+"
> gehen??(finde da leider keine def zu)
> *2: normales "ausmultiplizieren" dürfe ja auch ok sein
Im mathematischen Alltag ist es (meiner Meinung nach leider) üblich, solche Begründungen zu übergehen. Aber bei dieser Aufgabe sollte man das nicht tun, denn hier geht es ja schließlich darum, ob die einzelnen Schritte einfach zu begründen sind, oder gar ähnlich schwer wie das, was wir eigentlich zeigen wollen.
zu *1:
Um $0-0$ auszurechnen, müssen wir wissen, wie $b-c$ für [mm] $b,c\in [/mm] R$ eigentlich definiert ist! Es ist $b-c:=b+(-c)$. Also $0-0=0+(-0)$.
Was ist $-0$, also das additiv Inverse der 0? Vermutlich 0. Beweisen wir dies: Wir müssen zeigen, dass 0 die definierende Eigenschaft des additiv Inversen von 0 besitzt, also dass 0+0=0 gilt. Warum gilt das? Dies folgt aus $b+0=b$ für alle [mm] $b\in [/mm] R$ (nach Definition des neutralen Elements 0 bezüglich +). Damit ist gezeigt, dass -0=0 gilt.
Also haben wir $0-0=0+(-0)=0+0=0$.
Da das nur mit Gruppen zu tun hat, vermute ich mal, dass der Aufgabensteller der Meinung war, dass dieser Schritt aus der Gruppentheorie bekannt und daher nicht lückenhaft sei.
Zu *2:
Es gilt $a*(0-0)=a*(0+(-0))=a*0+a*(-0)$ (Kannst du jeden einzelnen Schritt begründen?). Bliebe noch $a*(-0)=-(a*0)$ zu beweisen. Ich kann das nicht, ohne schon $a*0=0$ zu benutzen! Meiner Meinung nach eine klare Lücke im Sinne der Aufgabenstellung, die verlangt, dass über Ringe nur die Definition als bekannt vorausgesetzt wird.
> *3: additive Inverse ergeben das neutrale element, die
> null
Genau!
> zu 2)
> a0=a(0+0)=a0+a0
> wenn das mit "-" bei 1 nicht geht, dann geht es mit "+",
> denke ich (kannst du mir da mit einer definition
> weiterhelfen??)
$0=0+0$ habe ich ja schon begründet. $a*(0+0)=a*0+a*0$ ist eine direkte Anwendung der Distributivität, die in der Definition eines Ringes gefordert wird.
> begründungen der "=" wie oben bis auf den letzten
> schritt, da wird von rechts bzw. links einfach a0
> abgezogen..
OK, das lasse ich mal als "aus der Gruppentheorie bekannt" so stehen.
Ergo: Wir haben mit 2) einen Beweis für unsere Behauptung!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:21 Sa 01.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> zu 3)
> die für alle x [mm]\in[/mm] R definierte Abbildung x [mm]\mapsto[/mm] ax
> ist wegen der Distributivität von R ein
> Gruppenhomomorphismus und bildet daher 0 auf 0 ab.
> > Was bedeutet denn für die Abbildung [mm]R\to R, x\mapsto ax[/mm],
> > Gruppenhomomorphismus zu sein?
> eine strukturerhaltende abbildung von x nach ax?? (bin mir
> nicht sicher, was du meinst)
Die vorliegende Abbildung ist eine Abbildung von R nach R! (Mach dir bitte klar, dass "Abbildung von x nach ax" völlig sinnlos ist.)
Tatsächlich sagt man oft, ein Gruppenhomomorphismus sei eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Gruppen. Aber wie ist nun ein Gruppenhomomorphismus definiert? Was bedeutet die Aussage, die vorliegende Abbildung sei ein Gruppenhomomorphismus? Erst wenn du dir das klar gemacht hast, hast du eine Chance zu entscheiden, ob sich das lückenlos aus der Distributivität von R folgern lässt.
> 4) die für alle x [mm]\in[/mm] R definierte Abbildung x [mm]\mapsto[/mm]
> ax ist wegen der Assoziativität von R ein
> Ringhomomorphismus und bildet daher 0 auf 0 ab.
>
> > Direkt in der Definition eines Ringes sollte explizit die
> > Forderung stehen, dass die Multiplikation assoziativ ist.
> > (Auch für die Addition wird Assoziativität gefordert.
> > Meist wird dies "indirekt" dadurch gefordert, dass man
> > verlangt, dass die zugrunde liegende Menge R mit der
> > Addition eine abelsche Gruppe bildet.)
> aha, ok, dann war es unter abelsch verstckt^^
Nur die Assoziativität der Addition, die der Multiplikation nicht.
> also wäre
> diese aussage auch richtig, meiner ansicht nach..
> oder??
Warum? Die üblichen Nachfragen: Was ist denn ein Ringhomomorphismus? Was bedeutet es also für die vorliegende Abbildung, ein Ringhomomorphismus zu sein? Dann kannst du untersuchen, ob die Abbildung ein Ringhomomorphismus ist.
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Hallo,
zu allererst vielen Dank für eine Mühe..
zu der Homomorphismus-Sache:
es gibt da die kriterien:
[mm] \mu (a+b)=\mu (a)+\mu [/mm] (b)
[mm] \mu (a*b)=\mu (a)*\mu [/mm] (b)
[mm] \mu [/mm] (1)=1
für 3/4)
[mm] \mu [/mm] (x+y)
=a(x+y) -->distr. genutzt
=ax+ay
[mm] =\mu (a)+\mu [/mm] (b)
mit "*" dementsprechend
assoziativität brauche ich doch gar nicht... (zumindest fur die erstem beiden kriterien..
aber wie ist das bei [mm] \mu [/mm] (1)=1??? da komme ich nicht weiter??
Kannst du mir helfen??
Vielen Dank
pythagora
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Hallo,
> Für 3) benötigen wir
> zusätzlich noch die Definition dafür, dass [mm]\mu[/mm] ein
> Gruppenhomomorphismus ist. (Bezüglich welcher Verknüpfung
> ist [mm]R[/mm] eigentlich eine Gruppe?)
bezüglich"+"?? Was fehlt denn noch?? vllt. dass es inverse elemente gibt??
> > für 3/4)
> Für alle [mm]x,y\in R[/mm] gilt:
> > [mm]\mu[/mm] (x+y)
> > =a(x+y) -->distr. genutzt
> > =ax+ay
> > [mm]=\mu (a)+\mu[/mm] (b)
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > mit "*" dementsprechend
> Nein, rechne mal vor.
für 3/4)
Für alle [mm] x,y\in [/mm] R gilt:
[mm] \mu [/mm] (x*y)
=a(x*y) -->distr. genutzt
=ax+ay
[mm] =\mu (a)*\mu [/mm] (b)>
??
> > assoziativität brauche ich doch gar nicht... (zumindest
> > fur die erstem beiden kriterien..
>
>
>
> Was sagt uns das für die Frage, ob [mm]\mu[/mm] ein
> Ringhomomorphismus ist?
also das dritte kriterium brauch eich nicht aber scheimbar noch was anderes.. bisher scheint nummer 3 (dirstributivität) richtig zu sein und 4 falsch...
LG
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Sa 01.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Für 3) benötigen wir
> > zusätzlich noch die Definition dafür, dass [mm]\mu[/mm] ein
> > Gruppenhomomorphismus ist. (Bezüglich welcher Verknüpfung
> > ist [mm]R[/mm] eigentlich eine Gruppe?)
> bezüglich"+"??
Nach Definition eines Ringes R muss R bezüglich + eine abelsche Gruppe bilden.
> Was fehlt denn noch??
Die komplette Definition eines GRUPPENhomomorphismus' (und deren Anwendung auf unser [mm] $\mu$). [/mm] Bisher hast du nur die Definition eines RINGhomomorphismus' skizziert bzw. auf [mm] $\mu$ [/mm] angewendet.
> vllt. dass es inverse elemente gibt??
Das ist Teil der Definition einer Gruppe, nicht eines Gruppenhomomorphismus'.
> > > mit "*" dementsprechend
> > Nein, rechne mal vor.
> Für alle [mm]x,y\in[/mm] R gilt:
> [mm]\mu[/mm] (x*y)
> =a(x*y) -->distr. genutzt
> =ax+ay
> [mm]=\mu (a)*\mu[/mm] (b)
Vermutlich sollte das in der vorletzten Zeile ein $*$ statt $+$ sein? Die Distributivität liefert $a*(x+y)=a*x+a*y$ für alle [mm] $a,x,y\in [/mm] R$, aber NICHT $a*(x*y)=a*x*a*y$! (Falls z.B. R der aus der Schule wohlbekannte Ring der reellen Zahlen ist, gilt z.B. keineswegs 2*1*3=2*1*2*3!)
> > Was sagt uns das für die Frage, ob [mm]\mu[/mm] ein
> > Ringhomomorphismus ist?
> also das dritte kriterium brauch eich nicht aber scheimbar
> noch was anderes.. bisher scheint nummer 3
> (dirstributivität) richtig zu sein und 4 falsch...
Wir haben überlegt, dass [mm] $\mu(1)=1$ [/mm] im Allgemeinen nicht erfüllt ist, also kann [mm] $\mu$ [/mm] im Allgemeinen kein Ringhomomorphismus sein. Also ist Nummer 4 schlicht grob falsch.
Über Nummer 3 können wir sicherlich nicht urteilen, bevor wir geklärt haben, was es überhaupt heißt, dass [mm] $\mu$ [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist.
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Hallo,
> > > > mit "*" dementsprechend
> > > Nein, rechne mal vor.
> > Für alle [mm]x,y\in[/mm] R gilt:
> > [mm]\mu[/mm] (x*y)
> > =a(x*y) -->distr. genutzt
> > =ax+ay
> > [mm]=\mu (a)*\mu[/mm] (b)
> Vermutlich sollte das in der vorletzten Zeile ein [mm]*[/mm] statt
> [mm]+[/mm] sein?
Jap, da hab ich gepennt^^
=a(x*y)
nach assoziativität
=a*x*y=(a*x)*y
und jetzt??
> Über Nummer 3 können wir sicherlich nicht urteilen, bevor
> wir geklärt haben, was es überhaupt heißt, dass [mm]\mu[/mm] ein
> Gruppenhomomorphismus ist.
Gruppenhomomorphismus:
- strukturerhaltend (es ist wurscht, ob ich erst abbilde und dann verknüpfe; oder erst verknüpfe und dann abbilde)
- das neutrale element wir auf das neutrale element abgebildet
- Inverse werden auf inverse abgebildet
(das hab ich in meinem skript gefunden... ist das alles?? fehlt was??
Wie geht's nun weiter??
Liebe Grüße
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Sa 01.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > > Für alle [mm]x,y\in[/mm] R gilt:
> > > [mm]\mu[/mm] (x*y)
> > > =a(x*y) -->distr. genutzt
> > > =ax+ay
> > > [mm]=\mu (a)*\mu[/mm] (b)
> > Vermutlich sollte das in der vorletzten Zeile ein [mm]*[/mm]
> statt
> > [mm]+[/mm] sein?
> Jap, da hab ich gepennt^^
> =a(x*y)
> nach assoziativität
> =a*x*y=(a*x)*y
> und jetzt??
$(a*x)*y$ ist im Allgemeinen nicht das gleiche wie [mm] $(a*x)*(a*y)=\mu(a)*\mu(b)$ [/mm] (da findest du leicht Gegenbeispiele z.B. im Ring der reellen Zahlen). Somit ist die Bedingung [mm] $\mu(x*y)=\mu(x)*\mu(y)$ [/mm] für alle [mm] $x,y\in [/mm] R$ dafür, dass [mm] $\mu$ [/mm] ein Ringhomomorphismus ist, im Allgemeinen verletzt. Ein weiterer Grund für die uns ohnehin schon bekannte Tatsache, dass [mm] $\mu$ [/mm] im Allgemeinen kein Ringhomomorphismus ist.
> > Über Nummer 3 können wir sicherlich nicht urteilen, bevor
> > wir geklärt haben, was es überhaupt heißt, dass [mm]\mu[/mm] ein
> > Gruppenhomomorphismus ist.
> Gruppenhomomorphismus:
> - strukturerhaltend (es ist wurscht, ob ich erst abbilde
> und dann verknüpfe; oder erst verknüpfe und dann
> abbilde)
> - das neutrale element wir auf das neutrale element
> abgebildet
> - Inverse werden auf inverse abgebildet
> (das hab ich in meinem skript gefunden... ist das alles??
> fehlt was??
Das sind "Merksätze" für Eigenschaften eines Gruppenhomomorphismus. Wichtig ist, dass du auch weißt (oder nachschlägst), was diese "Merksätze" denn genau bedeuten.
Ich glaube nicht, dass in eurer Definition (!) tatsächlich alle drei von dir genannten Eigenschaften explizit gefordert werden (nachschlagen)?
> Wie geht's nun weiter??
Sobald die genaue Definition eines Gruppenhomomorphismus geklärt ist, kannst du dich der Frage zuwenden, was die Aussage, dass [mm] $\mu$ [/mm] ein Gruppenhomomorphismus sei, bedeutet. Dann kannst du untersuchen, ob dies zutrifft und sich (mithilfe Distributivität von R) ohne größere Mühe zeigen lässt.
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. Wegen [mm] $\mu(1)=a*1=a$ [/mm] müssten also $a=1$ zeigen. Und was war nochmal $a$? Das beliebige Ringelement [mm] $a\in [/mm] R$, von dem $a*0=0$ gezeigt werden soll. Und ein beliebiges Ringelement wird im Allgemeinen natürlich nicht gerade die 1 des Ringes sein.
