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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Beweis Sechseck
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Beweis Sechseck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Mi 06.10.2021
Autor: Expert111

Aufgabe
3 Kreise mit gleichem Radius sind nicht auf einer Gerade. Sie überschneiden sich auch nicht (=keine gemeinsamen Punkte) und von ihren Mittelpunkten A,B,C (s. Dateianhang) werden 6 Tangenten an den jeweils anderen Kreisen gelegt, sodass ein Sechseck entsteht, welches konvex ist.
Zeige, dass die Summen der Längen von je drei paarweise nicht direkt benachbarten Seiten ist gleich.

Meine Ansätze:
Meine erste Überlegung war, dass die kleineren Dreiecke um das Seckseck herum kongruent sein können. Als ich aber versucht habe, dies zu zeigen, und dann mit Geogebra nach Gegenbeispielen gesucht habe, konnte ich diese Behauptung leider widerlegen.

Mein neuer Ansatz ist, dass das rote und das orangene Dreieck kongruent sind (s. Anhang) und dann die Summen der Flächen der Dreiecke auf je drej paarweise nicht direkt benachbarten Seiten gleich ist. Erstens weiß ich aber nicht, wie ich die Kongruenz zeigen muss, und zweitens frage ich mich, ob der Ansatz überhaupt geeignet ist - denn, wenn diese Flächensummen gleich sind, wie leitet sich daraus ab, dass die Summen der entsprechenden Seiten des Sechseck auch gleich sind?

Vielen Dank im Voraus, ich komme gar nicht weiter!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Beweis Sechseck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Do 07.10.2021
Autor: HJKweseleit

Ich habe leider im Moment keine Zeit, mich ausführlich um dein Problem zu kümmern. Nur so viel in Kürze:

Zwischen Flächeninhalt und Umfang besteht kein Zusammenhang. Betrachte ein Rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite 3, Seiten  4 und 5 (Flächeninhalt = 6) und eins mit Grundseite 5.5, Seiten 1 und 5.5 (hat nicht mal die Höhe 1, Flächeninhalt kleiner als 2.75). Gleicher Umfang 12, verschiedene Flächeninhalte.

Evtl. hilft: Betrachte mal z.B. die beiden Tangente an Kreis B. Die Strecken vom jeweiligen Berührpunkt an Kreis B bis zu ihrem gemeinsamen Schnittpunkt sind aus Symmentriegründen gleich lang. Entsprechendes bei den beiden anderen Kreisen. Zusammen mit den gleichgroßen Radien könnte das zum Ziel führen.

Bezug
        
Bezug
Beweis Sechseck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Do 07.10.2021
Autor: statler

Welcome to the club!

Du solltest in deinem Bild die Berührpunkte so benennen, daß [mm] $\overline{AB_{2}}$, $\overline{BC_{2}}$ [/mm] und [mm] $\overline{CA_{2}}$ [/mm] die eine Sorte Tangenten sind und [mm] $\overline{AC_{1}}$, $\overline{CB_{1}}$ [/mm] und [mm] $\overline{BA_{1}}$ [/mm] die andere. Dann ist z. B. [mm] $\overline{AB_{2}} [/mm] =  [mm] \overline{BA_{1}}$ [/mm] usw., also sind die Summen über die Längen gleich.

Jetzt ist auch noch [mm] $\overline{PA_{1}} [/mm] = [mm] \overline{PA_{2}}$ [/mm] und entsprechend für $R$ mit dem Kreis um $B$ und für $T$ mit dem Kreis um $C.$ Weiter gilt [mm] $\overline{AQ} [/mm] = [mm] \overline{QB}$ [/mm] und [mm] $\overline{A_{1}Q} [/mm] = [mm] \overline{QB_{2}}$ [/mm] und entsprechend für $S$ und $U.$
Die gesuchte Gleichung ist [mm] $\overline{QR} [/mm] + [mm] \overline{ST} [/mm] + [mm] \overline{UP} [/mm] = [mm] \overline{PQ} [/mm] + [mm] \overline{RS} [/mm] + [mm] \overline{TU}$, [/mm] an die man sich jetzt (hoffentlich) heranpirschen kann.

Mein aktueller Rechner hat leider kein GeoGebra, um das visuell zu unterstützen.

Gruß aus HH
Dieter

Bezug
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