Beweis Satz von Steiner < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Di 13.03.2007 | | Autor: | DerD85 |
Hallihallo!
Befinde mich grad in der Vordiplomsvorbereitung auf Theoretische Physik und bin an einem Detail (wahrscheinlich die wichtigste Stelle im Beweis^^) hängen geblieben. ALlso ich will hier nach Möglichkeit quer einsteigen in den Beweis um einen zu langen Post zu vermeiden:
Beweisidee ist ja (zumindest bei mir), dass man Kreisscheiben des betreffenden Körpers betrachtet, und auf diesen zwei Bezugssysteme (je Ursprung im Durchstoßpunkt der Drehachse durch den Schwerpunkt und der dazu parallelen Achse) errichtet. Ich habe also die Achsen A (durch CMS) und A´ (Parallele).
Das Trägheitsmoment für A´ ergibt sich nun zu:
[mm]I_{A'}=\integral{dz}\integral{d^2r p (z,\vec{r}) \vec{r'}^2}[/mm]
(das p soll ein ro sein (Dichte))
Nun setzt man die Beziehung der verschiedenen Koordinatensysteme ein:
[mm]\vec{r'}=\vec{a}+\vec{r}[/mm]
Nach einer Umformung erhält man:
[mm]I_{A'}=\vec{a}^2 \integral{d^3r p(\vec{r})} + 2\vec{a} \integral{dz} \integral{d^2r p (z,\vec{r}) \vec{r}} + \integral{dz} \integral{d^2r p (z,\vec{r}) \vec{r}^2}[/mm]
Mein Problem:
Der erste und der letzte Summand ergeben Gesamtmasse [mm] M \vec{a}^2[/mm] bzw. Tragheitsmoment [mm]I_A[/mm] bzgl. der Drehachse durch den Schwerpunkt, also die gewünschte Form:
[mm]I_{A'}=I_A + \vec{a}^2 M[/mm]
Warum fällt der 2./mittlere Summand raus, warum ist er gleich Null?
Vielen Dank im Voraus,
Dennis
und sry für die krüppelige Tex-Schreibweise, kenne nur LaTex und war etwas verwirrt^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Di 13.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \vec{a} [/mm] ist senkrecht [mm] \vec{r} [/mm] deshalb [mm] \vec{a}*\vec{r}=0
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 13.03.2007 | | Autor: | DerD85 |
irgendwie leuchtet mir das nicht ganz ein. habe deine antwort auch nochmal in meinen aufzeichnungen gefunden, aber eigentlich integriert man doch über die gesamte kreisscheibe, warum muss dann zwingend a senkrecht auf r stehen?
aus einer übungsmitschrift hab ich auch noch die erklärung, dass [mm]\vec{r}_{CMS,xy}=\vec{0}[/mm] sein soll....
keine ahnung, ich hab n brett vorm kopf^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Di 13.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich dachte a ist der Vektor, um den die achse verschoben ist, und r der Abstand zur Achse.
Beim nachlesen hab ich aber festgestellt, dass ich deine integrale nicht kapiere. was ist d^2r bzw d^3r die Schreibweise kenn ich nicht. warum kannst du deinen koerper in "Kreisscheiben" unterteilen? ist er notwendig rotationssymetrisch, oder was meinst du damit?
Kennst du die einfache herleitung des Satzes ueber die Energie? siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Di 13.03.2007 | | Autor: | DerD85 |
ok, zunächst hast du recht, "kreisscheiben" ist nicht korrekt, richtig ist "flächenscheiben", und zwar mit flächennormalen parallel zur rotationsachse.
[mm]\integral{d^3r}=\integral \integral \integral{dx dy dz}[/mm] heißt bei uns diese schreibweise bzw. [mm]\integral{d^2r}=\integral \integral {dx dy}[/mm]
die idee ist, den körper in flächenscheiben einzuteilen, da man o.b.d.a. die z-achse als rotationsachse wählt. nun kann man nämlich aus dem trägheitstensor [mm]I_{33}=\integral{d^3r p(\vec{r})(x^2+y^2)}[/mm] wählen (entspricht dem tragheitsmoment für eine scheibe des körpers) alle diese infinitesimalen scheiben schließlich über z summieren ([mm]\integral{dz}...[/mm]).
nun kommt man eben wieder nach eingen umformungen von:
[mm]I_{A'}=\integral{dz}\integral{d^2rp(\vec{r}, z) \vec{r'}}[/mm]
zu
.... [mm]+.....\vec{a}*\vec{r}+[/mm]....
dieses skalarprodukt muss laut meiner lösung wie du auch schon gesagt hast =0 sein - ich verstehe einfach nicht warum. a ist der verschiebungsvektor der die direkte verbindung von der einen zur anderen drehachse darstellt - r ist hingegen doch ein beliebiger vektor [mm]\in[/mm] flächenscheibe.
dass in spezielen fällen [mm]\vec{a}\perp\vec{r}[/mm] sein kann leuchtet mir - ist aber deshalb geich das gesamte integral null (man summiert doch eigentlich "alle möglichen" skalarprodukte auf)?
vielen dank für die hilfe
dennis
die herleitung über die energie kenne ich noch nicht, werd ich mir gleich durchlesen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Di 13.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast recht r und a nicht senkrecht. aber die richtige Antwort von Kw. hast du ja auch.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich verstehe deine Schreibweise auch nicht, kann dir aber allgemein folgendes sagen:
Der Steinersche Satz wird so(und von dir absolut richtig) angewandt, dass man bei Rotation um eine beliebige Achse das Trägheitsmoment um Hauptträgheits(!)-Achse berechnet und dann [mm] Ma^{2} [/mm] addiert. Von einer anderen Achse aus geht das nicht.
Das mittlere Integral müsste nun verschwinden, weil es das Drehmoment bezüglich der Hauptträgheitsachse liefert und das gibt 0.
In meiner Terminologie sieht das so aus:
Die Hauptträgheitsachse gehe so durch den Körper, dass [mm] \integral{\vec{r} dm} [/mm] = 0 ist. Das bedeutet, das man "den Spieß beliebig drehen" kann, ohne dass sich das indifferente Gleichgewicht dadurch ändert. Zu jedem Masseteilchen dm ist [mm] \vec{r} [/mm] der Vektor, der von der Achse senkrecht zum Teilchen dm führt. Dann ist das Trägheitsmoment bezüglich dieser Achse
[mm] T_{1}=\integral{\vec{r}*\vec{r}* dm}. [/mm]
Parallelverschiebung der Achse um einen Vektor [mm] \vec{a} [/mm] führt dann auf
[mm] T=\integral{(\vec{r}-\vec{a})^{2} *dm}=\integral{\vec{r}^{2} dm}-2*\integral{\vec{r}*\vec{a}* dm}+\integral{\vec{a}^{2}* dm} [/mm] = [mm] T_{1}-2*\vec{a}\integral{\vec{r}* dm}+\vec{a}^{2}\integral{dm}=T_{1}-2*\vec{a}*0+\vec{a}^{2}*m
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Di 13.03.2007 | | Autor: | DerD85 |
vielen dank für eure antworten,
ich werde da nochmal ne nacht drüber schlafen, aber denke mal das is mir nun klar geworden :)
schönen abend noch
dennis
|
|
|
|
