www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Stetigkeit" - Beweis Stetigkeit
Beweis Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Mi 07.05.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
Durch die Vorschrift (I f)(x)= [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] (x [mm] \in [/mm] [0,1], f [mm] \in [/mm] C[0,1] (Menge aller stetigen Funktionen) wird eine wohldefinierte, stetig lineare Abbildung I: (C[0,1], [mm] ||*||_{[0,1]}-->(C^1 [/mm] [0,1],||*||) definiert. (C^^1 ist der R-Vektorraum einmal stetig diffbaren Funktionen)

Also die Linearität ist klar, weil die aus der Linearität des Integrals folgt.

Zur Stetigkeit: Es ist |If|=| [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}| \le \integral_{0}^{x}{|f(t)| dt} \le [/mm] x * ||f||. Mit x [mm] \in [/mm] [0,1] Dann ist f stetig.

Bei der Wohldefinieetheit muss man doch Existenz und Eindeutigkeit zeigen, oder?

Bei der Existenz der Abbildung würde ich sagen, dass die daraus folgt, dass f stetig ist und wie oben gezeigt die Abbildung stetig ist, also insbesondere integrierbar.

Bei der Eindeutigkeit:

I(f)=I(g) --> [mm] \integral_{0}^{x}{(f-g) (t) dt} [/mm] Also f=g --> Eindeutigkeit

        
Bezug
Beweis Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:29 Mi 07.05.2014
Autor: rollroll

Was meinst ihr dazu?

Bezug
        
Bezug
Beweis Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Mi 07.05.2014
Autor: leduart

Hallo
die Linearität musst du genauer hinschreiben I(a*f+b*g)=.....
die Wohldefiniertheit auch etwas ausführlicher.
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{sinx-cosx dx}=0 sinx\not=cosx [/mm]
aber im Prinzip hast du recht. nur vesser aufschreiben.
Gruß leduart


Bezug
        
Bezug
Beweis Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:15 Do 08.05.2014
Autor: fred97


> Durch die Vorschrift (I f)(x)= [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> (x [mm]\in[/mm] [0,1], f [mm]\in[/mm] C[0,1] (Menge aller stetigen
> Funktionen) wird eine wohldefinierte, stetig lineare
> Abbildung I: (C[0,1], [mm]||*||_{[0,1]}-->(C^1[/mm] [0,1],||*||)
> definiert. (C^^1 ist der R-Vektorraum einmal stetig
> diffbaren Funktionen)
>  Also die Linearität ist klar, weil die aus der
> Linearität des Integrals folgt.
>  
> Zur Stetigkeit: Es ist |If|=| [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}| \le \integral_{0}^{x}{|f(t)| dt} \le[/mm]
> x * ||f||. Mit x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[0,1] Dann ist f stetig.

Das ist doch Unsinn !  

Es ist $I: (C[0,1],  ||\cdot{}||}-->(C^1  [0,1],||*||) $ eine Abbildung zwischen 2 normierten Räumen, wobei ich vermute, dass mit $||*||$ die Maximumsnorm gemeint ist.

Da I linear ist, gilt:  I ist stetig  \gdw es. ex. ein c>0 mit

     $||I(f)|| \le c||f||$  für alle f \in C[0,1].


>  
> Bei der Wohldefinieetheit muss man doch Existenz und
> Eindeutigkeit zeigen, oder?


Damit ist gemeint: ist  f \in C[0,1], so ist tatsächlich $I(f ) \in C^1[0,1].$



>  
> Bei der Existenz der Abbildung würde ich sagen, dass die
> daraus folgt, dass f stetig ist und wie oben gezeigt die
> Abbildung stetig ist, also insbesondere integrierbar.

Unfug ! Was soll denn bedeuten, dass I integrierbar ist ???

>  
> Bei der Eindeutigkeit:
>  
> I(f)=I(g) --> [mm]\integral_{0}^{x}{(f-g) (t) dt}[/mm] Also f=g

Das wäre die Injektivität von I. Danach ist zwar nicht gefragt, aber ist Dir dennoch klar, warum I injektiv ist ?

FRED

-->

> Eindeutigkeit


Bezug
                
Bezug
Beweis Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:10 Do 08.05.2014
Autor: rollroll

Wie zeigt man die Stetigkeit dann wenn das was ich geschrieben habe falsch ist?

Bezug
                        
Bezug
Beweis Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Do 08.05.2014
Autor: fred97


> Wie zeigt man die Stetigkeit dann wenn das was ich
> geschrieben habe falsch ist?  

Sei $f [mm] \in [/mm] C[0,1 ]$. Für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ ist

  $|I (f)(x)|= | [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}| \le \integral_{0}^{x}{|f(t)| dt} \le \integral_{0}^{x}{||f|| dt} \le \integral_{0}^{1}{||f|| dt} [/mm] =||f|| $ .

Damit ist

     $||I(f)|| [mm] \le [/mm] ||f||$

FRED


Bezug
                                
Bezug
Beweis Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:03 Do 08.05.2014
Autor: Calculu

Folgt die Stetigkeit nicht schon daraus, dass f [mm] \in [/mm] C[0,1], was ja gerade die Menge aller stetigen Funktionen auf diesem abgeschlossenen Intervall ist, und x zudem aus dieser Menge [0,1] ist?

Wie kann man denn die Wohldefiniertheit zeigen?

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:21 Do 08.05.2014
Autor: fred97


> Folgt die Stetigkeit nicht schon daraus, dass f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

C[0,1],

> was ja gerade die Menge aller stetigen Funktionen auf
> diesem abgeschlossenen Intervall ist, und x zudem aus
> dieser Menge [0,1] ist?

Ich hab doch oben geschrieben, dass es um die Stetigkeit der linearen Abbildung

   $ I: (C[0,1], ||\cdot{}||} \to(C^1 [0,1],||\cdot{}||) $

geht !!!

Definiert man $ F: (C^1 [0,1],||\cdot{}||)  \to (C [0,1],||\cdot{}||) $ durch

     $F(f):=f'$,

so wäre mit Deiner "Argumentation" die Abbildung F stetig. Das ist sie aber nicht, warum ?

>  
> Wie kann man denn die Wohldefiniertheit zeigen?

Ist f \in C[0,1] und setzt man

     \phi(x):=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}     (x \in [0,1]),

so ist, mit obiger Notation,

     \phi=I(f).

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung macht nun eine Aussage über eine schöne Eigenschaft der Funktion \phi, welche ?

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Beweis Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:59 Do 08.05.2014
Autor: Calculu


> > Folgt die Stetigkeit nicht schon daraus, dass f [mm]\in[/mm] C[0,1],
> > was ja gerade die Menge aller stetigen Funktionen auf
> > diesem abgeschlossenen Intervall ist, und x zudem aus
> > dieser Menge [0,1] ist?
>  
> Ich hab doch oben geschrieben, dass es um die Stetigkeit
> der linearen Abbildung
>  
> [mm]I: (C[0,1], ||\cdot{}||} \to(C^1 [0,1],||\cdot{}||)[/mm]
>  
> geht !!!

Ahhh. Sorry!!!!

>  
> Definiert man [mm]F: (C^1 [0,1],||\cdot{}||) \to (C [0,1],||\cdot{}||)[/mm]
> durch
>  
> [mm]F(f):=f'[/mm],
>
> so wäre mit Deiner "Argumentation" die Abbildung F stetig.
> Das ist sie aber nicht, warum ?
>  >  
> > Wie kann man denn die Wohldefiniertheit zeigen?
>
> Ist f [mm]\in[/mm] C[0,1] und setzt man
>  
> [mm]\phi(x):=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]     (x [mm]\in[/mm] [0,1]),
>  
> so ist, mit obiger Notation,
>  
> [mm]\phi=I(f).[/mm]
>  
> Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung macht
> nun eine Aussage über eine schöne Eigenschaft der
> Funktion [mm]\phi,[/mm] welche ?

[mm] \phi'= [/mm] f(x) ?!

> FRED
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Beweis Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Do 08.05.2014
Autor: fred97


> > > Folgt die Stetigkeit nicht schon daraus, dass f [mm]\in[/mm] C[0,1],
> > > was ja gerade die Menge aller stetigen Funktionen auf
> > > diesem abgeschlossenen Intervall ist, und x zudem aus
> > > dieser Menge [0,1] ist?
>  >  
> > Ich hab doch oben geschrieben, dass es um die Stetigkeit
> > der linearen Abbildung
>  >  
> > [mm]I: (C[0,1], ||\cdot{}||} \to(C^1 [0,1],||\cdot{}||)[/mm]
>  >  
> > geht !!!
>  
> Ahhh. Sorry!!!!
>  
> >  

> > Definiert man [mm]F: (C^1 [0,1],||\cdot{}||) \to (C [0,1],||\cdot{}||)[/mm]
> > durch
>  >  
> > [mm]F(f):=f'[/mm],
> >
> > so wäre mit Deiner "Argumentation" die Abbildung F stetig.
> > Das ist sie aber nicht, warum ?
>  >  >  
> > > Wie kann man denn die Wohldefiniertheit zeigen?
> >
> > Ist f [mm]\in[/mm] C[0,1] und setzt man
>  >  
> > [mm]\phi(x):=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]     (x [mm]\in[/mm] [0,1]),
>  >  
> > so ist, mit obiger Notation,
>  >  
> > [mm]\phi=I(f).[/mm]
>  >  
> > Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung macht
> > nun eine Aussage über eine schöne Eigenschaft der
> > Funktion [mm]\phi,[/mm] welche ?
>  
> [mm]\phi'=[/mm] f(x) ?!

Ja, [mm] \phi [/mm] ist eine Stammfunktion von von f.

FRED

>  
> > FRED
>  >  
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Beweis Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Do 08.05.2014
Autor: Calculu

Ah ok. Da f [mm] \in [/mm] C[0,1], ist f stetig. [mm] \phi [/mm] als Stammfunktion von f ist insbesondere differenzierbar und somit auch stetig. Also ist [mm] \phi \in C^{1}[0,1]. [/mm]

Reicht das als Begründung für die Wohldefiniertheit?

Bezug
                                                                        
Bezug
Beweis Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:40 Fr 09.05.2014
Autor: fred97


> Ah ok. Da f [mm]\in[/mm] C[0,1], ist f stetig. [mm]\phi[/mm] als
> Stammfunktion von f ist insbesondere differenzierbar und
> somit auch stetig. Also ist [mm]\phi \in C^{1}[0,1].[/mm]
>  
> Reicht das als Begründung für die Wohldefiniertheit?

ist f stetig, so ist [mm] \phi'=f, [/mm] somit ist [mm] \phi [/mm] stetig differenzierbar.

FRED


Bezug
                                                                        
Bezug
Beweis Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:56 Fr 09.05.2014
Autor: fred97


> Ah ok. Da f [mm]\in[/mm] C[0,1], ist f stetig. [mm]\phi[/mm] als
> Stammfunktion von f ist insbesondere differenzierbar und
> somit auch stetig. Also ist [mm]\phi \in C^{1}[0,1].[/mm]
>  
> Reicht das als Begründung für die Wohldefiniertheit?

Ergänzung (denn ich habe den Eindruck, dass Dir nicht klar ist welche Funktionen in  [mm] C^{1}[0,1] [/mm] sind):

Sei $g:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion:

  $g [mm] \in C^{1}[0,1]$ \gdw [/mm]  $g$ ist auf [0,1]  differenzierbar und $g'$ ist auf [0,1] stetig.

FRED


Bezug
                                                                                
Bezug
Beweis Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Fr 09.05.2014
Autor: Calculu

Vielen Dank Fred!
Nachdem ich meinen Post nochmal las, konnte ich deine Vermutung nachvollziehen. In der Tat ist es mir anhand deines Beispiels jetzt klar geworden.

Danke! :-)


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de